2023-2024学年重庆市南开中学高一上学期11月月考数学试题含答案

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第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A={1，2，3}，B={x∈N|x≤2}，则A∪B=（ ）
A. {2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2}D. {1，2，3}
【答案】B
【解析】
分析】先求出集合B，再求A∪B.
【详解】因为，所以.
故选：B
2. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意要选的是的真子集.
【详解】由得，
因为选项中只有，
故只有C选项中的条件是使不等式成立的一个充分不必要条件．
故选：C.
3. 已知函数定义域为，则函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设可得，求解集即知函数定义域.
【详解】由题设，，解得，
∴的定义域为.
故选：A.
4. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数单调性分析判断.
【详解】因为在上单调递减，且，则，
又因为在上单调递增，且，则，
所以，即.
故选：D.
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数奇偶性排除D，再根据时，，故排除AB即可得答案.
【详解】解：函数的定义域为，，
所以函数奇函数，故排除D，
由于，故当时，，故排除AB，
故选：C
6. 若不等式对任意恒成立，则实数取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件及分离参数将不等式恒成立转为为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由不等式对任意恒成立转化为
，其中,即可.
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，
所以实数的取值范围是 .
故选：A.
7. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
8. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果.
【详解】由题意知，（），
设，则，
因为，定义域为，关于原点对称，
所以为奇函数，
在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列函数中，是指数函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可.
【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合；
对于B，且，故符合.
故选：BC
10. （多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.
【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
故选：ABD．
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 函数的值域为B. 函数的值域为
C. 函数的值域为D. 函数的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据指数函数单调性和值域结合二次函数或不等式性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，
且在上单调递减，可得，
所以函数的值域为，故A错误；
对于选项B：令，解得，
可知函数的定义域为，
因为在上单调递增，且，可得，则，
所以函数的值域为，故B正确；
对于选项C：令，则，可得，
因为开口向上，对称轴为，
可得在上单调递增，且，
所以的值域为，
即函数的值域为，故C正确；
对于选项D：由题意可得的定义域为，
因为，即，可得，
所以函数的值域为，故D正确；
故选：BCD.
12. 定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则（ ）
A. 函数图象关于直线对称
B. 函数的周期为6
C.
D. 和的图象所有交点横坐标之和等于8
【答案】AD
【解析】
【分析】由题设得即可判断A选项；由对称性结合奇偶性得即可判断B选项；利用周期性及解析式求出函数值即可判断C选项；先求得函数图象关于直线对称，画出和的图象得到有四个交点，且关于直线对称，即可判断D选项.
【详解】由定义域为R，可得，，
即，则函数图象关于直线对称，A正确；
由以及为偶函数可得，则，即函数的周期为4，B错误；
由周期性知，，又，
即，则，C错误；
函数的定义域为，，
可得函数图象关于直线对称，分别画出和的图象如图所示：
由图可得和的图象有四个交点，且关于直线对称，则所有交点横坐标之和等于，D正确.
故选：AD.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．
13. 已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据得出指数型函数恒过定点.
【详解】令，得，则.
所以函数（且）的图象恒过定点.
故答案为：.
14. 函数的单调递增区间是__________
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数与指数函数的单调性，结合复合函数的单调的判定方法，即可求解.
【详解】设，即，
可得函数的图象表示开口向下，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又由函数在定义域上为单调递减函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数单调递增区间为.
故答案为：.
15. 若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】设，得到，转化为在上有两个不等的实根，设，列出不等式组，即可求解.
【详解】由方程等价于，
设，可得，
即方程等价于在上有两个不等的实根，
设，
则满足，解得，
即实数取值范围为.
故答案为：.
16. 函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为__________.
【答案】1518.5
【解析】
【分析】根据题意，先求出函数一个周期的值域，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，再利用函数的周期性求解.
【详解】解：函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，
函数的值域为，对任意，
都有，
要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，
，
的最小值估计值为，故的最小值取507，相应的最小值为1011.5，
则的最小值为1518.5.
故答案为：1518.5
四、解答题：本大题6个小题，共70分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．
17. 计算下列各式的值：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数的运算法则，直接计算即可；
（2）利用对数的运算法则，直接计算即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
18. 己知幂函数在定义域上不单调.
（1）求m的值．
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根；
（2）先判断为奇函数，利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【小问1详解】
由题意，解得或，
当时，，
函数在上单调递增，不合题意；
当时，，
函数的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递减，
但，
所以函数在定义域上不单调，符合题意，
所以.
【小问2详解】
因为函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以为奇函数，
因为，可得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或．
19. 已知，．
（1）当，时，求函数的值域；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1），则，然后根据二次函数的性质可求出函数的值域，
（2）将问题转化为，令，则再次转化为在上恒成立，然后利用基本不等式可求得结果.
【小问1详解】
当时，，
令，则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数的值域为，
【小问2详解】
由，得，
所以，
由，得，
所以，
令（），则在上恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即实数的取值范围为
20. 为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．
（1）将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；
（2）为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．
【答案】（1）
（2）AD=120cm，，
【解析】
【分析】（1）根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可.
（2）根据（1）利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时和的值.
【小问1详解】
根据题意，矩形海报纸面积为，
所以，
又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
所以四个宣传栏的总面积，
其中所以.
即.
【小问2详解】
由（1）知，
则
，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
即,时，
可使用宣传栏总面积最大为.
21. 已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）若存在m∈[-1，1]，使得不等式成立，求x的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，解出a的值，再验证函数的奇偶性即可求解.
（2）构造函数，根据函数的单调性转化为m∈[-1，1]，使得，讨论x的取值范围即可求解.
【小问1详解】
函数的定义域为，
由题意可得，即，解得，
所以，
，
即为奇函数，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，
存在m∈[-1，1]，使得不等式成立，
存在m∈[-1，1]，使得不等式成立，
设，定义域为，
奇函数，，
而，
所以为奇函数，
存在m∈[-1，1]， 成立，
即存在m∈[-1，1]， 成立，
又因为在上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
所以，
存在m∈[-1，1]，使得，
看成关于的一次函数，当时，，解得；
当时，不等式成立；
当时，则，解得，
综上所述，x的取值范围为
22. 已知函数．
（1）若存在，使不等式成立，求实数a的取值范围；
（2）设，正实数b，c满足，且的取值范围为A．若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分离参数法求出a的范围；
（2）先利用基本不等式求出集合A，根据对勾函数的单调性，对a进行讨论，分别求出实数的取值范围.
【小问1详解】
∵，
∴令，当，则
即存在使成立，只需，
∵，当时，，
所以，∴.
【小问2详解】
∵，∴，
则，当且仅当取等号，∴，
∵，∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
①当，即时，在上单调递增，
∴即得，∴，
②当，即时，在上单调递减，
∴即得，∴，
③当时，，，
由.
（ⅰ）当时，，，
得，
（ⅱ）当时，∴，则，
得.
综上，.
【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；