2023-2024学年重庆市第八中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市第八中学高一上学期12月月考数学试题含答案，文件包含重庆市第八中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题Word版含解析docx、重庆市第八中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交集和并集运算求解即可.
【详解】由，
由，得，
所以，则.
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值、不等式的性质，以及充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】令，满足，但不满足；
当时，，即，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断.
【详解】函数是定义域上的增函数，又，，所以，
所以函数的零点所在区间为.
故选：B.
4. 若，幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ）
A. B. 3C. 或3D.
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数定义结合幂函数单调性知识可得答案.
【详解】由为幂函数有，即或，又由在上单调递减得，经验证或均成立.
故选：.
5. 已知函数，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的定义域，利用抽象函数求定义域的方法求解的定义域.
【详解】解：由根据函数的解析式
可知，有，即定义域为
定义域为.
故选：A.
6. 小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（ ）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中分别为左右盘中物体质量，分别为左右横梁臂长）.
A. 等于B. 小于C. 大于D. 与左右臂的长度有关
【答案】C
【解析】
【分析】设天平左臂长为，右臂长为，根据已知条件列式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，小明两次称得的黄金总重量大于.
故选：C
7. 若函数在上有意义且不单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数底数的取值范围得到且，再设，利用它在区间上有意义且不单调，进一步求的取值范围.
【详解】根据对数底数的取值范围得：且.
设，在区间上不单调，由知开口向下，只需要对称轴，且即可，
所以：，解得.
故选：D
8. 若函数是偶函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数定义可化简整理得到，代入消元，可将所求式子化为关于的二次函数，结合二次函数值域和的范围可求得结果.
【详解】为偶函数，，即，
，
，，，则，
，
且，，即的取值范围为.
故选：C.
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性比较大小.
【详解】A选项：由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以选项正确；
B选项：由幂函数为单调递增函数，可得成立，所以B选项正确；
C选项：由对数函数为单调递增函数，则，所以C选项不正确；
D选项：由函数与均为单调递增函数，则，而，所以D选项正确.
故选：ABD.
10. 若“”为假命题，则的值可能为（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】BC
【解析】
【分析】首先根据“”为假命题，将问题转化为“”恒成立问题，然后通过对分类讨论求解；
【详解】“”为假命题，则“”为真命题，
当时，，符合题意，
当时，，解得
，故的值可能为，
故选：BC.
11. 函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.
【详解】当时，是偶函数，当时，为减函数，此时对应图象可能是C；
当时，，令得，为非奇非偶函数，且，
令其对应方程的，设其对应方程的两根分别为，，，
所以，，，，，，
即函数在和上单调递减，在上单调递增，由单调性判断此时对应图象可能是B；
当时，非奇非偶函数，在处无定义，
取时且单增，
时且单增，时单增，
此时对应图象可能是D；
对于A，由于图象无间断点，故，但此时在上不可能恒正，
故选：BCD.
12. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 方程有两个不等的实数解
C. 不等式的解集为
D. 关于的方程的解的个数可能为
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出函数的图象，通过图象即可确定函数的值域求解A，根据与函数图象的交点个数即可求解B,根据时确定或，即可由或求解C，结合二次函数的性质即可求解D.
【详解】画出的图象，如下图所示：
令，解得或，
所以的图象与轴交于，
对于A，由图象可知，函数的值域为A对；
对于B，由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点，故方程有三个不等的实数解，B错；
对于C，由图象可知，当或时，，所以，由，可得或.
令，解得或；令，解得或，
由图象可知，不等式解集为C对；
对于D，令，则，则，
当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个，
当时，即时，，则，
故，，
当时，则有两解，
当时，若，则有三解，若，则有两解，
故方程解的个数为4或5个，综上方程解的个数可能为个.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行__________次函数值的计算.
【答案】4
【解析】
【分析】根据二分法求零点的方法，计算一次，区间精度变为上一次的，根据精度要求即可求解.
【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1，
第1次计算后区间长度为；
第2次计算后区间长度为；
第3次计算后区间长度为；
第4次计算后区间长度为；
故至少计算4次.
故答案为：4.
14 已知，则_________．
【答案】2
【解析】
分析】由可得代入目标，利用换底公式即可得到结果.
【详解】∵
∴，
∴
故答案为2
【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题.
15. 若函数在上只有一个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将函数零点问题转化为方程根的问题，然后分离参数，构造函数，即可得到结果.
【详解】，设，，
令在上单调递减，
故.
故答案为：
16. 已知函数，若，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，得其为奇函数，结合单调性即可求解.
【详解】解：令，
因为，
为奇函数，又因为，
由复合函数单调性知为的增函数，，
则，
，
解得或，故.
故答案为：
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据绝对值不等式和分式不等式的解法求出集合A、B，然后由交集运算可得；
（2）根据，结合数轴分析即可求解.
【小问1详解】
若，由，解得或，则或，
又，即，解得，则，
.
【小问2详解】
由题设解得或，
，且，
，解得，
所以实数的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）若，求不等式的解集.
【答案】（1）1 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）的解集为即且和是方程的两根，列式求解即可；
（2）根据图像与x轴的交点情况分类讨论，确定解集.
【小问1详解】
由题设知，且和是方程的两根，
所以，解得.
【小问2详解】
①若，则，此时图像恒在x轴上方，所以的解集为；
②若，则，此时的图像开后向上且与x轴只有一个交点，所以的解集为；
③若，则，此时图像与x轴有两个交点，
令，解得，
所以此时的解集为.
综上，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为.
19. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
【答案】（1）144年
（2）26年
【解析】
【分析】（1）由题意代入条件式运算得解；
（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.
【小问1详解】
由题可知，所以，
所以，
解得，所以残留量为初始量的，大约需要144年.
【小问2详解】
根据题意当时，，，
，若残留量不超过初始量的，则，即
两边取常用对数，
解得，所以至少需要26年.
20. 已知函数，函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若图象恒在图象的下方，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，令，得到，求得，即可求得的解析式；
（2）根据题意，转化为任意，不等式恒成立，令，得到，再令，则，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
由函数的定义域为，
令，因为，所以，则，
所以，
即函数的解析式为.
【小问2详解】
由图象恒在图象的下方，即恒成立，
即对任意，不等式恒成立，
即对任意，不等式恒成立，
令，则，
再令，则，
当且仅当时，即，时，等号成立，所以，
即实数的取值范围为.
21. 已知定义在上的函数满足，且当时，.
（1）证明函数是偶函数；
（2）证明函数在上的单调性；
（3）若，解不等式.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）令得到，再令得到，然后令，结合奇偶性的定义判断.
（2）设，且，得到，由得到，再利用单调性的定义证明；
（3）令，得到，将原不等式转化为，再利用单调性求解.
【小问1详解】
解：令得，即；
令得，即.
令得，即，
所以是偶函数
【小问2详解】
设，且，则.
由得，
则，即，
所以函数在上单调递增；
【小问3详解】
令，则，
由已知定义，
，
所以，
因为是偶函数，且在单调递增，
所以，
解得或且，
即的解集为：
.
22. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.
（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由.
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如.若为的“5重覆盖函数”，求正实数的取值范围.
【答案】22. 是，1；
23. ；
24 .
【解析】
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得；
（3）作出的图象，结合图象可解.
【小问1详解】
由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数
，使得（其中），
即，
，且为增函数，
对于任意，都有唯一一个，使得，
是的“重覆盖函数”，；
【小问2详解】
可得的定义域为，
即，存在2个不同的实数，使得，其中，
，
，即，
即对任意有2个实根，
当时，已有一个根，故只需时仅有1个根.
当时，，符合题意，
当时，若对称轴，
，且，
在上单调递减，上单调递增，
则一定存在使得有两个根，舍去；
若对称轴，则无解，舍去；
若对称轴，则在上必须单调递减，且，
，解得；
当时，对称轴，
且，
时，，无解；
当时，单调递减且，
因此仅有1个根，符合题意.
综上，实数的取值范围是；
【小问3详解】
对于任意要有5个根，
，作出函数的图像，如下图：
要使有5个根，需，
又，解得，
所以正实数的取值范围.