2023-2024学年湖北省襄阳市第五中学高一上学期12月月考数学试卷含答案

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一、单选题
1. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的定义即可得解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以.
故选：A.
2. 在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限.
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式判断得点坐标的符号，从而得以判断.
【详解】因为，
，
所以在第四象限；
故选：D.
3. 函数的零点所在的大致区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知在递增，且，由零点存在性定理即可得出答案.
【详解】易判断在递增，.
由零点存在性定理知，函数的零点所在的大致区间为.
故选:D.
4. 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出的值，结合选项即可判断．
【详解】，
，
所以所在的区间为.
故选：C
5. 已知奇函数的定义域为，且对任意两个不相等的正实数，都有，在下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得到在单调递增，可得到，结合奇函数的性质即可得解.
【详解】因为对任意两个不相等的正实数，都有，
所以在单调递增，则，
因为是定义域为的奇函数，则，
所以，即，故A正确，B错误；
而CD，由于不连续，故无法判断的大小关系，故CD错误.
故选：A.
6. 已知，，．则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.
【详解】∵，∴，
又，∴，
∴．
故选：B．
7. 设a为实数，若关于x的不等式在区间上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.
【详解】由题意，因为，故在区间上有实数解，则，又在上单调递减，在上单调递增，且，，故.故在区间上有实数解则.
故选：A
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.
【详解】因，
所以，
当且仅当时，即时，取等号.
故选：B
二、多选题
9. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A. 的最小值为B. 在上单调递减
C. 的解集为D. 存在实数满足
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数是定义在R上的奇函数，可以写出函数的解析式，进而判断函数单调性即可判断AB；画出函数的图形即可判断C，特殊值代入即可得D.
【详解】由题意可知当时，
即
所以，函数的图像如下：
显然，函数没有最小值，故A错误；
根据函数图像可得在上单调递减，故B正确；
令得，故C正确；
由图可知，令得，故D正确.
故选：BCD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若为正整数，则
B. 若，则
C.
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，时，，故B正确；
对于C，由，则，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：BC．
11. 某同学在研究函数性质时，给出下面几个结论，其中正确的结论有（ ）
A. 函数的图象关于点对称B. 若，则
C. 函数的值域为D. 函数有三个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用奇函数的定义判断选项A；按和时分别化简，结合反比例函数的性质可得函数的单调性和值域，判断选项B和C；将函数零点问题转化为方程根，直接求解判断选项D．
【详解】因为函数的定义域为全体实数，，
所以是奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；
当时，，显然函数单调递增，此时.
当时，，显然函数单调递增，此时.
因此函数在上是单调递增的，值域为，
因此B错误，C正确；
由或或，所以D正确，
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的零点，考查学生运算求解能力，函数零点的求法主要有两种：
1.代数法：求方程的实数根；
2.几何法：对于不能用求根公式的方程，可以画出的图象，或者转化为两个图象的交点问题．
12. 已知函数，的零点分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数，与的图象关于直线对称建立的关系，从而逐项分析判断即可得解.
【详解】因，，
令，，得，，
因为与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称，
因为，
所以由的图象向右向上各平移一个单位得到图象，
故函数的图象关于直线对称，即可知点关于直线对称，
作出，与的大致图象，如图，
由图象可知的横坐标为，的横坐标为，
对于A，由上述分析得，则，
所以，故A错误；
对于B，由上述分析得，故B正确；
对于C，由，故C正确；
对于D，，
当且仅当，即时，等号成立，
显然，则，故等号不成立，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称，而的图象也关于对称，从而得解.
三、填空题
13. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；
【答案】6
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式求解即可.
【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，
则扇形的半径，
所以该扇形的面积.
故答案为：6
【点睛】此题考查求扇形面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.
14. 已知函数（，且）的图像恒过点，若点是角终边上的一点，则______________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用对数函数的性质求得定点，再利用三角函数的定义即可得解.
【详解】因为（，且）的图像恒过点，
令，则，，所以，
所以.
故答案为：.
15. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性的性质和单调性解不等式即可.
【详解】因为，所以其定义域为，
又，所以为偶函数，
当时，，
因为和在上均单调递减，
所以在上单调递减，
又，所以可化为，
所以，则，
则或，解得或，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
16. 已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点的和为16，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】函数的零点转化为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.
【详解】函数的零点即为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，
因为，
先利用指数函数与对数函数的性质作出函数在区间上的图象，
又当时，，
即每过两个单位，将的图象向右平移个单位，同时将对应的坐标变为原来的两倍，
再作出函数的图象，如图所示：

由图象可得：，，，，，
则，
因为在区间内的所有零点的和为16，
所以，得，结合图象，可得实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出的大致图象，从而利用数形结合即可得解.
四、解答题
17. 已知函数的定义域为集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合A，从而利用集合的并集运算即可得解；
（2）由题意得到是的真子集，分别讨论和两种情况，根据集合的包含关系即得解.
【小问1详解】
因为，
所以，解得，所以，
当时，集合，
所以.
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，则是的真子集，
因为，
当时，，解得，符合题意；
当时，则（等号不同时成立），解得，
综上，，故的取值范围为.
18. 已知集合.
（1）求集合；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的单调性得到且，由此求解出的取值范围，则集合可知；
（2）采用换元法令，将函数变形为关于的二次函数，根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值，由此可求函数的值域.
【详解】（1）因为，且在上单调递增，
所以，所以，所以，
所以；
（2）因为，所以，
令，所以，对称轴为且开口向上，
所以，
所以函数的值域为.
19. 设为实数，给定区间，对于函数满足性质：存在，使得成立.记集合具有性质..
（1）设，判断是否成立并说明理由；
（2）设，若，求的取值范围.
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数满足性质P的定义取值判断并说理即可；
（2）根据函数满足性质P的定义，将问题转化为能成立问题，从而得解.
【小问1详解】
，理由如下：
因为，
取，此时，
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以存在，使得，
所以，
令，
令，
因为，所以，
所以，
所以，则，
所以的取值范围.
20. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递减．
（1）证明：函数是偶函数；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；
（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.
【小问1详解】
令得，即；
令得，即．
令得，即，
所以是偶函数得证；
【小问2详解】
由已知定义，
所以即，所以，
因为是偶函数，且在单调递减，
所以，
即的解集为．
21. 已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是.
（1）把商品的利润表示为生产量的函数；
（2）当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
【答案】（1）
（2）生产量为千件时，最大利润为万元
【解析】
【分析】（1）设利润是（万元），由即可得利润关于生产量的函数；
（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.
【小问1详解】
设利润是（万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，
则，
所以.
【小问2详解】
当时，
，
当，即时，，
当时，是减函数，时，，
所以当时，，
所以生产量为千件时，最大利润为万元.
22. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）已知函数在区间单调递减.试判断是否恒成立，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）恒成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为，由此得解；
（2）将问题转化为和在上的值域的交集不为空集；分类讨论和两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；
（3）将问题转化为判断，再利用的单调性即可得解.
【小问1详解】
因为，
由，可得，即的定义域为；
又，所以为奇函数，
当时，易得单调递减，
所以在上单调递减，且的值域为，
不等式，可化为，
所以，即，
即，即，解得，
则原不等式解为；
【小问2详解】
函数，
若存在，使得成立，
则和在上的值域的交集不为空集；
由（1）可知：时，单调递减，
所以的值域为；
若，则在上单调递减，
所以的值域为，
此时只需，即，所以；
若，则在上单调递增，
可得的值域为，
此时与的交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数的范围是；
【小问3详解】
恒成立，理由如下：
因为，
所以
，
因为在区间单调递减，
所以当时，，所以，
即，即，
所以，即.
【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.