2023-2024学年山东省泰安市泰山中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省泰安市泰山中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接由集合并集的运算即可得出答案.
【详解】集合，，
由集合并集的运算可得：，
故选：D.
2．命题“，都有”的否定是（ ）
A．，使得B．，都有
C．，使得D．，使得
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定得解.
【详解】根据全程命题的否定得：命题“，都有”的否定是： ，使得，
故选：A.
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案.
【详解】由题意得，即，解得．
故选：C.
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件，必要条件的关系，结合能否取0进行判断即可．
【详解】时，可能，此时无法推出，
而时，隐含，两边同时乘以，得到．
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，所以，
当且仅当，即时取等号；
故选：C
6．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】判断函数的对称轴与开口方向，根据函数的单调性列不等式求解.
【详解】由题意，函数的对称轴为，开口向上，因为函数在上是减函数，所以，得.
故选：C.
7．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.
【详解】由已知，，
则，
故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当时，，则，
故AD项错误，应选B.
又设，且，
则，
故，则有，
即，故在上单调递减.
综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B.
8．已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为（ ）
A．1B．C．1或D．0或1
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.
【详解】由题意可得：，解得.
故选：A.
二、多选题
9．若，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】对于A可根据函数增减性判断；对于B可举出反例判断；对于C可根据函数增减性判断；对于D举出反例判断.
【详解】对于A，函数在上单调递增，所以时，故A正确；对于B，若，则，故B错误；对于C，函数在上单调递增，所以时，故C正确；对于D，若，则，故D错误.
故选:AC
10．若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对底数分情况讨论即可得答案.
【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．
当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．
故选：BC
【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.
11．下列函数在上既是增函数又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据函数奇偶性以及函数单调性的定义，逐项证明，可得答案.
【详解】对于A，函数的定义域为，由，则函数为奇函数，
任意，令，易知，则函数在上为增函数，故A正确；
对于B，函数的定义域为，由，则函数不是奇函数，故B错误；
对于C，函数，其定义域为，由，则该函数为偶函数，故C错误；
对于D，函数的定义域为，由，则函数为奇函数，
取任意，令，则，即，故函数在上为增函数，故D正确.
故选：AD.
12．下列说法中，正确的是（ ）
A．若对任意，，，则在上单调递增
B．函数的递减区间是
C．函数在定义域上是增函数
D．函数的单调减区间是和
【答案】ABD
【分析】根据函数的单调性定义判断A，利用函数图象判断B，由反比例函数性质判断BCD．
【详解】对于A：若对任意，，，显然，
当时，则有；当时，则有；
由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确．
对于B：作出函数的图象，如图所示，
由图象可知：函数的递减区间是，故B正确；
对于C：由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误；
对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．已知为奇函数，则 .
【答案】/0.5
【分析】根据函数的奇偶性即可直接求出参数.
【详解】由题意得，且函数的定义域为R，
所以，
整理，得，即，
解得，
经检验，符合题意.
故答案为：.
14．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据分段函数性质直接计算即可.
【详解】由，
则，
故答案为：2．
15．已知关于x不等式解集为R，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】分为和考虑，当时，根据题意列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】因为关于x不等式解集为R，则有：
当得：，满足题意；
当时，则，解得：，
综上所述：的取值范围为
故答案为：.
16．已知函数，若在上单调递减，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意可得，解不等式组即可得出答案.
【详解】由题意得,即，
解得：．
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．集合，.
(1)若，求，；
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据交集和并集的概念求解即可.
（2）根据题意得到，从而得到，再解不等式组即可.
【详解】（1）若，，.
则，.
（2）因为是的必要条件，所以.
所以.
18．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，
(1)求函数的解析式，并在答题卡上作出函数的图象；
(2)直接写出函数的单调递增区间；
(3)直接写出不等式的解集.
【答案】(1)（可与另一段合并），作图见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得函数的解析式，并画出图象.
（2）根据图象写出函数的单调递增区间；
（3）根据图象写出不等式的解集.
【详解】（1）由已知，，
当时，，
∴，
∴，.
∴（可与另一段合并）.
图象如下图所示.
（2）由图可知：单调递增区间为：，.
（3）由图可知：不等式的解集为：.
19．已知x，y都是正数．
(1)若，求的最大值；
(2)若，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)直接利用基本不等式即可求得最值；
(2)利用，展开后直接利用基本不等式求出结果.
【详解】（1）因为x，y都是正数，则，即，
解得：，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
（2）由x，y都是正数，且，由可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
20．已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
【答案】(1)答案见解析
(2)1
【分析】（1）令，利用复合函数的单调性分析求解；
（2）令，结合指数函数单调性可知的最小值为，然后分和两种情况，结合二次函数最值分析求解.
【详解】（1）当时，
令，则在上单调递增，在单调递减，
且在R上为减函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）令，则，
因为的最大值为3，且在R上为减函数，
所以的最小值为，
当时，无最大值，不合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数a的值为1.
21．已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
（2）解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
22．已知定义域为的函数满足对任意，都有．
(1)求证：是偶函数；
(2)设时，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②或或
【分析】（1）函数性质先计算，令即可证明；
（2）①设，则,由通过性质可得出即可证明；②由是偶函数原不等式可得，再利用函数在上是减函数求解即可.
【详解】（1）取得，即，
取得，即，
取，得，即是偶函数；
（2）①设，则，
由时，得，
则，
即在上为减函数，
②由是偶函数且在上是减函数，
则不等式等价为，
即得，
得得，
即或或，
即不等式的解集为或或..
【点睛】关键点点睛：在②中解题关键点利用的单调性解不等式，本题考查了学生的思维能力、运算能力.