山东省泰安市泰山国际学校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

这是一份山东省泰安市泰山国际学校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题，共5页。试卷主要包含了在中, ,则由正弦定理得,等内容，欢迎下载使用。

2024.4
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题
1．已知等边三角形的边长为1,设,,,那么( )
A.3B.-3C.D.
2．若，，与的夹角为，则( )
A.B.C.D.
3．已知直角梯形，，，，P是BC边上的一点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．若向量，，满足：，，且，则的最小值为( )
A.B.2C.1D.
5．的三个内角的对边分别为,已知,向量.若,则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
6．复数满足,其中为虚数单位,则在复平面上复数对应的点位( )
A.第一象限 B.第二象 C.第三象限 D.第四象限
7．在三棱柱中，，，，，侧棱长为b，则其侧面积为( )
A.B.C.D.
8．不共面的三条定直线互相平行,点在上,点在上, 两点在上,若 (定值),则三棱锥的体积( )
A.由点的变化而变化
B.由点的变化而变化
C.有最大值,无最小值
D.为定值
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的为( )
A.若点A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量
B.若点A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量
C.若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
D.若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上
10．如图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则下列结论中正确的有( )
A.球与圆柱的体积之比为
B.四面体CDEF的体积的取值范围为
C.平面DEF截得球的截面面积最小值为
D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
11．已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A.z的模等于13
B.z在复平面内对应的点位于第四象限
C.z的共轭复数为
D.若是纯虚数，则
三、填空题
12．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为，，，，则实数的值为__________.
13．向量a,b的夹角为,定义运算””:,若,,则的值为__________.
14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位）
四、解答题
15．如图,在三棱柱中, 平面
（1）过的截面交于点,若△为等边三角形,求出点的位置;
（2）在1条件下,求四棱锥与三棱锥的体积比.
16．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知．
（1）求角A的大小;
（2）若,,求a的值;
（3）若,判断的形状．
17．已知平面向量,的夹角为,且,,.
（1）当,求;
（2）当时,求的值.
18．已知复数，，i为虚数单位.
（1）当z是纯虚数时，求m的值；
（2）当时，求z的模.
19．已知的内角的对边分别为,且,
（1）若点在边上,且,求的面积
（2）若为锐角三角形,且,求的取值范围
参考答案
1．答案：D
解析：在等边三角形中,
有．
故选：D．
2．答案：C
解析：，，与的夹角为，
所以.
故选：C.
3．答案：D
解析：方法一：因为P在BC边上，不妨设，则（其中），所以
.因为，所以.
方法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中，设点，其中，，，.，，故选D.
4．答案：B
解析：设，，
设M为AB的中点，
已知向量，，满足:，，且
则，，
则
当且仅当O在线段CM上时取等号，
即的最小值为2.
故选:B.
5．答案：B
解析：
6．答案：D
解析：依题意可得,
,
所以在复平面上复数对应的点位于第四象限,故选D。
7．答案：C
解析：如图，由已知条件可知，侧面和侧面为平行四边形，侧面为矩形.
在中，，，，
.
，，点B到直线的距离为.，.
8．答案：D
解析：
9．答案：AD
解析：对于A，若点A，B，C，D在一条直线上，则向量与的方向相同或相反，因此与是共线向量，A是真命题；对于B，若点A，B，C，D不在一条直线上，则与的方向不确定，所以不能判断与是否共线，B不是真命题；对于C，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上，C不是真命题；对于D，因为，两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以A，B，C三点共线，D是真命题.故选AD.
10．答案：AD
解析：对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确；
对于B，设d为点E到平面BCD的距离，，而平面BCD经过线段EF的中点，
四面体CDEF的体积，B错误；
对于C，过点O作于点H，如图，而，则，
又，于是，设截面圆的半径为，球心O到平面DEF的距离为，则.
又，则平面DEF截球的截面圆面积错误；
对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接QE，QF，
当点Q与E，F都不重合时，设，则，，
当点Q与E，F之一重合时，上式也成立，
因此，，，
则，
令，则，因为，所以，
因此，解得，所以的取值范围为，D正确.故选AD.
11．答案：BD
解析：对于选项A，，故A错误；
对于选项B，z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故B正确；
对于选项C，根据共轭复数的定义，z的共轭复数为，故C错误；
对于选项D，，若是纯虚数，则，解得，故D正确.故选BD.
12．答案：-4
解析：因为，所以，所以，解得，所以.
13．答案：
解析：因为,所以,则,所以.
14．答案：
解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为r,
即,可得尺；
根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的体积为立方尺；
又1斛米的体积约为1.6立方尺,所以共斛.
故答案为：.
15．答案：（1）由题意,在三棱柱中,由平面且可得, ,
故点的位置为的三等分点,且靠近处
（2）由1可知, ,
所以,
所以所求两个几何体的体的体积比为
解析：
16．答案：（1）;
（2）;
（3）正三角形．
解析：（1）因为在三角形中,,,所以;
（2）根据余弦定理,,,,解得;
（3）因为,,
化简得,则,
又由(1)可知,,所以为正三角形.
17．答案：（1）
（2）3
解析：（1）.
.
（2）, .
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由z是纯虚数，有，
解得；
（2）当时，，
所以.
19．答案：（1).在中, ,则由正弦定理得,
由得, 又由,得
∴由正弦定理可知,即,由余弦定理有,则
(2)由知, ,得又∵,
由正弦定理,则
由为锐角三角形,则,得
即的取值范围为