2022-2023学年广东省深圳市福田外国语高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省深圳市福田外国语高级中学高一（上）

期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知全集为，若集合，集合，则图中阴影部分表示（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合，由图可知阴影部分表示的为，从而可求得答案.

【详解】由图可知阴影部分表示的为，

因为或，

所以，

因为，

所以，

故选：A

2. 若，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质及作差法即可判断.

【详解】根据题干条件可得

对于A，通过作差可得，通过题干条件，不能判断的正负，也就不能确定，或直接令，，则，故A错误；

对于B，当或时式子无意义，故B错误；

对于C，由于，

若，则，即可知；

若，又因为，所以且，此时，所以成立；

若，则，此时，所以成立；

若，则，此时成立；

综合以上各种情况可知C正确；

对于D，若，因为，所以，而此时，不满足，故D错误.

故选：C.

3. 设则的大小关系是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.

考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.

4. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值不可以是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】由“”是“”的充分不必要条件，所以对应的集合为不等式解集集合的真子集，建立不等式解出即可.

【详解】由不等式得，或，

∵“”是“”的充分不必要条件，

∴集合是集合或的真子集，

∴，

∴实数a的取值不可以是1.

故选：A.

5. 已知函数若，则实数（    ）

A.  B. 2 C. 4 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】由题知，再根据时，得，再解方程即可得答案.

【详解】解：由题知，

所以，

因为时，，所以，，

所以，解得.

故选：B

6. 下列函数是偶函数且在上单调递增函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析选项奇偶性和在上的单调性即可.

【详解】对于A，为偶函数，又当时，

在递减，故A错误；

对于B，的定义域为R，

，则为奇函数，故B错误；

对于C，为偶函数，且时，

为增函数，故C正确；

对于D，的定义域为，其为偶函数.

当时，为减函数，故D错误.

故选：C.

7. 函数的部分图象大致为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数的奇偶性，利用基本不等式结合排除法可得出合适的选项.

【详解】，该函数的定义域为，

，则函数为奇函数，排除BD选项，

当时，，当且仅当时，等号成立，排除A选项.

故选：C.

8. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解．

【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减，

又是偶函数，因此不等式转化为，

，，解得．

故选：D．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9. ，且，则m可能的取值为（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由题可得，然后讨论集合B是否为空集，求解即得.

【详解】由得或，

所以，

∵，

∴，

①时，，满足；

②时，，又，

所以或，

∴或．

综上，实数m的值可以为0或或.

故选：ABC．

10. 以下命题正确的是（    ）

A. 函数与函数表示同一个函数

B. ，使

C. 若，且，则的最小值为

D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A选项根据函数的对应关系即可判断；对于B选项根据幂函数的单调性即可判断；对于C选项，利用基本不等式即可判断；对于D选项，根据复合函数的定义域即可判断.

【详解】对于选项A，，，

故与不是同一个函数，故A错误；

对于选项B，由幂函数的单调性知，∵，

∴在是增函数，∴，即，故B正确；

对于选项C，，

当且仅当，即，时，等号成立，

故的最小值为；故C正确；

对于选项D，∵函数的定义域为，∴，解得，

故函数的定义域为；故D错误.

故选：BC.

11. 已知关于的不等式的解集为，则（    ）

A.  B. 不等式的解集为

C.  D. 不等式的解集为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意结合韦达定理，即可得到，然后对选型逐一判断，即可得到结果.

【详解】∵关于的不等式的解集为，

∴，即，；故选项A错误；

不等式可化为，故不等式的解集为，故选项B正确；

，故选项C正确；

∵，∴，

即，且，所以的解集为R，故选项D错误；

故选：BC.

12. 德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为

A. 函数是偶函数

B. ,,恒成立

C. 任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立

D. 不存在三个点,,,使得为等腰直角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．

【详解】对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；

对于B，取，则，，故选项B错误；

对于C，若，则，满足；若，则，满足，故选项C正确；

对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：

①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，此时也不符合函数定义，故不成立；

③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；

④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，此时也不符合函数定义，故不成立．

综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确．

故选：．

【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若命题，则其否定为：__________________．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用存在量词写出其否定即可.

【详解】因为命题，

所以其否定： .

故答案为：.

14. 已知幂函数在上单调递增，则m＝______．

【答案】4

【解析】

【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.

【详解】由题意可得，解得

故答案为：4.

15. 若函数是奇函数，且在定义域R上是减函数，，不等式的解集是______.

【答案】

【解析】

【分析】首先根据函数是奇函数，求，再利用函数的单调性解不等式.

【详解】若函数是奇函数，且在定义域R上是减函数，，

可得，则不等式

即为，可得，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：.

16. 已知函数满足且，有，则实数a取值范围是__________．（用集合或区间表示）

【答案】

【解析】

【分析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且时，满足，由不等式组求解即可.

【详解】因为对，且都有成立，

所以函数在上单调递增.

所以，解得.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，

（1）若，求；

（2）若，求 k 取值范围．

【答案】（1）或；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）化简集合，然后利用补集及交集的定义运算即得；

（2）由题可得，从而解出 k 的范围即可．

【小问1详解】

由题可得，

当时，，

所以或，

所以或；

【小问2详解】

∵，

∴或或，

∴，

解得，

∴实数 k 的取值范围为．

18. 已知函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2）．

（1）求实数m的值；

（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；

（3）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．

【答案】（1）m＝1（2）函数是奇函数,证明见解析（3）函数是单调递减函数,证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2），代入计算求实数m的值；

（2）利用函数f（x）的奇偶性的定义，判断与证明；

（3）利用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．

【详解】（1）∵函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2），

∴2＝1+m，

∴m＝1；

（2）f（x）＝x，定义域为：，

又f（﹣x）＝﹣xf（x），

∴函数f（x）是奇函数；

（3）函数f（x）在（0，1）上单调递减，

设0＜x1＜x2＜1，

则，

∵0＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，

∴，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，1）上的单调递减．

【点睛】本题考查求函数的解析式，考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求的值；

（2）求函数的解析式；

（3）把函数图象补充完整，并写出函数的单调区间.

【答案】（1）-5    （2）   

（3）图像见解析，单调递增区间为，，单调递减区间为

【解析】

【分析】（1）分别代入和即可得到；

（2）当时，利用可求得时的解析式；结合可得结果；

（3）根据对称性可得函数图像，结合图像可确定单调递增区间.

【小问1详解】

当时，，

，，

∵函数是定义在R上的奇函数，

∴.

【小问2详解】

当时，，

，

∵函数是定义在R上的奇函数，

∴，，

则.

【小问3详解】

由（2）可得，的图像，如图所示：

由图象可知，的单调递增区间为，.

20. 已知函数为偶函数．

（1）求实数的值；

（2）当时，若函数的值域为，，求，的值．

【答案】（1）－1    （2），

【解析】

【分析】（1）由偶函数的性质即可求出；

（2）判断出的单调性，根据定义域和值域列出方程即可求解.

【小问1详解】

根据题意，函数为偶函数，

则有对恒成立，

即对恒成立

解得；

【小问2详解】

∵，

当时，为增函数，则有：，

即、是方程的两个根，

又由，则，则，．

21. 第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

【答案】（1）   

（2）当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元

【解析】

【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，

（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案

【小问1详解】

由题意知，当时，，所以a=300.

当时，；

当时，.

所以，

【小问2详解】

当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；

当时，，

当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.

因为，

所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.

22. 已知函数.

（1）若存在实数，使得成立，试求的最小值；

（2）若对任意的，都有恒成立，试求的取值范围.

【答案】（1）1；    （2）.

【解析】

【分析】（1）代入，化简可得，令，可得，结合单调性求解即可；

（2）转化为，结合二次函数性质分，，三种情况讨论即可.

【小问1详解】

由题意，由得，，即，

，

令，则，

由于函数在为增函数，在为减函数，

，即的最小值为1.

【小问2详解】

二次函数的开口向上，对称轴为，

若对任意的，都有恒成立，

则当时，，

①当，即时，，

故，解得，又，故无解；

②当，即时，，

，

要使得，只需且，

故，

，

故；

③当，即时，

，

则，即，解得，与矛盾，无解.

综上，实数的取值范围是.