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2023-2024学年江西省丰城市第九中学高一上学期11月期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江西省丰城市第九中学高一上学期11月期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据分式不等式解得的取值范围，根据充分不必要条件的定义，可得答案.
【详解】由不等式，等价于，解得，
由，故是的充分不必要条件.
故选：A.
2．已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用作差法比较大小.
【详解】解：，，．
，．
．
故选：B．
3．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.
【详解】解得或，
命题“，”为全称命题，
所以其否定是“，”，
故选：D.
4．已知集合，，若，则实数a的值是（ ）
A．2B．C．2或D．0，2或
【答案】D
【分析】根据，所以，中，由于 的值不确定，考虑的值是否为0，再进行求解.
【详解】因为，所以，
当时，，符合题意；
当时，，
则，解得，
综上，实数a的值是0或2或.
故选：D
【点睛】注意题中的取值是否为0的讨论是因为求根时，两边要同时除以，故需讨论.
5．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出命题“，”为真命题的等价条件，再结合必要不充分条件的定义逐项判断即可.
【详解】因为，为真命题，则或，解得，
对于A，，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，A错误；
对于B，是命题“，”为真命题的充要条件，B错误；
对于C，，是命题“，”为真命题的必要不充分条件，C正确；
对于D，，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，D错误；
故选：C
6．若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】真命题转化为不等式恒成立求参数的取值范围求解即可.
【详解】若“，使成立”的否定是：
“，使”为真命题，
即；令，
由，得，所以，
所以，
故选：C.
7．在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克B．小于克
C．大于等于克D．小于等于克
【答案】C
【分析】设出力臂和药品数量，根据杠杆原理得到，再根据均值不等式计算得到答案.
【详解】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，
则由杠杆原理得：，于是，
故，当且仅当时取等号.
故选：C.
8．设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32B．56C．72D．84
【答案】B
【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.
【详解】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个.
若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个.
若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个.
若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个.
若6,8,10在集合A内，只有1个.
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】ABCD
【分析】根据命题的否定即可判定AB,根据不等式的性质可判定C，根据一元二次方程根的分布可判定D.
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确，
对于B，命题“，”的否定是“，”，故B正确，
对于C,当时，，
当时，，
当时，，
当时，不符合，所以不可能出现，故“”是“”的充要条件，C正确，
对于D，若方程方程有一正一负根，则,“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件,D正确，
故选：ABCD
10．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A．且B．
C．D．不等式的解集是
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出的正负以及的关系，由此可判断各选项的对错.
【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，
又因为，所以；
A．，故正确；
B．因为，所以，故正确；
C．因为解集为，所以，故错误；
D．因为即为，即，解得，故正确；
故选：ABD.
11．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
【答案】ABC
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
12．若实数，，满足：，以下选项中正确的有（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为5D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式即可求解A，利用乘“1”法即可求解CD，平方后利用A选项的求解即可来判断B.
【详解】由于数，，所以，故，当且仅当，即时取得等号，故A正确，，当且仅当时取得等号，故B正确，
,当且仅当，即取等号，但是，故，故C错误，
，当且仅当，即时等号成立，故D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．已知集合，则 ．
【答案】
【分析】利用集合交集的定义得到二次一次方程组，解之即可.
【详解】由题意，联立，解得，
所以.
故答案为：.
14．已知实数x，y满足，，则的范围为 ．
【答案】
【分析】用、表示出，然后可算出答案.
【详解】设，则，解得，
∴
∵，∴，
∵，∴
∴．
故答案为：
15．已知集合，则集合子集的个数为 .
【答案】
【分析】求出集合中的元素，由元素个数求出子集个数即可.
【详解】当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
所以的所有取值为：，故共个元素.
所以子集的个数为：.
故答案为：.
16．已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是 .
【答案】
【分析】依题意可得、是关于的一元二次方程的两根且，，利用韦达定理可得且，即可得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为区间是关于的一元二次不等式的解集，
所以、是关于的一元二次方程的两根且，，
所以，所以且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，，若，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可.
【详解】∵.
假设，则
①，有，解得；
②，有，a无实数解；
③，有，解得；
④，有，a无实数解.
∴时，，
即满足的实数a的取值范围是
18．设p：实数x满足，q：实数x满足.
(1)若，且p，q都为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解不等式化简命题，，再求交集作答.
（2）根据给定条件化简命题，结合（1）中信息，利用集合的包含关系求解作答.
【详解】（1）由，得，解得，于是命题：，
当时，由，解得，于是命题：，
由命题，均为真命题，得，
所以实数x的取值范围.
（2）当时，由，解得，于是命题：，
由是的充分不必要条件，得，
因此或，解得或，则，
所以实数a的取值范围是.
19．已知二次函数的图象与x轴交于，两点.
(1)当时，求的值；
(2)求关于x的不等式的解集.
【答案】(1)12
(2)答案见解析
【分析】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解；
（2）讨论两根大小求解一元二次不等式.
【详解】（1）当时，.
由题意可知是方程的两个不同实根，则，，
故.
（2）不等式可转化为.
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是.
20．已知不等式的解集为
(1)求证：方程必有两个不同的根；
(2)若方程的两个根分别为，，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意结合韦达定理可得，根据根的判别式求证即可；
（2）由韦达定理可得，进而根据转化为，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）证明：由题意得，和为方程的两根，且，，
所以，即，
对于方程，
其，
所以方程必有两个不同的根.
（2）由（1）知，即，
又方程的两个根分别为，，
所以，
所以
，
因为，所以，
即，
所以的取值范围为．
21．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
【答案】(1)
(2)AN长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米
【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形三角形，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；
（2）解法1：利用当且仅当时取等号的方法求出S的最大值即可；
解法2：讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．
【详解】（1）设的长为x米，
由题意可知：∵，∴，∴，
∴，
由，得，
∵，
∴，即,
解得：或，
即长的取值范围是；
（2）解法一：∵，
∴
，
当且仅当，即时，取“=”号，
即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米．
解法二：∵∴，
令得，
当时，，当时，
当时，S取极小值，且为最小值，
即长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米．
22．已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据命题为真转化为不等式恒成立，利用判别式求解；
（2）分类讨论的正负求出集合B,再根据中只有一个整数建立不等式求解.
【详解】（1）由条件知，恒成立，
只需的.
解得，也即.
（2）若，使得成立，
也即,,
当，只需，此时.
当，只需，此时.
因此，当时，若使得只有一个整数，则只需
解得.
当，由于，
因此必有整数，与条件不符，矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
一、单选题
1．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据分式不等式解得的取值范围，根据充分不必要条件的定义，可得答案.
【详解】由不等式，等价于，解得，
由，故是的充分不必要条件.
故选：A.
2．已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用作差法比较大小.
【详解】解：，，．
，．
．
故选：B．
3．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.
【详解】解得或，
命题“，”为全称命题，
所以其否定是“，”，
故选：D.
4．已知集合，，若，则实数a的值是（ ）
A．2B．C．2或D．0，2或
【答案】D
【分析】根据，所以，中，由于 的值不确定，考虑的值是否为0，再进行求解.
【详解】因为，所以，
当时，，符合题意；
当时，，
则，解得，
综上，实数a的值是0或2或.
故选：D
【点睛】注意题中的取值是否为0的讨论是因为求根时，两边要同时除以，故需讨论.
5．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出命题“，”为真命题的等价条件，再结合必要不充分条件的定义逐项判断即可.
【详解】因为，为真命题，则或，解得，
对于A，，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，A错误；
对于B，是命题“，”为真命题的充要条件，B错误；
对于C，，是命题“，”为真命题的必要不充分条件，C正确；
对于D，，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，D错误；
故选：C
6．若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】真命题转化为不等式恒成立求参数的取值范围求解即可.
【详解】若“，使成立”的否定是：
“，使”为真命题，
即；令，
由，得，所以，
所以，
故选：C.
7．在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克B．小于克
C．大于等于克D．小于等于克
【答案】C
【分析】设出力臂和药品数量，根据杠杆原理得到，再根据均值不等式计算得到答案.
【详解】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，
则由杠杆原理得：，于是，
故，当且仅当时取等号.
故选：C.
8．设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32B．56C．72D．84
【答案】B
【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.
【详解】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个.
若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个.
若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个.
若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个.
若6,8,10在集合A内，只有1个.
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】ABCD
【分析】根据命题的否定即可判定AB,根据不等式的性质可判定C，根据一元二次方程根的分布可判定D.
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确，
对于B，命题“，”的否定是“，”，故B正确，
对于C,当时，，
当时，，
当时，，
当时，不符合，所以不可能出现，故“”是“”的充要条件，C正确，
对于D，若方程方程有一正一负根，则,“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件,D正确，
故选：ABCD
10．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A．且B．
C．D．不等式的解集是
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出的正负以及的关系，由此可判断各选项的对错.
【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，
又因为，所以；
A．，故正确；
B．因为，所以，故正确；
C．因为解集为，所以，故错误；
D．因为即为，即，解得，故正确；
故选：ABD.
11．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
【答案】ABC
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
12．若实数，，满足：，以下选项中正确的有（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为5D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式即可求解A，利用乘“1”法即可求解CD，平方后利用A选项的求解即可来判断B.
【详解】由于数，，所以，故，当且仅当，即时取得等号，故A正确，，当且仅当时取得等号，故B正确，
,当且仅当，即取等号，但是，故，故C错误，
，当且仅当，即时等号成立，故D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．已知集合，则 ．
【答案】
【分析】利用集合交集的定义得到二次一次方程组，解之即可.
【详解】由题意，联立，解得，
所以.
故答案为：.
14．已知实数x，y满足，，则的范围为 ．
【答案】
【分析】用、表示出，然后可算出答案.
【详解】设，则，解得，
∴
∵，∴，
∵，∴
∴．
故答案为：
15．已知集合，则集合子集的个数为 .
【答案】
【分析】求出集合中的元素，由元素个数求出子集个数即可.
【详解】当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
所以的所有取值为：，故共个元素.
所以子集的个数为：.
故答案为：.
16．已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是 .
【答案】
【分析】依题意可得、是关于的一元二次方程的两根且，，利用韦达定理可得且，即可得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为区间是关于的一元二次不等式的解集，
所以、是关于的一元二次方程的两根且，，
所以，所以且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，，若，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可.
【详解】∵.
假设，则
①，有，解得；
②，有，a无实数解；
③，有，解得；
④，有，a无实数解.
∴时，，
即满足的实数a的取值范围是
18．设p：实数x满足，q：实数x满足.
(1)若，且p，q都为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解不等式化简命题，，再求交集作答.
（2）根据给定条件化简命题，结合（1）中信息，利用集合的包含关系求解作答.
【详解】（1）由，得，解得，于是命题：，
当时，由，解得，于是命题：，
由命题，均为真命题，得，
所以实数x的取值范围.
（2）当时，由，解得，于是命题：，
由是的充分不必要条件，得，
因此或，解得或，则，
所以实数a的取值范围是.
19．已知二次函数的图象与x轴交于，两点.
(1)当时，求的值；
(2)求关于x的不等式的解集.
【答案】(1)12
(2)答案见解析
【分析】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解；
（2）讨论两根大小求解一元二次不等式.
【详解】（1）当时，.
由题意可知是方程的两个不同实根，则，，
故.
（2）不等式可转化为.
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是.
20．已知不等式的解集为
(1)求证：方程必有两个不同的根；
(2)若方程的两个根分别为，，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意结合韦达定理可得，根据根的判别式求证即可；
（2）由韦达定理可得，进而根据转化为，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）证明：由题意得，和为方程的两根，且，，
所以，即，
对于方程，
其，
所以方程必有两个不同的根.
（2）由（1）知，即，
又方程的两个根分别为，，
所以，
所以
，
因为，所以，
即，
所以的取值范围为．
21．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
【答案】(1)
(2)AN长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米
【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形三角形，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；
（2）解法1：利用当且仅当时取等号的方法求出S的最大值即可；
解法2：讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．
【详解】（1）设的长为x米，
由题意可知：∵，∴，∴，
∴，
由，得，
∵，
∴，即,
解得：或，
即长的取值范围是；
（2）解法一：∵，
∴
，
当且仅当，即时，取“=”号，
即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米．
解法二：∵∴，
令得，
当时，，当时，
当时，S取极小值，且为最小值，
即长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米．
22．已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据命题为真转化为不等式恒成立，利用判别式求解；
（2）分类讨论的正负求出集合B,再根据中只有一个整数建立不等式求解.
【详解】（1）由条件知，恒成立，
只需的.
解得，也即.
（2）若，使得成立，
也即,,
当，只需，此时.
当，只需，此时.
因此，当时，若使得只有一个整数，则只需
解得.
当，由于，
因此必有整数，与条件不符，矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
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