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2023-2024学年山东省泰安市肥城市一中高一上学期期中考试数学含答案
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这是一份2023-2024学年山东省泰安市肥城市一中高一上学期期中考试数学含答案，共23页。试卷主要包含了 “”是“”的， 已知函数，方程有三个解，则， 已知全集，其中，则可以是， 图象经过第三象限的函数是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域是（ ）
A B. C. D.
3. 命题“是无理数”的否定是（ ）
A. 不是无理数B. 不是无理数
C. 不是无理数D. 不是无理数
4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数在上具有单调性，则实数取值集合是（ ）
A. B. 或
C. D.
7. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，方程有三个解，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 已知全集，其中，则可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 图象经过第三象限的函数是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列不等式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数对于任意的，都有成立，则（ ）
A
B. 是上的偶函数
C. 若，则
D. 当时，，则在上单调递增
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则__________.
14. 已知，则的取值范围是__________.
15. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，.则当时，__________.
16. 已知函数，且的图象过定点，则定点的坐标__________如果，则的最小值为__________
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）已知，求的值.
18. 已知集合.
（1）若集合，写出集合的所有子集；
（2）若集合，“”是“”充分不必要条件，求m的取值范围.
19. 已知一元二次不等式的解集是.
（1）求的值；
（2）已知，求关于的不等式的解集.
20. 已知函数，证明：在区间上单调递增的充要条件是.
21. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性（不需要证明）；
（3）若存在，使成立，求的取值范围.
22. 某社区计划在长方形空地ABCD上建一座供社区居民休闲健身小型广场､做如下规划：在空地中的点M处修建一座凉亭，经过点M铺一条直直的小径EF，小径EF把空地分割成两块梯形区域，计划在梯形区域AEFB处修建休憩棋牌区，在梯形区域处修建运动健身区，已知点E，F分别在AD和BC边上，，其中米，米，点M到边AB的距离为30米，到边BC的距离为40米，设米，米.（参考数据：）
（1）设小径的长为米，若，写出的所有可能取值组成的集合；
（2）求的值，并求代数式的最小值；
（3）计划在梯形区域上，修建一个以点为顶点，其余各顶点分别在上的正方形耐踏草坪，设草坪的边长为米，求函数的值域.高一数学试题
本试卷共22题，满分150分，共6页.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集概念进行求解.
【详解】.
故选：B
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数定义域，结合函数解析式，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故选：D.
3. 命题“是无理数”的否定是（ ）
A. 不是无理数B. 不是无理数
C. 不是无理数D. 不是无理数
【答案】A
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解.
【详解】解：由全称量词命题的否定为存在量词命题，
得命题：是无理数”的否定是：不是无理数.
故选：A.
4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】利用同一函数的定义逐一分析各个选项即可判断.
【详解】对于A，与对应关系不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B，与对应关系不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C，，与，，定义域对应法则均相同，所以是同一函数，故C正确；
对于D，，与，，定义域不同，所以不是同一函数，故D错误.
故选：C.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】，解得或，得到答案.
【详解】，则或，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值集合是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性得到或，解得答案.
【详解】函数在上具有单调性，则或，
解得或.
故选：B
7. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分和两种情况讨论即可.
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，.
故选：C.
8. 已知函数，方程有三个解，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】变换得到，设，确定函数为奇函数，得到，，计算得到答案.
【详解】，，即，即，
设，函数定义域为，，
函数为奇函数，，
不妨取，则，，.
故选：B.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 已知全集，其中，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合元素的性质及补集的概念求解即可得答案.
【详解】已知全集，其中，
当时，
当时，
当时，
故选：AC.
10. 图象经过第三象限的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】结合常见的幂函数图象，数形结合得到答案.
【详解】由幂函数的图象可知，
A中，过第一、二象限；
B中，过第一、三象限；
C中，且定义域为R，过第一、二象限；
D中，过第一、三象限.
故选：BD
11. 下列不等式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接根据指数幂的运算和指数函数幂函数的单调性依次比较大小即可.
【详解】对选项A：，，故，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，，，故，错误；
对选项D：，正确；
故选：ABD
12. 已知函数对于任意的，都有成立，则（ ）
A.
B. 是上的偶函数
C. 若，则
D. 当时，，则上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，令，得到A正确；B选项，令，得到，但f(x)不一定恒为0可判断B；C选项，令即可；D选项，令，得到，得到在上单调递减.
【详解】A选项，当时，，解得，A正确；
B选项，令得，即，故是上的奇函数，
但不一定是偶函数,因为不一定恒为0，B错误；
C选项，令，则，因为，则，C正确；
D选项，令，则，
则，故在上单调递减，D错误.
故选：AC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接计算得到答案.
【详解】，则.
故答案：.
14. 已知，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】确定，，得到范围.
【详解】，则，，故.
故答案为：.
15. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，.则当时，__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求对称区间的解析式即可.
【详解】函数是定义域为的偶函数，当时，.
则当时，，所以.
故答案为：.
16. 已知函数，且的图象过定点，则定点的坐标__________如果，则的最小值为__________
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】第一空利用指数函数必过的定点，消去变量即可，第二空巧妙换元，转化为函数问题，分离参数法求解即可.
【详解】必过定点，该点必定与无关，故，解得，
将代入原函数，可得，故，，故，
由题意知，设，则，
可得，故，令
则，令，
令,,故在上单调递减，
在，上单调递增，故最小值是
故答案为：，
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）108；（2）2
【解析】
【分析】根据指数的运算性质分别计算即可.
【详解】（1）原式
；
（2）因为，所以，
所以.
18. 已知集合.
（1）若集合，写出集合的所有子集；
（2）若集合，“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式确定，再确定子集即可.
（2）根据充分不必要条件确定，得到不等关系，解得答案.
【小问1详解】
不等式的解集是.
当时，，集合的子集有.
【小问2详解】
当时，.
因为“”是“”的充分不必要条件，所以.
所以，（等号不同时成立），解得，即
19. 已知一元二次不等式的解集是.
（1）求的值；
（2）已知，求关于的不等式的解集.
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）是方程的一个根，是方程的另外一个根，计算得到答案.
（2）确定，考虑和两类情况，在时，还需根据根大小进行讨论.
【小问1详解】
由题知，是方程的一个根，
将代入方程，得.
是方程的另外一个根，由韦达定理得，解得.
【小问2详解】
把代入不等式，整理.
当时，不等式化为，解得.
当时，不等式可化为，
方程有两个根1和.
①当时，，解不等式得，或；
②当时，，不等式为，得；
③当时，，解不等式得：，或.
综上所述：
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是或；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是或.
20. 已知函数，证明：在区间上单调递增的充要条件是.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】考虑充分性和必要性，设，且，计算得到充分性；，且，计算，根据单调性得到得到必要性，得到证明.
【详解】证明：设：，：函数在区间上单调递增.
①充分性：
，且，
则
.
因为，从而，得，
所以，即.
所以当时，函数在区间上单调递增.
②必要性：
由①可知，，且，则.
因为函数在区间上单调递增，
所以有，则.
由于，则在上恒成立.
因为，所以，只要，则在上就恒成立.
即.
由①②可知函数在区间上单调递增的充要条件是.
21. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性（不需要证明）；
（3）若存在，使成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）减函数 （3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数得到，结合得到答案.
（2）根据指数函数单调性得到答案.
（3）题目转化为，令，问题等价转化为，计算最值得到答案.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以.
因为，所以，
将代入，整理得.
当时，有，即，
又因为当时，有，所以，所以.
，函数定义域为，，函数为奇函数
所以.
【小问2详解】
函数，
在上单调递增，且，在上单调递减，
故函数在上是减函数.
【小问3详解】
函数是定义在上的奇函数，故.
函数在上是减函数，所以，所以.
令，由题意可知，问题等价转化为，
又因为，所以，即.
22. 某社区计划在长方形空地ABCD上建一座供社区居民休闲健身的小型广场､做如下规划：在空地中的点M处修建一座凉亭，经过点M铺一条直直的小径EF，小径EF把空地分割成两块梯形区域，计划在梯形区域AEFB处修建休憩棋牌区，在梯形区域处修建运动健身区，已知点E，F分别在AD和BC边上，，其中米，米，点M到边AB的距离为30米，到边BC的距离为40米，设米，米.（参考数据：）
（1）设小径的长为米，若，写出的所有可能取值组成的集合；
（2）求的值，并求代数式的最小值；
（3）计划在梯形区域上，修建一个以点为顶点，其余各顶点分别在上的正方形耐踏草坪，设草坪的边长为米，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）90,
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图形的几何性质，结合三角形相似和勾股定理，可得答案；
（2）利用基本不等式“1”的妙用，可得答案；
（3）利用三角形相似，明确函数的定义域，结合函数单调性，可得答案.
【小问1详解】
过点作于，作于，过点作于，
与交于点.由题意可知.
假设点与点重合，由三角形相似性质得，即，
解得米，所以米.
由题意可知，且.
因为，所以的所有可能取值为.
所以的取值集合为.
【小问2详解】
由（1），则，得.
所以，
当且仅当时，即时，取到等号
又因为，可解得时，取到最小值.
【小问3详解】
由（1）（2）可得，且，
由相似的性质可得，
则，
因为变量随变量的增大而增大，由，得，
可得的定义域为.
在区间内任取变量，且，
则
.
因为，可推得，
从而，即得.
所以得函数在内单调递增，
因为，所以函数的值域为
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域是（ ）
A B. C. D.
3. 命题“是无理数”的否定是（ ）
A. 不是无理数B. 不是无理数
C. 不是无理数D. 不是无理数
4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数在上具有单调性，则实数取值集合是（ ）
A. B. 或
C. D.
7. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，方程有三个解，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 已知全集，其中，则可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 图象经过第三象限的函数是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列不等式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数对于任意的，都有成立，则（ ）
A
B. 是上的偶函数
C. 若，则
D. 当时，，则在上单调递增
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则__________.
14. 已知，则的取值范围是__________.
15. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，.则当时，__________.
16. 已知函数，且的图象过定点，则定点的坐标__________如果，则的最小值为__________
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）已知，求的值.
18. 已知集合.
（1）若集合，写出集合的所有子集；
（2）若集合，“”是“”充分不必要条件，求m的取值范围.
19. 已知一元二次不等式的解集是.
（1）求的值；
（2）已知，求关于的不等式的解集.
20. 已知函数，证明：在区间上单调递增的充要条件是.
21. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性（不需要证明）；
（3）若存在，使成立，求的取值范围.
22. 某社区计划在长方形空地ABCD上建一座供社区居民休闲健身小型广场､做如下规划：在空地中的点M处修建一座凉亭，经过点M铺一条直直的小径EF，小径EF把空地分割成两块梯形区域，计划在梯形区域AEFB处修建休憩棋牌区，在梯形区域处修建运动健身区，已知点E，F分别在AD和BC边上，，其中米，米，点M到边AB的距离为30米，到边BC的距离为40米，设米，米.（参考数据：）
（1）设小径的长为米，若，写出的所有可能取值组成的集合；
（2）求的值，并求代数式的最小值；
（3）计划在梯形区域上，修建一个以点为顶点，其余各顶点分别在上的正方形耐踏草坪，设草坪的边长为米，求函数的值域.高一数学试题
本试卷共22题，满分150分，共6页.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集概念进行求解.
【详解】.
故选：B
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数定义域，结合函数解析式，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故选：D.
3. 命题“是无理数”的否定是（ ）
A. 不是无理数B. 不是无理数
C. 不是无理数D. 不是无理数
【答案】A
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解.
【详解】解：由全称量词命题的否定为存在量词命题，
得命题：是无理数”的否定是：不是无理数.
故选：A.
4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】利用同一函数的定义逐一分析各个选项即可判断.
【详解】对于A，与对应关系不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B，与对应关系不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C，，与，，定义域对应法则均相同，所以是同一函数，故C正确；
对于D，，与，，定义域不同，所以不是同一函数，故D错误.
故选：C.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】，解得或，得到答案.
【详解】，则或，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值集合是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性得到或，解得答案.
【详解】函数在上具有单调性，则或，
解得或.
故选：B
7. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分和两种情况讨论即可.
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，.
故选：C.
8. 已知函数，方程有三个解，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】变换得到，设，确定函数为奇函数，得到，，计算得到答案.
【详解】，，即，即，
设，函数定义域为，，
函数为奇函数，，
不妨取，则，，.
故选：B.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 已知全集，其中，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合元素的性质及补集的概念求解即可得答案.
【详解】已知全集，其中，
当时，
当时，
当时，
故选：AC.
10. 图象经过第三象限的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】结合常见的幂函数图象，数形结合得到答案.
【详解】由幂函数的图象可知，
A中，过第一、二象限；
B中，过第一、三象限；
C中，且定义域为R，过第一、二象限；
D中，过第一、三象限.
故选：BD
11. 下列不等式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接根据指数幂的运算和指数函数幂函数的单调性依次比较大小即可.
【详解】对选项A：，，故，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，，，故，错误；
对选项D：，正确；
故选：ABD
12. 已知函数对于任意的，都有成立，则（ ）
A.
B. 是上的偶函数
C. 若，则
D. 当时，，则上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，令，得到A正确；B选项，令，得到，但f(x)不一定恒为0可判断B；C选项，令即可；D选项，令，得到，得到在上单调递减.
【详解】A选项，当时，，解得，A正确；
B选项，令得，即，故是上的奇函数，
但不一定是偶函数,因为不一定恒为0，B错误；
C选项，令，则，因为，则，C正确；
D选项，令，则，
则，故在上单调递减，D错误.
故选：AC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接计算得到答案.
【详解】，则.
故答案：.
14. 已知，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】确定，，得到范围.
【详解】，则，，故.
故答案为：.
15. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，.则当时，__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求对称区间的解析式即可.
【详解】函数是定义域为的偶函数，当时，.
则当时，，所以.
故答案为：.
16. 已知函数，且的图象过定点，则定点的坐标__________如果，则的最小值为__________
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】第一空利用指数函数必过的定点，消去变量即可，第二空巧妙换元，转化为函数问题，分离参数法求解即可.
【详解】必过定点，该点必定与无关，故，解得，
将代入原函数，可得，故，，故，
由题意知，设，则，
可得，故，令
则，令，
令,,故在上单调递减，
在，上单调递增，故最小值是
故答案为：，
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）108；（2）2
【解析】
【分析】根据指数的运算性质分别计算即可.
【详解】（1）原式
；
（2）因为，所以，
所以.
18. 已知集合.
（1）若集合，写出集合的所有子集；
（2）若集合，“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式确定，再确定子集即可.
（2）根据充分不必要条件确定，得到不等关系，解得答案.
【小问1详解】
不等式的解集是.
当时，，集合的子集有.
【小问2详解】
当时，.
因为“”是“”的充分不必要条件，所以.
所以，（等号不同时成立），解得，即
19. 已知一元二次不等式的解集是.
（1）求的值；
（2）已知，求关于的不等式的解集.
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）是方程的一个根，是方程的另外一个根，计算得到答案.
（2）确定，考虑和两类情况，在时，还需根据根大小进行讨论.
【小问1详解】
由题知，是方程的一个根，
将代入方程，得.
是方程的另外一个根，由韦达定理得，解得.
【小问2详解】
把代入不等式，整理.
当时，不等式化为，解得.
当时，不等式可化为，
方程有两个根1和.
①当时，，解不等式得，或；
②当时，，不等式为，得；
③当时，，解不等式得：，或.
综上所述：
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是或；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是或.
20. 已知函数，证明：在区间上单调递增的充要条件是.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】考虑充分性和必要性，设，且，计算得到充分性；，且，计算，根据单调性得到得到必要性，得到证明.
【详解】证明：设：，：函数在区间上单调递增.
①充分性：
，且，
则
.
因为，从而，得，
所以，即.
所以当时，函数在区间上单调递增.
②必要性：
由①可知，，且，则.
因为函数在区间上单调递增，
所以有，则.
由于，则在上恒成立.
因为，所以，只要，则在上就恒成立.
即.
由①②可知函数在区间上单调递增的充要条件是.
21. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性（不需要证明）；
（3）若存在，使成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）减函数 （3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数得到，结合得到答案.
（2）根据指数函数单调性得到答案.
（3）题目转化为，令，问题等价转化为，计算最值得到答案.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以.
因为，所以，
将代入，整理得.
当时，有，即，
又因为当时，有，所以，所以.
，函数定义域为，，函数为奇函数
所以.
【小问2详解】
函数，
在上单调递增，且，在上单调递减，
故函数在上是减函数.
【小问3详解】
函数是定义在上的奇函数，故.
函数在上是减函数，所以，所以.
令，由题意可知，问题等价转化为，
又因为，所以，即.
22. 某社区计划在长方形空地ABCD上建一座供社区居民休闲健身的小型广场､做如下规划：在空地中的点M处修建一座凉亭，经过点M铺一条直直的小径EF，小径EF把空地分割成两块梯形区域，计划在梯形区域AEFB处修建休憩棋牌区，在梯形区域处修建运动健身区，已知点E，F分别在AD和BC边上，，其中米，米，点M到边AB的距离为30米，到边BC的距离为40米，设米，米.（参考数据：）
（1）设小径的长为米，若，写出的所有可能取值组成的集合；
（2）求的值，并求代数式的最小值；
（3）计划在梯形区域上，修建一个以点为顶点，其余各顶点分别在上的正方形耐踏草坪，设草坪的边长为米，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）90,
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图形的几何性质，结合三角形相似和勾股定理，可得答案；
（2）利用基本不等式“1”的妙用，可得答案；
（3）利用三角形相似，明确函数的定义域，结合函数单调性，可得答案.
【小问1详解】
过点作于，作于，过点作于，
与交于点.由题意可知.
假设点与点重合，由三角形相似性质得，即，
解得米，所以米.
由题意可知，且.
因为，所以的所有可能取值为.
所以的取值集合为.
【小问2详解】
由（1），则，得.
所以，
当且仅当时，即时，取到等号
又因为，可解得时，取到最小值.
【小问3详解】
由（1）（2）可得，且，
由相似的性质可得，
则，
因为变量随变量的增大而增大，由，得，
可得的定义域为.
在区间内任取变量，且，
则
.
因为，可推得，
从而，即得.
所以得函数在内单调递增，
因为，所以函数的值域为
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