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2023-2024学年山东省泰安市肥城市第一高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年山东省泰安市肥城市第一高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】化简集合A，根据交集运算求解即可.
【详解】由，解得，
所以，
所以.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以“”的否定是“，”.
故选：C.
3．已知指数函数的图像经过点，则（ ）
A．4B．1C．2D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的定义即可求解.
【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得，
所以，
故选：A.
4．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据指数函数以及指数的图象，即可结合函数的性质求解.
【详解】与的图象如下图所示，由图可知，的图象恒在的图象的上方，
即在上恒成立，所以当时，“”成立，充分性成立；
当时，可知，必要性不成立.
故选：A.
5．幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论．
【详解】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，
所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为，
在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为.
故选：D
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据“分段法”求得正确答案.
【详解】由题意知，，即，
，即，
，又，即，
∴．
故选：C
7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】当时，单调递减，，且最小值为，
当时，当时，单调递增，不符题意，
又注意到是上的减函数，
故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为，
则由题意有，解得．
故选：A.
8．设函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析函数的奇偶性及在上的单调性，再求解不等式即可.
【详解】函数中，对任意实数，，
即函数的定义域为R，，
即函数是偶函数，当时，，当且仅当时取等号，
有，则，显然在上都递减，
因此在上递减，在上递减，
而函数在上递减，从而函数在上递减，则在上递增，
不等式，于是，
两边平方整理得，解得，
所以不等式的解集.
故选：C
二、多选题
9．已知函数为自然对数的底数），则（ ）
A．为偶函数
B．方程的实数解为
C．的图象关于原点对称
D．，且，都有
【答案】BC
【分析】对于A，利用函数奇偶性的定义判断；对于B，解方程即可判断；对于C，由奇函数的性质判断；对于D，由函数的单调性判断.
【详解】对于A，由题知，其定义域为，因为，
所以函数为奇函数，故A错误；
对于B，由，得，解得，故B正确；
对于C，由A可知，是奇函数，所以其图象关于原点对称，故C正确；
对于D，，
因为函数为上的增函数，所以为上的增函数，
所以，且，都有，故D错误.
故选：BC.
10．已知函数（为常数），则的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据分段函数的性质，结合分类讨论即可与二次函数的性质求解.
【详解】当时，函数选项符合题意；
当时，函数故选项C符合；
当时，函数故选项B符合.
故选:BCD.
11．给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．函数的最大值为.
B．已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D．已知定义在上的奇函数在内有1011个零点，则函数的零点个数为2023
【答案】AB
【分析】选项A，换元法求值域；选项B，由复合函数单调性可知；选项C，两函数互为反函数，则图象关于直线对称；选项D，由奇函数定义可得，再由对称性可得在内的零点个数.
【详解】A选项，函数中，
若令，即有，故A错误；
B选项，函数且在上单调递减，
由单调递减，由复合函数单调性知，故B错误；
选项，函数与互为反函数，
所以图象关于直线对称，故C正确；
选项，定义在上的奇函数在内有1011个零点，
由函数的对称性可知在内有1011个零点，
且，所以是函数的个零点，
即函数的零点个数为2023，故D正确.
故选：AB.
12．若x，．且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，若，，，当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，，
，，B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；
对于D，，则有，变形可得，
故，当且仅当时，取等号，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题
13． ．
【答案】10
【分析】由对数的运算性质求解即可.
【详解】．
故答案为：10．
14．函数的单调递增区间为 .
【答案】/
【分析】根据复合函数的单调性法则求解.
【详解】由，令，则，
因为为增函数，的增区间为，
所以的单调递增区间为.
故答案为：
15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x3+x+1，则f(x)的解析式为 .
【答案】
【分析】根据奇函数的定义可以求出时的解析式，再利用奇函数的性质可得，即求得f(x)的解析式．
【详解】设x<0，则-x>0，所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.
因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以-x3-x+1=-f(x)，即f(x)=x3+x-1.
所以x<0时，f(x)=x3+x-1，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
即f(x)=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用奇函数的定义和性质求函数的解析式，属于基础题．
16．已知函数若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，根据题意转化为，设的零点为，画出函数的图象，要使得方程恰有6个不同的实数根，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.
【详解】解：画出函数的图象，如图所示，
令，则关于x的方程，可化为，
设的零点为，
要使得方程恰有6个不同的实数根，
①当方程在内有两个不同的实根时，
则满足，解得；
②当方程的两个实数根，且时，
则满足，解得；
③当方程的两个实数根，且时，
因为，所以此时不成立；
综上可得，实数m的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若的最大值为9，求a的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据二次函数、指数函数单调性求复合函数的值域；
（2）令，由指数函数单调性得，结合二次函数性质列方程求参数.
【详解】（1）由题设，若，则，
在上递减，在上递增，则，
在定义域上递增，则，
所以的值域为.
（2）令，则，
又在定义域上递增，而的最大值为9，即，
则开口向下且对称轴为，，
所以.
18．已知函数，且．
(1)求a的值；
(2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
【答案】(1)
(2)减函数，证明见解析
【分析】（1）将代入求值；
（2）利用单调性定义证明函数单调性.
【详解】（1）由，得，解得．
（2）在区间上是减函数，
证明过程如下：
由（1）得，对任意，且，则，
所以，
由，得，，又由，得，
于是，即，
所以在区间上是减函数．
19．已知函数.
(1)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(2)当时，记在区间上的最小值为，求的表达式．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）求出函数的单调区间，再利用集合的包含关系列式求解即得.
（2）分段讨论，结合函数的性质求出即可.
【详解】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
因此函数的单调递减区间为，，递增区间为，，
函数在上单调，显然区间的长度为2，因此或，
则或，解得或，
所以实数的取值范围是或．
（2）当时，，由（1）知，
当时，，此时，
当时，在区间上单调递增，则，
所以.
20．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)100百辆，最大利润为1800万元．
【分析】（1）根据给定的函数表达式结合利润的求法即可得到函数关系；
（2）分和,再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较即可.
【详解】（1）∵
∴当时，，
当时，．
故
（2）由（1）得
当时，，
∴；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故．
∵，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
21．已知函数（且）在上最大值和最小值的和为12．
(1)求实数a的值；
(2)令，若在区间上有零点，求k的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定函数是单调函数，列出方程求解即得.
（2）探讨函数单调性，求出在给定区间上的最值，再利用零点存在性定理列式求解即可.
【详解】（1）依题意，函数是上的单调函数，由在上最大值和最小值的和为12，得，
而且，解得，
所以实数a的值是3.
（2）由（1）知，，函数在上单调递增，
于是函数在上单调递增，函数在上单调递增，
当时，，，
由在区间上有零点，得且，解得，
所以k的取值范围是.
22．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】由函数为奇函数可得，由此可求a，再根据奇函数的性质求时，的解析式，由此可得函数的解析式；(2)先求函数的单调性，根据单调性化简不等式，由此可求实数的取值范围.
【详解】解：（1）依题可知，解得，所以当时，，
设，则，所以，
又是奇函数，，
即，所以当时，，
综上所述，
（2）当时，，所以在上单调递减，
又是上的奇函数，在上单调递减，
从而在上单调递减，
由，
可得，
又在上单调递减，
，即对任意的恒成立，
记，对称轴为，依题意有，
①当，即时，在上单调递增，
，解得，与矛盾，此时无解；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，
又因为，所以此时；
③当，即时，在上单调递减，
，解得，又因为，所以此时；
综上所述，实数的取值范围为.
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】化简集合A，根据交集运算求解即可.
【详解】由，解得，
所以，
所以.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以“”的否定是“，”.
故选：C.
3．已知指数函数的图像经过点，则（ ）
A．4B．1C．2D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的定义即可求解.
【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得，
所以，
故选：A.
4．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据指数函数以及指数的图象，即可结合函数的性质求解.
【详解】与的图象如下图所示，由图可知，的图象恒在的图象的上方，
即在上恒成立，所以当时，“”成立，充分性成立；
当时，可知，必要性不成立.
故选：A.
5．幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论．
【详解】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，
所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为，
在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为.
故选：D
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据“分段法”求得正确答案.
【详解】由题意知，，即，
，即，
，又，即，
∴．
故选：C
7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】当时，单调递减，，且最小值为，
当时，当时，单调递增，不符题意，
又注意到是上的减函数，
故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为，
则由题意有，解得．
故选：A.
8．设函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析函数的奇偶性及在上的单调性，再求解不等式即可.
【详解】函数中，对任意实数，，
即函数的定义域为R，，
即函数是偶函数，当时，，当且仅当时取等号，
有，则，显然在上都递减，
因此在上递减，在上递减，
而函数在上递减，从而函数在上递减，则在上递增，
不等式，于是，
两边平方整理得，解得，
所以不等式的解集.
故选：C
二、多选题
9．已知函数为自然对数的底数），则（ ）
A．为偶函数
B．方程的实数解为
C．的图象关于原点对称
D．，且，都有
【答案】BC
【分析】对于A，利用函数奇偶性的定义判断；对于B，解方程即可判断；对于C，由奇函数的性质判断；对于D，由函数的单调性判断.
【详解】对于A，由题知，其定义域为，因为，
所以函数为奇函数，故A错误；
对于B，由，得，解得，故B正确；
对于C，由A可知，是奇函数，所以其图象关于原点对称，故C正确；
对于D，，
因为函数为上的增函数，所以为上的增函数，
所以，且，都有，故D错误.
故选：BC.
10．已知函数（为常数），则的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据分段函数的性质，结合分类讨论即可与二次函数的性质求解.
【详解】当时，函数选项符合题意；
当时，函数故选项C符合；
当时，函数故选项B符合.
故选:BCD.
11．给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．函数的最大值为.
B．已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D．已知定义在上的奇函数在内有1011个零点，则函数的零点个数为2023
【答案】AB
【分析】选项A，换元法求值域；选项B，由复合函数单调性可知；选项C，两函数互为反函数，则图象关于直线对称；选项D，由奇函数定义可得，再由对称性可得在内的零点个数.
【详解】A选项，函数中，
若令，即有，故A错误；
B选项，函数且在上单调递减，
由单调递减，由复合函数单调性知，故B错误；
选项，函数与互为反函数，
所以图象关于直线对称，故C正确；
选项，定义在上的奇函数在内有1011个零点，
由函数的对称性可知在内有1011个零点，
且，所以是函数的个零点，
即函数的零点个数为2023，故D正确.
故选：AB.
12．若x，．且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，若，，，当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，，
，，B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；
对于D，，则有，变形可得，
故，当且仅当时，取等号，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题
13． ．
【答案】10
【分析】由对数的运算性质求解即可.
【详解】．
故答案为：10．
14．函数的单调递增区间为 .
【答案】/
【分析】根据复合函数的单调性法则求解.
【详解】由，令，则，
因为为增函数，的增区间为，
所以的单调递增区间为.
故答案为：
15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x3+x+1，则f(x)的解析式为 .
【答案】
【分析】根据奇函数的定义可以求出时的解析式，再利用奇函数的性质可得，即求得f(x)的解析式．
【详解】设x<0，则-x>0，所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.
因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以-x3-x+1=-f(x)，即f(x)=x3+x-1.
所以x<0时，f(x)=x3+x-1，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
即f(x)=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用奇函数的定义和性质求函数的解析式，属于基础题．
16．已知函数若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，根据题意转化为，设的零点为，画出函数的图象，要使得方程恰有6个不同的实数根，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.
【详解】解：画出函数的图象，如图所示，
令，则关于x的方程，可化为，
设的零点为，
要使得方程恰有6个不同的实数根，
①当方程在内有两个不同的实根时，
则满足，解得；
②当方程的两个实数根，且时，
则满足，解得；
③当方程的两个实数根，且时，
因为，所以此时不成立；
综上可得，实数m的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若的最大值为9，求a的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据二次函数、指数函数单调性求复合函数的值域；
（2）令，由指数函数单调性得，结合二次函数性质列方程求参数.
【详解】（1）由题设，若，则，
在上递减，在上递增，则，
在定义域上递增，则，
所以的值域为.
（2）令，则，
又在定义域上递增，而的最大值为9，即，
则开口向下且对称轴为，，
所以.
18．已知函数，且．
(1)求a的值；
(2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
【答案】(1)
(2)减函数，证明见解析
【分析】（1）将代入求值；
（2）利用单调性定义证明函数单调性.
【详解】（1）由，得，解得．
（2）在区间上是减函数，
证明过程如下：
由（1）得，对任意，且，则，
所以，
由，得，，又由，得，
于是，即，
所以在区间上是减函数．
19．已知函数.
(1)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(2)当时，记在区间上的最小值为，求的表达式．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）求出函数的单调区间，再利用集合的包含关系列式求解即得.
（2）分段讨论，结合函数的性质求出即可.
【详解】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
因此函数的单调递减区间为，，递增区间为，，
函数在上单调，显然区间的长度为2，因此或，
则或，解得或，
所以实数的取值范围是或．
（2）当时，，由（1）知，
当时，，此时，
当时，在区间上单调递增，则，
所以.
20．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)100百辆，最大利润为1800万元．
【分析】（1）根据给定的函数表达式结合利润的求法即可得到函数关系；
（2）分和,再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较即可.
【详解】（1）∵
∴当时，，
当时，．
故
（2）由（1）得
当时，，
∴；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故．
∵，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
21．已知函数（且）在上最大值和最小值的和为12．
(1)求实数a的值；
(2)令，若在区间上有零点，求k的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定函数是单调函数，列出方程求解即得.
（2）探讨函数单调性，求出在给定区间上的最值，再利用零点存在性定理列式求解即可.
【详解】（1）依题意，函数是上的单调函数，由在上最大值和最小值的和为12，得，
而且，解得，
所以实数a的值是3.
（2）由（1）知，，函数在上单调递增，
于是函数在上单调递增，函数在上单调递增，
当时，，，
由在区间上有零点，得且，解得，
所以k的取值范围是.
22．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】由函数为奇函数可得，由此可求a，再根据奇函数的性质求时，的解析式，由此可得函数的解析式；(2)先求函数的单调性，根据单调性化简不等式，由此可求实数的取值范围.
【详解】解：（1）依题可知，解得，所以当时，，
设，则，所以，
又是奇函数，，
即，所以当时，，
综上所述，
（2）当时，，所以在上单调递减，
又是上的奇函数，在上单调递减，
从而在上单调递减，
由，
可得，
又在上单调递减，
，即对任意的恒成立，
记，对称轴为，依题意有，
①当，即时，在上单调递增，
，解得，与矛盾，此时无解；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，
又因为，所以此时；
③当，即时，在上单调递减，
，解得，又因为，所以此时；
综上所述，实数的取值范围为.
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