2023-2024学年广东省江门市台山市第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省江门市台山市第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，使得”的否定是（ ）
A．，均有B．，均有
C．，有D．，有
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题“，使得”的否定是，均有.
故选：B
2．设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【分析】先根据不等式的解法求解集合A和B，再由图可知求集合的补集，根据并集、补集运算求解即可.
【详解】由图象可知阴影部分对应的集合为，
因为，，
所以，所以.
故选：D
3．不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】由得，
是的真子集，
故是的必要不充分条件；故A错误；
，故是的充要条件，故B错误；
是的真子集，
故是的充分不必要条件，故C正确；
不是的真子集，也不是的真子集，
故是的既不充分也不必要条件，故D错误.
故选：C
4．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式利用换元法即可得出函数的解析式.
【详解】令，则且，所以，因此.
故选：A.
5．关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用二次不等式恒成立列出不等式组求解即可.
【详解】因为不等式为一元二次不等式，所以,
若一元二次不等式恒成立，
则，可得，此时不等式恒成立.
故选：C
6．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化简函数为，设，根据为增函数，结合复合函数的单调性的判断方法，可得求函数的单调递增区间，即可得答案.
【详解】，设,则为增函数，
求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间，
函数的对称轴为，则函数在上是增函数，
则的单调递增区间是，
故选：D.
7．函数，的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】先分离常数，再利用函数单调性求解最值即可.
【详解】，
而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到，
所以在上单调递增，
所以当时，函数，有最大值为.
故选：B
8．在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为（ ）千箱时，该厂当年的利润最大?
A．80B．90C．95D．100
【答案】D
【分析】求得当年的利润的解析式，结合二次函数的性质、基本不等式求得正确选项.
【详解】设年产量为x千箱，当年的利润为y万元，
则由已知有，
即，
当时，，
由二次函数的性质可知当时y取最大值950，
当时，.
当且仅当即时，y取得最大值1000，
又，所以当年产量为100千箱时，该厂当年的利润取得最大值1000万元.
故选：D
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据特例判断A，由作差法可判断B，由均值不等式可判断CD.
【详解】对A，成立，但不成立，故A错误；
对B，，
而（a,b不同时为零），所以，即，故B正确；
对C, 由均值不等式可得，故不成立，故C错误；
对D, ，，，即，故D正确.
故选：BD
10．若命题“，”是假命题，则的值可能为（ ）
A．B．1C．3D．7
【答案】BC
【分析】由题设，使得为真命题，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求参数范围，注意讨论的情况.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以，使得为真命题，
当时，，当时，恒成立，符合题意，
当时，不恒成立，不符合题意，
当即时，有，解得，
综上，实数的取值范围是，结合选项知的值可能为1,3.
故选：BC
11．已知函数是上的增函数，则a的值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】BC
【分析】由二次函数的性质及分段函数的单调性即可得，即可得解.
【详解】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为，
因为函数是上的增函数，
所以，解得.
所以实数的取值可以是，.
故选：BC.
12．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】ABC
【分析】根据条件先判断函数的对称轴和周期，然后结合函数的单调性进行转化比较即可.
【详解】因为，所以函数的图象关于对称，故选项B正确；
因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；
结合函数的图象关于对称，所以函数的图象关于点中心对称，
故选项A正确；
又在区间上，有，所以在上单调递增，
结合函数的图象关于对称及关于点成中心对称，
所以在上单调递减，故选项C正确；
由奇函数性质知，所以，即，
所以，所以函数是周期函数，且，
又在上单调递增，所以，故选项D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”）
【答案】充分
【分析】根据集合关系和充分、必要条件的定义判断.
【详解】因为集合，，所以是的真子集，
所以“”是“”的充分的条件.
故答案为：充分.
14．已知集合，，那么集合的真子集的个数为 ．
【答案】7
【分析】先根据题意求出，然后可求出其真子集的个数.
【详解】因为，，
所以，
所以集合的真子集的个数为，
故答案为：7
15．已知函数是幂函数，且在上递减，则实数 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义与单调性求得的值.
【详解】由于函数是幂函数，
所以，所以，解得或，
当时，，在上递减，符合题意.
当时，，在上递增，不符合题意.
所以的值为.
故答案为：
16．求函数的单调递增区间 .
【答案】和
【解析】分类讨论去绝对值，求出分段函数的解析式，转化为二次函数的单调性，结合函数图像，即可求解.
【详解】，
作出函数图象如图所示.
函数的单调递增区间是和.
故答案为:和.
【点睛】本题考查分段函数和二次函数的单调性，属于中档题.
四、解答题
17．已知集合，，
(1)求集合；
(2)若，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式得集合B，再由交集运算求解；
（2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】（1）因为或，
又，所以；
（2）当时，，解得，
当时，，解得，
综上，，所以实数的取值集合是.
18．求值：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可；
（2）利用对数的运算法则求解即可.
【详解】（1）；
（2）.
19．（1）已知，求函数的最小值；
（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）7；（2）
【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值；
（2）利用基本不等式求积的最大值.
【详解】（1）时，根据基本不等式可得：，
当，即时取得等号，故时，函数的最小值是7；
（2），故，
根据基本不等式可得：，
当，即时取得等号，
故时，的最大值是.
20．已知关于的不等式．
(1)若不等式的解集是，求的值;
(2)若，，求此不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题意可知1和5是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果；
（2）分，，和四种情况求解一元二次不等式.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以1和5是方程的两个根，且，
所以，解得，
所以；
（2）当时，可化为，
所以，
由（），得或，
当时，由，得或，
当，即时，由，得，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，由，得，
综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
21．己知定义域为的函数（为常数）是奇函数.
(1)求实数的值，并用定义证明的单调性；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质求解，再利用函数单调性的定义，即可证明；
（2）先利用奇偶性将不等式化为，再根据单调性解不等式即可.
【详解】（1）若函数为奇函数，则，
又，则，所以，
所以，解得，所以，函数在R上为减函数，
证明如下：
设，则，
因为，所以，即，且，，
所以，即，所以函数在上为减函数.
（2）不等式，即，
又是奇函数，所以，而在R单调递减，故，
即，解得或.
所以不等式的解集为.
22．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)证明是上的偶函数；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可得是上的偶函数；
（2）利用参数分离法，将不等式在上恒成立，转化为对任意恒成立,利用函数的单调性求最值即可求实数的取值范围.
【详解】（1）因为对任意,都有，
所以是上的偶函数.
（2）由条件知在上恒成立,
因为，所以.
所以在上恒成立.
令，
所以对任意成立,
由对勾函数的单调性知 ,
所以,
因此，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.