2022-2023学年广东省江门市台山市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

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2022-2023学年广东省江门市台山市第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．经过点，且斜率为的直线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得.故选：A2．已知空间向量，，，若，则（    ）A．2 B． C．14 D．【答案】C【分析】，得到，解得答案.【详解】，则，即，解得，，，.故选：C3．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】直线过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为,所以椭圆中，由离心率为，则，可求出椭圆的，从而可得椭圆的方程.【详解】直线与轴的交点为,直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.则，所以椭圆的方程为：.故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求，属于基础题.4．在中，为边上的中线，为的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】因为为边上的中线，所以，因为为的中点，所以可得，故选：A5．设，，则以线段为直径的圆的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题知圆心为，半径为，再求方程即可.【详解】解：由题知线段中点为，，所以，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，其方程为故选：B6．设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得，由离心率可求出，同理结合代入余弦定理可求，进而得解.【详解】由题可知，，求得，对由余弦定理可得，即，即，因为，解得，又，即，解得，，所以的周长为.故选：A7．如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.【详解】解：，，∵，，，，.，即的长为.    故选：B.8．过直线上一点作圆的切线，切点为．则四边形的面积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切线性质可得，由勾股定理表示出，进而得解.【详解】如图，由切线性质可知，，所以，圆的标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，，要使最小，需使，故.故选：C二、多选题9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则（    ）A．的虚轴长为2 B．的值可能为5C．的离心率为3 D．的值可能为9【答案】BCD【分析】由双曲线标准式确定，可判断A，C是否正确，由双曲线第一定义可判断B，D正确性.【详解】由的标准式可确定：，故C正确，A错误；由双曲线第一定义可知，，解得或9，，，所以BD正确.故选：BCD10．如图，为正方体，下面结论正确的是（    ）A．平面B．与平面所成的角的正弦值为C．平面D．异面直线与所成的角为【答案】ACD【分析】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可逐个证明.【详解】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，为正方体，设边长为1，则，，，，，，，，对A，， ，又∵平面，∵平面，∴平面，A对；对B，，，，由得为平面的法向量，，故与平面所成的角的正弦值为，B错；对C，由B得，同理可证为平面的法向量，故平面，C对；对D，，，∴异面直线与所成的角的余弦值为，故所成角为，D对.故选：ACD11．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（    ）A．为定值 B．的周长的取值范围是C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为【答案】AB【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得，所以为定值，A正确；的周长为，因为为定值6，所以的范围是，所以的周长的范围是，B正确；将与椭圆方程联立，可解得，，又因为，所以，，即为钝角，所以为钝角三角形，C错误；将与椭圆方程联立，解得，所以，D错误.故选：AB【点睛】12．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，，交于点，是棱上的动点，则（    ）A．存在点，使平面B．三棱锥体积的最大值为C．点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值2D．存在点，使直线与所成的角为【答案】ACD【分析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，利用向量法判断CD，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断B选项.根据线面平行的判定定理判断A.【详解】解：根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则,由是棱上的动点，设，,其中为到平面的距离，因为底面为正方形，故,又底面底面所以,又,平面，所以底面,所以当与D重合时，三棱锥体积的最大且为，故B错误；当为中点时，是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；点到平面的距离，点到平面的距离,所以，故C正确.,,若存在点，使直线与所成的角为则，化简得，解得，所以，当时，满足直线与所成角为，故D正确；故选：ACD三、填空题13．若，，则___________．【答案】【分析】由向量坐标的线性运算及模运算计算即可.【详解】，故.故答案为：14．已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为，则它邻边所在的直线方程为___________．【答案】【分析】先求出中心坐标为，再根据邻边所在直线与垂直设方程为，进而结合点到这两条直线距离相等且为即可求解.【详解】解：，解得，∴中心坐标为，点M到直线的距离设与垂直两线分别为，则点到这两条直线距离相等且为，设方程为∴，解得或 ，∴它邻边所在的直线方程为．故答案为：15．已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则___________．【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解.【详解】圆的圆心为，由题可知圆心到直线距离，则.故答案为：416．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出的取值范围．【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，，，．，，．点在线段上运动，，且．，，∵，∴，即，故答案为：．四、解答题17．已知的三个顶点分别为，，．(1)求边的垂直平分线的方程；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方程.（2）计算，到直线的距离为，得到面积.【详解】（1），故边的垂直平分线的斜率，的中点为，故垂直平分线为，即.（2），所在的方程为，即，到直线的距离为，.18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线为渐近线，焦点是，的双曲线；(2)离心率为，短轴长为6的椭圆．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意设双曲线方程为(，)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出，即可；（2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可.【详解】（1）解：由题意设双曲线方程为，由焦点坐标可知，双曲线的渐近线方程为，可得，又，解得，，所以双曲线的方程为.（2）解：当焦点在轴时，设椭圆方程为，由题可得，解得，，所以椭圆方程为；当焦点在轴时，设椭圆方程为，由题可得，解得，，所以椭圆方程为；所以，所求椭圆方程为或.19．如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）要证平面，可证，结合正方体性质即可求证；（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，由向量的夹角公式求出与平面所成角的正弦值，结合同角三角函数即可求解.【详解】（1）连接，因为几何体为正方体，所以，四边形为平行四边形，所以，因为，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以，平面，平面，所以平面；（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为1，则，，，设平面的法向量为，则，即，设，则，，设直线与平面所成角为，则，即，所以，故直线与平面所成角的余弦值为.20．已知圆的方程为．(1)求过点且与圆相切的直线的方程；(2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出，进而得解；（2）设出直线的点斜式方程，由几何关系得圆心到直线距离为，进而得解.【详解】（1）当直线斜率不存在时，显然与相切；当直线斜率存在时，可设，由几何关系可得，解得，故，即，故过点且与圆相切的直线的方程为或；（2）设，可设中点为，因为是等腰直角三角形，所以，即圆心到直线距离，解得或7，故直线或，即或.21．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且．(1)求证与平面平行；(2)当时，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）采用建系法，表示出坐标，要证与平面平行，即证平面的法向量；（2）分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，所以平面，，所以平面，显然三垂直，以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，，因为，所以，，设，，，由，得，，，由得，，可设平面的法向量为，，所以与平面平行；（2）当时，，，，，，设平面的法向量为，则，即，可设，故，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，设二面角的平面角为，则，故二面角的余弦值为.22．已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．【答案】(1)(2)为定值，求解过程见详解【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得，所以椭圆的方程为；（2）设，联立得，，，，即，，原点到直线的距离，所以，所以的面积为定值.