2023-2024学年河南省商丘市中州联盟高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省商丘市中州联盟高一上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出再求交集可得答案.
【详解】因为集合，所以，
.
故选：A.
2．已知函数，则（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】B
【分析】直接由函数的定义代入计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
3．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可
【详解】由，可知，充分性不成立；
由，必要性成立；
即“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B.
4．不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式得出解集.
【详解】不等式可化为，所以，
即原不等式的解集为.
故选：C.
5．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】由两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数逐个分析判断.
【详解】对于A，显然的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于B，与的对应关系不同，不是同一个函数；
对于C，，故与的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于D，显然，即的定义域为，而或，即的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数.
故选：C.
6．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】D
【分析】利用特例法判断ABC，利用不等式性质判断D.
【详解】若，，则，A错误；
若，，，则，B错误；
取，，，，满足，，但，C错误；
若，则，所以，即，D正确.
故选：D.
7．已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数性质得，然后利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为为上的偶函数，，所以，
又当时，单调递减，所以当时，单调递增，
又，所以，即，解得或.
故选：B.
8．已知，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用换元法求得的解析式，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】设，则，
，
，，
函数在上单调递减，
当时，，
函数的值域为.
故选：C.
二、多选题
9．下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由奇偶性的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，令，定义域为，，是奇函数，故A正确;
对于B，令，定义域为，且，可得是奇函数，故B正确；
对于C，令，的定义域为，是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，令，定义域为，且，所以是偶函数，不是奇函数.
故选：AB.
10．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，根据复合函数最值求法求解判断D.
【详解】对于A，，当时，，不符合要求，错误；
对于B，，当且仅当时取等号，
由得显然不成立，所以等号取不到，
即的最小值不是2，错误；
对于C，因为，所以，，
当且仅当时取等号，最小值是2，正确；
对于D，，易知，，
则，
当即或时，有最小值4，即有最小值2，故D正确.
故选：CD.
11．函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．B．
C．是偶数D．是奇数
【答案】AD
【分析】当为偶数，恒大于0，从而得出为奇数，再由结合图像得出.
【详解】当为偶数时，恒大于0，所以为奇数.
当时，，从图象可知此时，即.
故选：AD.
12．已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．当时，
D．在上单调递减
【答案】AC
【分析】由题设可判断A；令可判断BD；求出时的解析式，再由为偶函数求出可判断C.
【详解】对于A，由题设，可知的图象关于点对称，故A正确；
对于B，在中，令，得，故B错误；
对于C，当时，，所以，又，
所以，即当时，，
而为偶函数，所以当时，，
综上可知，当时，，故C正确；
对于D，由B的解析可知，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．函数的定义域是 .（用区间表示）
【答案】
【分析】由分式的分母不为零，和根式在分母上时被开方数大于零可求得答案.
【详解】由，得且，
所以函数的定义域是.
故答案为：
14．已知幂函数的图象经过原点，则的值是 .
【答案】3
【分析】根据幂函数的定义结合图象经过原点求解参数即可.
【详解】由题意可得，即，解得或.
当时，幂函数的图象过原点；
当时，幂函数的定义域为，图象不过原点，不满足题意.
故的值是3.
故答案为：3
15．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得对一切恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】因为不等式对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，即的取值范围是，
故答案为：
16．已知是上的单调增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且时，函数的值不小于函数的值，从而可求得结果.
【详解】因为是上的单调增函数，
所以，解得，
即实数的取值范围是
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，.
(1)若：，：，且是的必要条件，求实数的取值范围；
(2)若，使，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，然后利用集合关系列不等式组求解即可；
（2）由题意，，然后利用二次函数求最小值即可求解.
【详解】（1）因为是的必要条件，所以，
又，，所以，解得，
所以实数的取值范围；
（2）由，使，得，，
令，，
当或3时，取得最小值4，所以.
因此，实数的取值范围是.
18．已知函数.
(1)判断的奇偶性并用定义进行证明；
(2)用定义证明在区间上单调递减.
【答案】(1)是奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可；
（2）令，，且，做差判断的正负来确定函数单调性.
【详解】（1）是奇函数，证明如下：
由，得的定义域为.
对于，都有，
且，
所以是奇函数.
（2）证明：任取，，且，
则
，
因为，所以，，，，
因此，即，
所以函数在区间上单调递减.
19．已知关于的不等式的解集为或.
(1)求，的值；
(2)当时，求关于的不等式的解集（用表示）.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）1，2是方程的两根，由韦达定理得到方程组，求出；
（2）因式分解得到的两根，分，，，求出解集.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或，
所以1，2是方程的两根，
所以，解得；
（2）由（1）知关于的不等式，即为，
令得或，
①时，不等式的解集为；
②时，解得，不等式的解集为；
③时，解得，不等式的解集为.
20．已知函数的图象关于原点对称.
(1)求实数，，的值；
(2)作出的大致图象；
(3)结合图象求不等式的解集.
【答案】(1)，，
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数性质求解函数解析式即可；
（2）利用二次函数作出分段函数图象；
（3）利用图象法解不等式即可.
【详解】（1）因为时，，
若，则，所以.
因为函数的图象关于原点对称，所以是奇函数，
所以时，，
而时，，所以，，.
（2）由（1）知，
的大致图象如下：
（3）当时，由，得，解得或；
当时，由，得，解得或（舍去），
结合（2）中图象可知的解集为.
21．“三星堆”考古发掘出大量的古代象牙，博物馆需要设计一个透明且密封的长方体玻璃保护罩，并充入昂贵的保护液，保护出土的这些古代象牙，该博物馆需要支付的总费用由以下两部分构成：①保护液的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少，且每立方米的保护液费用为500元.②保险费，需支付的保险费为（元），保护罩的容积为，与成反比，当容积为时，支付的保险费为4000元.
(1)求该博物馆支付的总费用（元）与保护罩容积之间的函数关系式；
(2)如何设计保护罩的容积，使博物馆支付的总费用最小?
【答案】(1)；
(2)当保护罩的容积为时，博物馆支付的总费用最小.
【分析】（1）根据给定条件，求出反比例系数，再列出函数关系式即得.
（2）由（1）的关系式，利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】（1）设需要支付的保险费为，当时，，解得，
所以总费用.
（2）由（1）知
，当且仅当，即时等号成立，
所以当保护罩的容积为时，博物馆支付的总费用最小.
22．已知函数是定义域上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)令函数，记的最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用及列方程组求解，然后利用奇函数定义检验即可求解；
（2）换元法，令，则，分类讨论对称轴与区间的位置关系求解最小值，然后根据的单调性求解值域即可.
【详解】（1）因为，且是奇函数，所以，所以，
解得，所以.
检验：由解析式可知，的定义域为，
对于，都有，且，
所以是奇函数，满足题意.故；
（2）由题意知，令，则，
当时，；当时，，
所以，.
函数的对称轴方程为，
当，或时，的最小值；
当时，的最小值.；
当时，的最小值.
所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以的取值范围是.