2022-2023学年辽宁省大连市高一上学期期末数学模拟试题含答案

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市高一上学期期末数学模拟试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，双空题，问答题，应用题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合 ，，则的真子集个数是（ ）
A．3B．4C．7D．15
【答案】A
【分析】先确定集合B，然后求出，即可得出答案.
【详解】，所以，
所以，共两个元素，所以其真子集的个数为，
故选：A.
2．函数在上有零点是的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】当在上有零点时，不一定有，如在有有零点，但，
时，在上也未必有零点，如，在上，，即，但在上无零点，
因此题中应是既不充分也不必要条件，
故选：D
3．从某城市里随机抽取16台自动售货机，销售额如图所示.则下列说法正确的是（ ）
A．甲组平均数小，甲组中位数大B．甲组平均数小，甲组中位数小
C．甲组平均数大，甲组中位数大D．甲组平均数大，甲组中位数小
【答案】B
【分析】根据茎叶图计算甲乙的平均数和中位数，即可得答案.
【详解】由图知：甲数据为，
乙数据为，
所以甲的平均数为，
甲的中位数为，
乙的平均数为，
乙的中位数为，
所以甲组的平均数和中位数都比乙小.
故选：B
4．若函数为偶函数，则b的值为（ ）
A．-1B．C．0D．
【答案】B
【分析】利用偶函数性质得恒成立，即可求参数值.
【详解】由题设，
所以恒成立，则.
故选：B
5．生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（ ）（参考数据：，）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【分析】将已知数据代入函数模型，利用对数的运算性质求出即可.
【详解】由题意可得，，
所以，即，
所以，
当，时，，
即，所以，
由给定数据.
故选：B
6．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.
【详解】由题设，，而，，
所以，
所以且，
又，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即目标式最大值为.
故选：D
7．已知函数在定义域上满足，，函数的反函数为，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．5D．8
【答案】C
【分析】根据反函数及指数函数的性质，可令，进而有，根据指对数的定义域和单调性判断定义域和单调性，利用单调性求最小值.
【详解】由题意，令，满足上且，
此时且定义域为，
所以定义域为，且单调递增，
所以.
故选：C
8．高斯函数是数学中的一种函数，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用表示不超过x的最大整数.则方程的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据函数新定义得，结合方程得求范围，再由有，且，讨论、、即可得解的个数.
【详解】由题意，则，
所以，即，
故，
由，则且，故，且，
若，则，满足；
若，则，满足；
若，则，不满足；
故其它情况均不满足题设，
综上，、为方程的解，共2个.
故选：C
二、多选题
9．若，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】AD
【分析】A、D应用特殊值判断即可；B由对数函数的性质判断；C由不等式性质判断.
【详解】A：当时；当时；不一定正确；
B：由，则，一定正确；
C：由，则，故一定正确；
D：当时；当时；不一定正确.
故选：AD
10．若正方形，O为所在平面内一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．可以表示平面内任意一个向量
B．若，则O在直线BD上
C．若，，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】A由平面向量基本定理判断；B由向量共线的推论判断；C利用向量加法、数乘等线性运算用表示出；D由题设可得，若为中点，则，即可判断.
【详解】A：由题意，又，以为基底的坐标系中，
根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量，对；
B：由向量共线的推论知：，则O在直线BD上，对；
C：由题设，则，
所以，错；
D：由，则，
若为中点，则，即且，如下图示，
所以，对.
故选：ABD
11．在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立，发送 0 时，收到1的概率为 ，收到0的概率为；发送 1 时，收到0的概率为，收到1的概率为 .若在信道内依次发送信号1，0，为了检验收到信号的一端将收到的信号发回到输入端.下列说法正确的是（ ）
A．“收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件.
B．“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不是相互独立的
C．若，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25
D．若，则事件“传回的信号为1，0”的概率为
【答案】BC
【分析】根据题设，应用独立事件乘方公式写出收到不同信号的概率及其对应传回信号为1，0的概率，结合充分性、独立事件判定、基本不等式、互斥事件加法判断各项正误.
【详解】收到信号为0，0概率为，则传回信号为1，0概率为，
收到信号为1，0概率为，则传回信号为1，0概率为，
收到信号为0，1概率为，则传回信号为1，0概率为，
收到信号为1，1概率为，则传回信号为1，0概率为，
所以传回信号为1，0概率为，
显然“收到的信号为1，0”不是“传回的信号为1，0”的充分条件，A错；
，B对；
由，则，
而，而，即不能取等号，故，
所以，C对；
由，则，D错.
故选：BC
【点睛】关键点睛：根据题意写出收到不同信号的概率及其对应传回信号为1，0的概率为关键.
12．函数，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数至少有4个零点
C．当函数有8个零点时，设最大零点为，则
D．函数所有零点之和为定值
【答案】AC
【分析】先由题意求出a，然后将原问题转化为与 方程组问题，结合图像判断即可.
【详解】，解得或，又，所以，故A正确；
令即，，
令，则原方程转化为，
如图，当时，方程有两解，
如图当时，原函数零点个数最少，有6个，故B错；
当有8个零点时，如图，和是零界情况，
令或，
最大解为，所以，
令或，
最大解为，所以，故C正确；
如图，易知所有零点都关于对称，当函数有8个零点时，所有零点的和为，
当函数有7个零点时，所有零点的和为，当函数有6个零点时，所有零点的和为，故D错；
故选：AC.
三、填空题
13．一组数据1，2，3，3，4，5，x的平均数与众数相等，则这组数据的75%分位数是 .
【答案】4
【分析】由平均数求法及众数的定义，讨论、、确定数据，进而求75%分位数.
【详解】由题设，平均数为，
若，众数有两个，其中一个为3；
若，则众数为3；
因为平均数与众数相等，
当时，，满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
其它情况均不满足；
所以，数据为，则，
故这组数据的75%中位数是4.
故答案为：4
四、单空题
14．，若上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】证明在上是增函数，然后根据复合函数的单调性性质得出应是增函数，，还有在上恒大于0，由此可得参数范围．
【详解】设，
设，则，，
所以，即，
所以在时，是增函数，
由题意应是增函数，所以，
从而，所以，
又，，
综上，．
故答案为：
五、双空题（新）
15．现生产一款产品，其利润y（单位：万元）和投资x（单位：万元）的关系可以近似用函数表示.若投资4万元时，利润为5万元；投资9万元时，利润为7万元，则时投资x的范围是 .随机抽取6年的数据，已知这六年的投资都不亏本，若利润的平均数为3万元，则利润的方差的最大值为 .（单位：万元）
【答案】 8
【分析】由题先求出a、b，然后分类讨论解根式不等式；先求出利润的范围，在求出利润减平均数平方的范围，即可得出答案.
【详解】由题得，所以，
即，
当时，显然成立，当时，两边平方的，
所以，综上，所以时投资x的范围是；
由答空1得，要不亏本，，则，
所以
，所以方差为
，
所以利润的方差的最大值为8万元.
故答案为：；8.
六、单空题
16．已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，令，则，再分和两种情况讨论，结合图象即可得出答案.
【详解】如图，作出函数的图象，
令，则，
当时，由，得或，
即或，
若方程只有一个解，
则，解得，
若方程只有一个解，
则，解得，
此时方程必有解，与题意矛盾，所以，
当时，由，得，即，
令，解得，
要使方程只有一个解，
则，解得，
综上所述，a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
七、问答题
17．已知集合，.
(1)若，求.
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，分别解分式不等式、一元二次不等式化简集合A，B，再利用补集、交集的定义求解即得.
（2）由（1）中信息，按集合B是否为空集分类，并借助一元二次方程根的分布列式求解即得.
【详解】（1）依题意，，
当时，，
则，，
所以.
（2）由（1）知，，由于，
当时，，解得，此时，因此，
当时，令，依题意，在区间上有两个实根，
于是，解得，
所以a的取值范围.
八、应用题
18．现随机抽取1000名A校学生和1000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，经统计绘制成一组组距为10的频率分布直方图，对A校学生的成绩经分析后发现频率分布直方图中的Y（）满足函数关系 ，关于B校学生成绩的频率分布直方图如图所示，假定每组组内数据都是均匀分布的.
(1)求k的值.
(2)估计B校学生得分的中位数与众数
(3)现在设置一个标准t来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于t的学生判为B校，大于t的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率.若，求总误判率的最小值，以及此时t的值.
【答案】(1)；
(2)中位数50，众数为45；
(3)总误判率最小为，此时.
【分析】（1）利用Y之和为0.1，列方程求参数k即可；
（2）根据频率分布直方图估计B校学生成绩中位数、众数；
（3）讨论、分别写出对应总误判率为、 ，根据单调性确定最小值及其对应值.
【详解】（1）由频率之和为1，故Y之和为0.1，则，得；
（2）根据B校学生成绩的频率分布直方图，
设中位数为，则为平分条形面积的位置，易知，
设众数为，众数为最高条形的中点位置，易知.
（3）设总误判率为，又，则
时，，
时，，
由的单调性知，，最小，此时，
所以总误判率最小为，此时.
九、问答题
19．在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，则求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2).
【分析】（1）①根据平面向量基本定理即可求；②由三点共线可得，结合①列方程即可求出的值；
（2）设，根据平面向量基本定理可得，结合已知得到，与之间的关系，利用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）①因为，所以，
故在中，
；
②因为三点共线，设，
所以，
因为，
所以，
所以
又由①及已知，，
所以，解得.
（2）因为，又三点共线，设，
所以，
又因为，所以，
所以，，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为.
十、解答题
20．在某游戏中，小明遇到了如图的开关阵列，每个开关只有开和关两个状态，摁下某个开关会导致自身及相邻位置的开关状态发生变化.例如摁下会导致发生状态变化.开始时所有开关均关闭.
(1)如果随机摁下一个开关，求最终状态为“打开”的的开关数目为4的概率.
(2)如果从上两排六个开关中随机选择并摁下两个不同的开关，求摁下第一排和第二排各一个开关的概率.
(3)如果依次按下两个开关，求最终状态为“打开”的开关数目为4的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设A:最终状态为“打开”的的开关数目为4，这意味着按下了中的一个，即可求解；
（2）先求出样本总体，然后求出摁下第一排和第二排各一个开关的情况数，即可得出答案；
（3）按先按下角位置，边位置，中间位置的开关为标准分类讨论，即可得出答案.
【详解】（1）由题可知，设A:最终状态为“打开”的的开关数目为4，这意味着按下了中的一个，共有9个开关，则
（2）用表示按下第一排三个开关，用表示按下第二排三个开关，从中分别选择两个开关按下，样本空间为
，每个样本点都是等可能发生的，
设 “摁下第一排和第二排各一个开关”，”则，所以.
（3）①先按下角位置的开关，，不妨设按下，则第二次有三种情况，，，
②先按下边位置的开关，，不妨设按下，则第二次有两种情况，，，
③先按下中间位置的开关，，按下，则第二次有四种情况，，，
所以.
十一、证明题
21．若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上，；在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i），；（ii）.
【分析】（1）令，应用作差法判断的符号，即可证单调性；
（2）（i）由题设函数为奇函数，且，即可求上，再应用奇偶性、对称性求区间上的解析式；
（ii）根据题设可得在上单调递减，写出的分段形式，结合二次函数性质，讨论、求的最大值关于a的函数关系.
【详解】（1）任取，使，则
，
因为，所以，则，故
所以函数在定义域上单调递增.
（2）（i）令中，则，.
令，，即且函数定义域为R，
所以函数为奇函数.
由，则，
联立两式，可得，
所以，且，而，
令，则，故；
令，则，故；
综上，，
对在的部分，存在，其中，
则，所以对均成立.
（ii），化简得，
则在上单调递减，，
若，即，此时在上递减，故，
若，即，此时，，
即在定义域上单调递减，所以.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：第二问，（i）应用方程法求解析式，再应用奇偶对称性求区间上的解析式；（ii）利用已知得到在上单调递减为关键.
十二、问答题
22．已知函数，
(1)直接写出时，的最小值.
(2)时，在是否存在零点？给出结论并证明.
(3)若，存在两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)存在，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据基本不等式可以判断的最小值，直接写出答案即可；
（2）判断的单调性，结合零点存在性定理判断；
（3）由题意，求出的值，将存在两个个零点转化为在上存在一个零点或两个零点为和，结合二次函数分情况讨论即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，的最小值为2；
（2）时，在上存在零点，证明如下：
当时，，
令，
所以函数在 上单调递增，又因为在上单调递增，
所以在区间上单调递增，
所以，而，
所以，
又，，，
则，
所以，
在区间上单调递增，
所以在上存在零点.
（3）由，解得，
则.
存在两个零点等价于在上存在一个零点或两个零点为和，
令，
则在上存在一个零点或两个零点为和，
（i）零点为和，代入解得，
（ii）当，对称轴，
则只需，
解得，
（iii），，满足题意，
（iv），对称轴，
则只需，
解得，
综上所述，.
【点睛】关键点睛：本题第（3）问的关键是将存在两个零点转化成在上存在一个零点或两个零点为和，进而借助函数图象分，，三种情况讨论与轴交点情况，求出的取值范围.