辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期期末数学模拟试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期期末数学模拟试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、集合,,则的真子集个数是( )
A.3B.4C.7D.15
2、函数在上有零点是的( )
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3、从某城市里随机抽取16台自动售货机,销售额如图所示.则下列说法正确的是( )
A.甲组平均数小,甲组中位数大B.甲组平均数小,甲组中位数小
C.甲组平均数大,甲组中位数大D.甲组平均数大,甲组中位数小
4、若函数为偶函数,则b的值为( )
A.-1B.C.0D.
5、生物学上,J型增长是指在理想状态下,物种迅速爆发的一种增长方式,其表达式为,其中为初始个体数,N为最终个体数.若某种群在该模型下,个体数由100增长至120消耗了10天,则个体数由120增长至160消耗的时间大约为( )
（参考数据：,）
A.14B.15C.16D.17
6、若,,则的最大值为( )
A.B.C.D.
7、已知函数在定义域上满足,,函数的反函数为,则的最小值为( )
A.2B.4C.5D.8
8、高斯函数是数学中的一种函数,在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影.设,用表示不超过x的最大整数.则方程的解的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
二、多项选择题
9、若,则下列说法不一定正确的是( )
A.B.
C.D.若,则
10、若正方形ABCD,O为ABCD所在平面内一点,且,x,则下列说法正确的是( )
A.可以表示平面内任意一个向量
B.若,则O在直线BD上
C.若,,则
D.若,则
11、在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立,发送0时,收到1的概率为 ,收到0的概率为;发送1时,收到0的概率为,收到1的概率为.若在信道内依次发送信号1,0,为了检验收到信号的一端将收到的信号发回到输入端.下列说法正确的是( )
A.“收到的信号为1,0”是“传回的信号为1,0”的充分条件.
B.“收到的信号为1,0”与“传回的信号为1,0”不是相互独立的
C.若,则事件“传回的信号为1,0”的概率一定大于0.25
D.若,则事件“传回的信号为1,0”的概率为
12、函数,若,且,,则下列说法正确的是( )
A.
B.函数至少有4个零点
C.当函数有8个零点时,设最大零点为,则
D.函数所有零点之和为定值
三、填空题
13、一组数据1,2,3,3,4,5,x的平均数与众数相等,则这组数据的75%分位数是_______________.
14、,若在上单调递增,则a的取值范围是_______________.
15、已知函数,其中.若方程有且只有一个解,则a的取值范围是____________.
四、双空题
16、现生产一款产品,其利润y（单位：万元）和投资x（单位：万元）的关系可以近似用函数表示.若投资4万元时,利润为5万元;投资9万元时,利润为7万元,则时投资x的范围是___________.随机抽取6年的数据,已知这六年的投资都不亏本,若利润的平均数为3万元,则利润的方差的最大值为____________.（单位：万元）
五、解答题
17、已知集合,.
(1)若,求.
(2)若,求a的取值范围.
18、现随机抽取1000名A校学生和1000名B校学生参加一场知识问答竞赛,得到的竞赛成绩全部位于区间中,经统计绘制成一组组距为10的频率分布直方图,对A校学生的成绩经分析后发现频率分布直方图中的Y（）满足函数关系 ,关于B校学生成绩的频率分布直方图如图所示,假定每组组内数据都是均匀分布的.
(1)求k的值.
(2)估计B校学生得分的中位数与众数
(3)现在设置一个标准t来判定某一学生是属于A校还是B校,将成绩小于t的学生判为B校,大于t的学生判为A校,将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A,将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B,误判率A与误判率B之和称作总误判率.若,求总误判率的最小值,以及此时t的值.
19、在三角形ABC中,,,,D为线段AC上任意一点,BD交AE于O.
(1)若.
①用,表示.
②若,求的值.
(2)若,则求的最小值.
20、在某游戏中,小明遇到了如图的开关阵列,每个开关只有开和关两个状态,摁下某个开关会导致自身及相邻位置的开关状态发生变化.例如摁下会导致,,,,发生状态变化.开始时所有开关均关闭.
(1)如果随机摁下一个开关,求最终状态为“打开”的的开关数目为4的概率.
(2)如果从上两排六个开关中随机选择并摁下两个不同的开关,求摁下第一排和第二排各一个开关的概率.
(3)如果依次按下两个开关,求最终状态为“打开”的开关数目为4的概率.
21、若函数在定义域R上满足,且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上,;在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式,对任意定义域内的恒成立,求实数t存在时,t的最大值关于a的函数关系.
22、已知函数,
(1)直接写出时,的最小值.
(2)时,在是否存在零点？给出结论并证明.
(3)若,存在两个零点,求a的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：,所以,
所以,共两个元素,所以其真子集的个数为,
故选：A.
2、答案：D
解析：当在上有零点时,不一定有,如在有有零点,但,
时,在上也未必有零点,如,在上,,即,但在上无零点,
因此题中应是既不充分也不必要条件,
故选：D.
3、答案：B
解析：由图知：甲数据为5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43,
乙数据为10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48,
所以甲的平均数为,
甲的中位数为,
乙的平均数为,
乙的中位数为,
所以甲组的平均数和中位数都比乙小.
故选：B.
4、答案：B
解析：由题设,
所以恒成立,则.
故选：B.
5、答案：B
解析：由题意可得,,
所以,即,
所以,
当,时,,
即,所以,
由给定数据.
故选：B.
6、答案：D
解析：由题设,,而,,
所以,
所以且,
又,当且仅当时取等号,
所以,当且仅当,时取等号,
即目标式最大值为.
故选：D.
7、答案：C
解析：由题意,令,满足上且,
此时且定义域为,
所以定义域为,且单调递增,
所以.
故选：C.
8、答案：C
解析：由题意,则,
所以,即,
故,
由,则且,故,且,.
若,则,满足;
若,则,满足;
若,则,不满足;
故其它情况均不满足题设,
综上,、为方程的解,共2个.
故选：C.
9、答案：AD
解析：A：当时;当时;不一定正确;
B：由,则,一定正确;
C：由,则,故一定正确;
D：当时;当,时;不一定正确.
故选：AD.
10、答案：ABD
解析：A：由题意,又,x,以为基底的坐标系中,
根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量,对;
B：由向量共线的推论知：,则O在直线BD上,对;
C：由题设,则,
所以,错;
D：由,则,
若E为BC中点,则,即且,如下图示,
所以,对.
故选：ABD.
11、答案：BC
解析：收到信号为0,0概率为,则传回信号为1,0概率为,
收到信号为1,0概率为,则传回信号为1,0概率为,
收到信号为0,1概率为,则传回信号为1,0概率为,
收到信号为1,1概率为,则传回信号为1,0概率为,
所以传回信号为1,0概率为,
显然“收到的信号为1,0”不是“传回的信号为1,0”的充分条件,A错;
,B对;
由,则,
而,而,即不能取等号,故,
所以,C对;
由,则,D错.
故选：BC.
12、答案：AC
解析：,解得或,又,所以,故A正确;
令,即,,
令,则原方程转化为,
如图,当时,方程有两解,,
如图当时,原函数零点个数最少,有6个,故B错;
当有8个零点时,如图,和是零界情况,
令或,
最大解为,所以,
令或,
最大解为,所以,故C正确;
如图,易知所有零点都关于对称,当函数有8个零点时,所有零点的和为,
当函数有7个零点时,所有零点的和为,当函数有6个零点时,所有零点的和为,故D错;
故选：AC.
13、答案：4
解析：由题设,平均数为,
若,众数有两个,其中一个为3;
若,则众数为3;
因为平均数与众数相等,
当时,,满足;
当时,,不满足;
当时,,不满足;
其它情况均不满足;
所以,数据为1,2,3,3,4,5,则,
故这组数据的75%中位数是4.
故答案为：4.
14、答案：
解析：设,
设,则,,
所以,即,
所以在时,是增函数,
由题意应是增函数,所以,
从而,所以,
又,,
综上,.
故答案为：.
15、答案：
解析：如图,作出函数,的图象,
令,则,
当时,由,得或,
即或,
若方程只有一个解,
则,解得,
若方程只有一个解,
则,解得,
此时方程必有解,与题意矛盾,所以,
当时,由,得,即,
令,解得,
要使方程只有一个解,
则,解得,
综上所述,a的取值范围是.
故答案为：.
16、答案：;8
解析：由题得,所以,
即,
当时,显然成立,当时,两边平方的,
所以,综上,所以时投资x的范围是;
由答空1得,要不亏本,,
则,
所以,,
所以方差为
,
所以利润的方差的最大值为8万元.
故答案为：;8.
17、答案：(1);
(2).
解析：（1）依题意,,
当时,,
则,,
所以.
（2）由（1）知,,由于,
当时,,解得,此时,因此,
当时,令,依题意,在区间上有两个实根,
于是,解得,
所以a的取值范围.
18、答案：(1);
(2)中位数50,众数为45;
(3)总误判率最小为,此时.
解析：（1）由频率之和为1,故Y之和为0.1,则,得;
（2）根据B校学生成绩的频率分布直方图,
设中位数为x,则x为平分条形面积的位置,易知,
设众数为y,众数为最高条形的中点位置,易知.
（3）设总误判率为,又,
则时,,
时,,
由的单调性知,,最小,此时,
所以总误判率最小为,此时.
19、答案：(1)①;②
(2).
解析：（1）①因为,所以,
故在中,
;
②因为B,O,D三点共线,设,
所以,
因为,
所以,
所以
又由①及已知,,
所以,解得.
（2）因为,又A,O,E三点共线,设,
所以,
又因为,所以,
所以,,
当且仅当,即时取得等号,
所以的最小值为.
20、答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）由题可知,设A:最终状态为“打开”的的开关数目为4,这意味着按下了,,,中的一个,共有9个开关,则
（2）用,,表示按下第一排三个开关,用,,表示按下第二排三个开关,从中分别选择两个开关按下,样本空间为
,每个样本点都是等可能发生的,
设“摁下第一排和第二排各一个开关”,”则,
所以.
（3）①先按下角位置的开关,,不妨设按下,则第二次有,,三种情况,,,
②先按下边位置的开关,,不妨设按下,则第二次有,两种情况,,,
③先按下中间位置的开关,,按下,则第二次有,,,四种情况,,,
所以.
21、答案：(1)证明见解析;
(2)（i）,;（ii）.
解析：（1）任取,使,
则,
因为,所以,则,故
所以函数在定义域上单调递增.
（2）（i）令中,则,.
令,,即且函数定义域为R,
所以函数为奇函数.
由,则,
联立两式,可得,
所以,且,而,
令,则,故;
令,则,故;
综上,,
对在的部分,存在,其中,
则,所以对均成立.
（ii）,化简得,
则在上单调递减,,
若,即,此时在上递减,故,
若,即,此时,,
即在定义域上单调递减,所以.
综上所述,.
22、答案：(1)2
(2)存在,证明见解析
(3)
解析：（1）因为,所以,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以当时,的最小值为2;
（2）时,在上存在零点,证明如下：
当时,,
令,
所以函数在上单调递增,又因为在上单调递增,
所以在区间上单调递增,
所以,而,
所以,
又,,,
则,
所以,
在区间上单调递增,
所以在上存在零点.
（3）由,解得,
则.
存在两个零点等价于在上存在一个零点或两个零点为-2和2,
令,
则在上存在一个零点或两个零点为-2和2,
（i）零点为-2和2,代入解得,
（ii）当,对称轴,
则只需,
解得,
（iii）,,满足题意,
（iv）,对称轴,
则只需,
解得,
综上所述,.