四川省泸县第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份四川省泸县第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、某影院有60排座位,每排70个座号,一次报告会坐满了听众,会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈,这是运用了( )
A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法
2、已知直线l的方程为,则直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3、若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92
4、已知椭圆的离心率为,则k的值为( )
A.4B.C.4或D.4或
5、已知,,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
6、已知异面直线a,b分别为平面,的垂线,直线m满足,,,,则( )
A.与相交,且交线与m平行B.与相交,且交线与m垂直
C.与平行,m与平行D.与平行,m与垂直
7、柜子里有3双不同的鞋子,如果从中随机地取出2只,那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的,但不是一双的概率为( )
A.B.C.D.
8、若三条直线,,相交于同一点,则点到原点的距离的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知甲,乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下,则下列说法正确的是( ).
A.若甲,乙两组数据平均数分别为,,则
B.若甲,乙两组数据的方差分别为,,则
C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D.甲成绩比乙成绩稳定
10、下列命题中,正确的是( )
A.若事件A,B互斥,则
B.若事件A,B相互独立,则
C.若事件A,B,C两两互斥,则
D.若事件A,B,C两两独立,则
11、平面上三条直线,,,如果这三条直线将平面划分成六部分,则实数k的可能取值为( )
A.B.C.D.
12、已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则( )
A.椭圆的短轴长为B.当最大时，
C.离心率为D.的最小值为3
三、填空题
13、椭圆的长轴长为_________.
14、三个元件a,b,c独立正常工作的概率分别是,,,把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒,,中（一盒接一个元件）,各种连接方法中,此电路正常工作的最大概率是__________.
15、已知球O的表面积为,A,B,C,D为球O的球面上的四个点,E,F分别为线段AB,CD的中点.若,且,则直线AC与BD所成的角的余弦值为________.
16、古希腊数学家阿波罗尼斯在他巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题:在平面上给定两点A,B,动点P满足(其中是正常数,且),则P的轨迹是一个圆,这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点,,P是圆上的动点,则的最小值为____________
四、解答题
17、已知圆C的圆心在x轴上,且经过点.
（1）求圆C的标准方程;
（2）若直线l过点,且与圆C相切,求直线l方程.
18、已知的顶点,边BC上的中线所在直线的方程为,AB所在直线方程为.求
（1）点A的坐标;
（2）直线AB关于直线l对称的直线方程.
19、如图几何体为圆台一部分,上下底面分别为半径为1,2的扇形,,体积为.
（1）求AB;
（2）劣弧AB上是否存在M使平面.猜想并证明.
20、某高校的人学面试中有3道难度相当的题目,甲同学答对每道题目的概率都是0.8,乙同学答对每道题目的概率都是0.7,且甲,乙抽到不同题目能否答对是独立的.若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直到第三次答完为止.
（1）求在甲,乙两人第一次答题中只有一人通过面试的概率;
（2）求甲,乙两人都通过面试且甲的答题次数少于乙的答题次数的概率.
21、如图所示,已知椭圆的两焦点为,,P为椭圆上一点,且
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若点P在第二象限,,求的面积.
22、著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心,重心,垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.现已知的三个顶点坐标分别为,,,圆E的圆心E在的欧拉线上,且满足,直线被圆E截得的弦长为.
（1）求的欧拉线的方程;
（2）求圆E的标准方程.
参考答案
1、答案：C
解析：由系统抽样的特点可知,
要求留下座位号为15的听众留下进行座谈,
这样选出的样本是符合系统抽样的特点的,
故选C.
2、答案：C
解析：由,可得,
所以直线的斜率为,则倾斜角为,
故选:C.
3、答案：A
解析：8个班参加合唱比赛的得分从小到大排列分别是87,89,90,91,92,93,94,96,中位数是91,92,的平均数91.5,平均数是
4、答案：C
解析：当焦点在x轴上时,,且.
当焦点在y轴上时,,且.
故选:C
5、答案：C
解析：设,即,则,此方程组无解,故,不平行,故A错误;
设,即,则,此方程组无解,故,不平行,故B错误;
,则,故C正确;
,则,不垂直,故D错误.
故选:C.
6、答案：A
解析：若与平行,由,可得,与条件矛盾,不符合题意,故C,D错误;
所以与相交,如图所示,作,且与直线a相交,
设,a,,则由题意,故,同理,
因为,,所以,故A正确.
7、答案：C
解析：分别用,,,,,表示6只鞋,则可能发生的情况有种,
如下所示:,,,,,,,,
,,,,,,
取出的鞋子是一只左脚一只右脚的,但不是一双的事件有6种,即,,,,,,
故选:C
8、答案：A
解析：联立,解得,.
把(1,2)代入可得.
.
点到原点的距离
当时,取等号.
点到原点的距离的最小值为.
故选A.
9、答案：AD
解析：由折线图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,
其他次考试成绩都高于乙同学,所以,故选项A正确;
由折线图的变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,
所以,故选项B错误,选项D正确;
极差为数据样本的最大值与最小值的差,
所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项C错误.
故选:AD.
10、答案：ABC
解析：对于A,根据互斥事件的概率加法公式即可判断A正确;
对于B,若事件A,B相互独立,则,也相互独立,所以,故B正确;
对于C,根据互斥事件的概率加法公式即可判断C正确;
对于D,例如,从1,2,3,4中随机选出一个数字,记事件“取出的数字为1或2”,“取出的数字为1或3”,“取出的数字为1或4”,则“取出的数字为1”,
显然,
,
满足,,,
所以事件A,B,C两两独立,但是,故D错误.
故选:ABC.
11、答案：ABD
解析：因为三条直线将平面划分成六部分,所以三条直线有以下两种情况:
（1）三条直线交于同一点,解方程组,所以交点坐标为,直线也过该点,故;
（2）当直线与平行时,;
当直线与平行时,,综上所述:.
故选:ABD
12、答案：ABD
解析：由题意知，所以.
因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确.
当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确.
由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得.又，所以，得，
所以椭圆的短轴长为，故A正确.
易得，所以，故C错误.
故选：ABD.
13、答案：6
解析：由椭圆的定义可知,
所以长轴长为,
故答案为:6
14、答案：
解析：若接入a,,分别接入b,c,则该电路正常工作的概率为;
若接入b,,分别接入a,c,则该电路正常工作的概率为;
若接入c,,分别接入a,b,则该电路正常工作的概率为;
,此电路正常工作的最大概率为.
故答案为:.
15、答案：
解析：设球的半径为R,由,解得,
,且E分别为线段AB的中点,,
在中,,同理可得,
又,E,O,F三点共线,
作出球O的内接正四棱柱,,
,为直线AC与BD所成的角,
,,,,
由余弦定理得,
故答案为:.
16、答案：
解析：如图,在x轴上取点,
,,,,
（当且仅当为与圆交点时取等号）,
.
故答案为:.
17、答案：（1）;
（2）或.
解析：（1）因圆C的圆心C在x轴上,则设圆心,圆C的半径为r,
又圆C经过点,,则有,解得:,
即圆心,半径,
所以圆C的标准方程为:.
（2）由（1）知,圆,因直线l过点,且与圆C相切,
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,与圆C不相切,不符合题意,
则直线l的斜率存在,设直线l的方程为,即,
于是有,解得:或,
所以直线l的方程为:或.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由得:,即.
（2）设关于直线l对称的点,则,解得:,
,则直线方程为,即,
即直线关于直线l对称的直线方程为:.
19、答案：（1）;
（2）不存在,证明见解析.
解析：（1）由题意可知,设,
设上底的面积为,下底的面积为,
则,,
所以,解得,
在中由余弦定理可得,
所以;
（2）不存在,证明如下:
证明:过O作OB的垂线交劣弧AB于N,
由（1）可知,所以,
以ON,OB,所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的坐标系,
则,,,,
设,
则,,,
设平面的法向量为,
由,可得,
因,所以,
取,则有,
如果平面,则有,
即,
即,矛盾,所以平面不成立,
故劣弧上不存在M使平面.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,所求概率为;
（2）由题意,有甲第一次通过乙第二次通过,甲第一次通过乙第三次通过和甲第二次通过乙第三次通过三种情况,
当甲第一次通过乙第二次通过时,概率为,
当甲第一次通过乙第三次通过时,概率为,
当甲第二次通过乙第三次通过时,概率为,
所以所求概率为.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意得,
又,
,,
,.
所求椭圆的方程为.
（2）设P点坐标为,
,
所在直线的方程为,即.
解方程组,并注意到,,可得
.
22、答案：（1）
（2）或
解析：（1）由A,B,C坐标可得:重心,即;
,,
边的高线所在直线为;AC边的高线所在直线为,即;
由得:,即的垂心;
,则欧拉线方程为:,即.
（2）设,圆的半径为,,,
,解得:或;
当时,,圆心E到直线的距离,
,解得:,
圆E的方程为:;
当时,,圆心E到直线的距离,
,解得:,
圆E的方程为:;
综上所述:圆E的标准方程为:或.