2023-2024学年天津市第十四中学高一上学期12月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市第十四中学高一上学期12月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中在定义域内为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合函数性质逐个分析即可.
【详解】对A：当时，函数单调递增，故错误；
对B：当时，函数单调递增，故错误；
对C：由指数函数性质可知，在定义域内单调递减，故正确；
对D：由对数函数性质可知，在定义域内单调递增，故错误.
故选：C.
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知，利用同角公式计算得解.
【详解】由，得，而，
所以.
故选：D
3．已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据特殊值0和1与指数函数对数函数的单调性逐一比较大小.
【详解】对于，
所以：
故选：A
【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于根据函数单调性和特殊函数值的大小关系，利用不等式的传递性解题.
4．函数的零点所在的大致区间是
A．（1，2）B．C．D．
【答案】B
【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.
【详解】因为函数单增，，，，∴零点所在的大致区间
5．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】首先分别求出集合和集合，再由交集的定义求出即可.
【详解】解：；
，令，求得；
；
故选：C.
【点睛】本题主要考查交集的求解，考查交集的定义、指数运算、对数运算等基础知识；解答此类题目时，首先要求出集合的范围，然后再根据交集的定义进行运算求解；关键点是对各集合的求解，以及交集的运算；考查运算求解能力，属于基础题型.
6．函数零点个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根据零点的定义计算即可.
【详解】由得：
或
解得或．
因此函数共有2个零点．
故选：B.
7．给出下列3个结论，其中正确的个数是（ ）
①是第三象限角；②是第二象限角；③.
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【解析】根据象限角的定义，以及角度制和弧度制互化公式，判断选项
【详解】①，所以是第三象限角，正确；②，所以是第三象限角，故不正确；③，故不正确.
故选：C
8．已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
9．已知，则函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数关系得，所以函数与函数的单调性相同即可得到选项.
【详解】，所以，，不为1的情况下：
，
函数与函数的单调性相同，ABC均不满足，D满足题意.
故选：D
【点睛】此题考查函数图象的辨析，根据已知条件找出等量关系或不等关系，分析出函数的单调性得解.
10．若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调递增区间为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由幂函数的定义可得，由其图像过点，则，即，
由复合函数的单调性有：的单调递增区间等价于的减区间，
一定要注意对数的真数要大于0，再求单调区间即可.
【详解】解：因为，
则，即，
又其图像过点，
则，即，
则，
由复合函数的单调性有：的单调递增区间等价于的减区间，
又的减区间为，
故选A.
【点睛】本题考查了幂函数的定义及复合函数的单调性，重点考查了对数的真数要大于0，属中档题.
二、填空题
11． ．
【答案】
【分析】运用诱导公式即可得.
【详解】，
故答案为：.
12．已知函数的图象过定点，则 .
【答案】4
【解析】根据题意，令对数的真数等于1，求出定点坐标，从而得出的值，从而得出结果.
【详解】解：由题可知，函数的图象过定点，
令，得，
此时，
函数的图象过定点，
，则.
故答案为：4.
13．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，那么第二次取区间的中点为 ．
【答案】/
【分析】找到分别为、、时的正负，结合零点存在定理即可得.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
故下一次应取区间的中点，即.
故答案为：.
14．已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为 .
【答案】4或1
【分析】根据题意设出扇形的圆心角，半径与弧长，通过扇形的周长与面积的公式，列方程可求得半径与弧长，进而可求出圆心角.
【详解】设圆心角为，半径为，弧长为，则，
解得或，
所以或1.
故答案为：4或1.
15．已知定义域为R的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】根据函数奇偶性，以及已知区间的单调性，先确定在上单调递增，将所求不等式化为或，求解，即可得出结果.
【详解】因为定义域为R的偶函数在上是减函数，且，
所以在上单调递增，且，
因此不等式可化为，
所以或，解得或，
即不等式的解集为.
故答案为：.
16．函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】结合函数的值域与单调性，分别研究分段函数两段的的实数根个数即可得.
【详解】由，
则当时，值域为，且在单调递增，
故无论为何值，
一定有且仅有一根，
则需在时，有另外两根，
当时，，
有最小值，且，
故时，在时有两根，符合题意，
当，仅有一根或无解，不符合题意，故舍去，
故答案为：.
三、解答题
17．求值
(1)计算
(2)计算．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用指数幂的运算性质运算即可得.
（2）运用对数的运算性质即可计算.
【详解】（1）原式
（2）原式
18．已知
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将条件等式变形，用正切表示，求得的值；
（2）首先利用，将原式写成齐次分式的形式，再利用正切表示，即可化简求值.
【详解】（1）由，得，即．
（2）因为，
所以
.
19．已知函数（，且）
(1)求的值及函数的定义域；
(2)若函数在上的最大值与最小值之差为3，求实数的值．
【答案】(1)0；；
(2)或.
【分析】（1）代入计算得，由对数有意义列出不等式求解作答.
（2）由a值分类讨论单调性，再列式计算作答.
【详解】（1）函数，则，由解得：，
所以的值是0，的定义域是.
（2）当时，在上单调递减，，，
于是得，即，解得，则，
当时，在上单调递增，，，
于是得，即，解得，则，
所以实数的值为或.
20．已知函数.
（1）若时，求满足的实数的值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意知，，令，则，解得或（舍）再代入原方程组即可.
（2）将问题转化为存在，使得，只需求出函数的最小值即可，再利用换元法求的最小值.
【详解】（1）当时，，令，则，
解得或（舍），由，得，
所以.
（2）由已知，存在，使成立可转化为存在，使得，
只需求出函数的最小值即可，
令，∴.则，易知在上单调递增，所以
，∴，∴.
【点睛】本题主要考解指数型方程以及函数能成立求参数的问题，考查学生转化与化归的思想，属于中档题.