2023-2024学年天津市第五中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市第五中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，利用交集的运算即可求出.
【详解】解：由题可知，，，
由交集的运算可得.
故选：A.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.
【详解】因为命题“，”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，
所以命题“，”的否定是“，”
故选：A
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解出两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】解不等式，可得；解不等式，可得.
因为，，因此，“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．半径为1，圆心角为的扇形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式即可得解.
【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为，
所以扇形的面积为.
故选：D.
5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【答案】C
【解析】判断函数的单调性，以及（2），（3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．
【详解】函数，是增函数且为连续函数，
又（2），
（3），
可得
所以函数包含零点的区间是．
故选：．
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
6．已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的定义即可得解.
【详解】因为，所以，
因为角的终边上有一点的坐标是，
所以.
故选：D.
7．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.
【详解】由题意，得，
，即，
，
所以.
故选：A.
8．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域.
【详解】由，则，
所以的值域为.
故选：C
9．若函数和都是上的奇函数，，若，则（ ）
A．1B．C．D．5
【答案】B
【分析】利用奇函数的性质，即可求解的值，即可求解的值.
【详解】因为函数和都是上的奇函数，所以，，
，
则，.
故选：B
10．化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
11．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，解得.
故选：B.
12．已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为和有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，即可求得实数的取值范围.
【详解】由函数 ，
因为，令，即，
由函数有2个零点，即和有两个交点，
在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，
结合函数的图象，要使得函数有2个零点，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
二、填空题
13． ．
【答案】-
【详解】.
故答案为.
14．若幂函数的图象经过点，则的解析式为 .
【答案】
【分析】由幂函数所过的点求解析式即可.
【详解】令幂函数，且过点，则，
所以.
故答案为：
15．已知，，则 ．
【答案】
【解析】利用指数及指数幂的运算律求解.
【详解】，，
故答案为：.
16．已知，，则 ．
【答案】
【解析】根据同角平方关系，先求出，再根据商数关系，求出.
【详解】由，，
可得，
则根据商数关系得.
故答案为：.
17．函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】函数变形为，利用基本不等式“1”求最小值.
【详解】，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值为.
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
18．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性可得，解不等式组即可求解.
【详解】由题意知，，
解得，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
三、问答题
19．若不等式的解集是，
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知不等式的解集得到的两个实数根为和2，利用韦达定理即可求出的值；
（2）代入的值，由一元二次不等式的求解即可得解．
【详解】（1）依题意可得：的两个实数根为和2，
由韦达定理得：，解得：；
（2）由（1）不等式，
即，解得：，
故不等式的解集是．
20．已知函数
(1)当时，求的定义域和单调递减区间；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)的定义域为；单调递减区间为
(2)
【分析】（1）先由对数函数的性质求得的定义域，再利用复合函数的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解；
（2）利用复合函数单调性的性质，得到的性质，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）令，．
当时，，由得，解得或．
故的定义域为．
因为函数在定义域上单调递增，
在上单调递减，在单调递增，
所以的单调递减区间为．
（2）因为在上单调递增，又在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，且恒成立，
因为开口向上，对称轴为，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
21．已知函数，且函数为奇函数
(1)求函数的定义域；
(2)求实数的值
(3)用定义证明函数在上单调递减
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由分式的性质，解指数方程求定义域；
（2）由奇函数性质有，得到恒成立，即可求参数；
（3）令，应用作差法比较大小即可证结论.
【详解】（1）由题设，即，故函数的定义域为.
（2）由，则，
所以，即恒成立，故.
（3）令，则，
由，，，故，即，
所以函数在上单调递减.