2023-2024学年四川省广元市苍溪中学校高一上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省广元市苍溪中学校高一上学期12月联考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合A={0，1}，则集合A的子集个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据子集个数的公式可得正确的选项.
【详解】因为元素个数为2，故其子集个数为，
故选：D.
【点睛】本题考查有限集的子集的个数，如果有限集有个元素，则其子集的个数为，本题属于基础题.
2．已知， ， 则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充要也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合关系即可判断.
【详解】因为，
所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
3．函数的零点落在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理判断即可.
【详解】因为，，，，，，
所以函数的零点落在区间上.
故选：B.
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用中间量，结合对数函数与指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，，
所以.
故选：B．
5．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过分析函数的奇偶性和函数的取值范围即可得出结论.
【详解】因为，定义域为，关于原点对称，所以，
，
∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误，
∵恒成立，且当时，，所以B、C错误.
故选：A.
6．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．13D．1
【答案】A
【分析】令，结合图象可得且，从而求得的值，由此得解.
【详解】令，则，
由图可得方程的两根为2和4，则，
又由图象知，即，则，
所以，解得，
所以，
所以，，
则．
故选：A.
7．若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性列式求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：A.
8．设某公司原有员工100人从事产品的生产，平均每人每年创造产值万元（为正常数），公司决定从原有员工中分流人去进行新开发的产品的生产，分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了.若要保证产品的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）
A．15B．16C．23D．28
【答案】C
【分析】依题意得到，解二次不等式即可得解.
【详解】依题意，分流前每年创造的产值为（万元），
分流人后，每年创造的产值为，
则，解得，
又，所以的最大值为，即最多能分流的人数是.
故选：C.
二、多选题
9．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】AD
【分析】根据两函数相等的三要素一一判断即可.
【详解】对于A, 的定义域为,
的定义域为,
且两个函数的对应关系相同,所以是同一函数,故A正确;
对于B, 的定义域为,
的定义域为,
所以不是同一函数,故B错误;
对于C，
与对应关系不相同,故C错误;
且定义域为,
定义域为,所以两个函数是同一函数,故D正确.
故选:AD.
10．(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号表示不等关系，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则
B．若，则
C．如果，那么
D．，则
【答案】BCD
【分析】根据不等性质及作差法分别判断各选项.
【详解】A选项：，，无法判断正负，A选项错误；
B选项：，，所以，B选项正确；
C选项：，，即，C选项正确；
D选项：，，即，D选项正确；
故选：BCD.
11．若函数满足，，且，，则（ ）
A．在上单调递减B．
C．D．若，则或
【答案】ABD
【分析】先由题设条件得到在上单调递增，且关于对称，从而得以判断A；利用赋值法可判断B；利用函数的对称性与单调性，计算得自变量与对称轴的距离的大小关系，从而判断CD.
【详解】因为，
所以在上单调递增，且关于对称，
则在上单调递减，故A正确；
因为，令，得，故B正确；
因为，
所以，故C错误；
若，则，解得或，故D正确.
故选：ABD.
12．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．的否定“”
B．函数（其中，且）的图象过定点
C．当时，幂函数的图象是一条直线
D．若函数，则
【答案】BD
【分析】根据命题的否定；指数型，对数型函数恒过定点；幂函数无意义；换元法求函数解析式解决即可.
【详解】对于A，的否定“”，故A错误；
对于B，函数（其中，且），当，即时，的图象过定点；故B正确；
对于C，当时，因为无意义，所以幂函数的图象不是是一条直线；故C错误；
对于D，因为函数，
令，
所以，
所以
所以，故D正确.
故选：BD
三、填空题
13．已知幂函数，有， .
【答案】/
【分析】利用幂函数的定义即可得解.
【详解】依题意，设幂函数，
因为，所以，则，
所以.
故答案为：.
14．已知函数，则 .
【答案】
【分析】直接利用分段函数化简求解函数值即可.
【详解】因为，
所以，故.
故答案为：.
15．已知是定义在上的奇函数，当时，；则当时， .
【答案】
【分析】利用的奇偶性即可得解.
【详解】因为当时，，
所以当时，，，
又是定义在上的奇函数，
所以.
故答案为：.
16．已知正实数，满足，使得取最小值时，实数的值 .
【答案】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值，根据等号的成立条件求实数a，b的值，从而得解.
【详解】因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，，为实数集.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】（1）因为或，
而，则；
（2）由（1）得，，
所以.
18．计算下列各式的值.
(1)
(2)已知，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂数的运算法则即可得解；
（2）由已知分别求得和的值，代入即可得解.
【详解】（1）
.
（2）因为，
所以，
，
所以.
19．计算下列各式的值.
(1)计算
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂与对数的运算法则，结合换底公式即可得解；
（2）利用指数与对数的互化即可得解.
【详解】（1）
.
（2）因为，所以，则；
因为，所以，则；
故.
20．已知命题：存在实数，使成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式能成立问题求解即可；
（2）利用对勾函数的单调性求得为真的条件，进而得到关于的不等式组，从而得解.
【详解】（1）因为命题：存在实数，使成立，
所以，解得或，
故实数的取值范围为；
（2）因为命题：对于，使有解，
即在上能成立，令，则，
则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
如果是假命题，则；如果是真命题，则；
所以，即实数的取值范围.
21．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为米.
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，苦无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
【答案】（1）当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元；（2）.
【分析】（1）甲工程队的总造价为元，求出，再利用基本不等式求解；
（2）由题意可得对任意的恒成立，化简得恒成立，利用基本不等式求函数的最小值得解.
【详解】（1）甲工程队的总造价为元，
则，
.
当且仅当，即时等号成立.
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.
（2）由题意可得，对任意的恒成立.
即，从而恒成立，
令，，
故.所以.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22．已知定义在上的函数是偶函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用的奇偶性即可得解；
（2）将问题转化为，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【详解】（1）因为是在上偶函数，，
所以，即，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，即，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，
，解得，所以，
综上，实数m的取值范围是.
【点睛】不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．