2023-2024学年河北省石家庄市第十五中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市第十五中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算出，根据元素和集合的关系得到答案.
【详解】由题意得，所以．
故选：C
2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据的定义域即可得出的定义域.
【详解】因为的定义域为，
所以令，得，
所以的定义域为.
故选：B
3．若命题菱形是中心对称图形，则（ ）
A．是全称量词命题，且的否定:所有的菱形不是中心对称图形
B．是全称量词命题，且的否定:有些菱形不是中心对称图形
C．是存在量词命题，且的否定:所有的菱形不是中心对称图形
D．是存在量词命题，且的否定:有些菱形不是中心对称图形
【答案】B
【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可得出答案.
【详解】该命题是全称量词命题，且该命题的否定：有些菱形不是中心对称图形．
故选：B
4．若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】借助配凑法即可解答．
【详解】由，得．
故选：D
5．“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质与充分必要条件的判定即可得解.
【详解】当时，
，
所以，则，即必要性成立；
当时，取，则，即充分性不成立；
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
6．若，则函数的部分图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据的正负，确定的正负，从而根据的单调性得答案.
【详解】因为，所以或，
对A、D：由得，此时与在定义域上单调递减，
所以在定义域上是减函数，故A错误，D正确；
对B、C：由得，此时与在定义域上单调递增，
所以在定义域上是增函数，故B、C均错误；
故选：D
7．若命题“”为假命题，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得命题“”是真命题，则在上恒成立，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意知命题“”是真命题．
因为，所以．
当时，函数的最大值为6，
则的最小值为，所以，即的最大值为．
故选：A.
8．如图，某地区计划在等腰的空地中，建设一个有一边在上的矩形花园，已知，则该矩形花园面积的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形，设的长度为，的长度为，根据相似求出的关系，再根据二次函数的性质即可得解；
方法二：设的长度为，的长度为，根据相似求出的关系，再根据基本不等式即可得解.
【详解】（方法一）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形，
设等腰的内接矩形为，取的中点，连接交于点，
设的长度为，的长度为，
则，，，
所以，得，即，
则该矩形花园的面积为，
当时，该矩形花园的面积取得最大值，最大值为．
（方法二）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形，
设等腰的内接矩形为，取的中点，连接交于点，
设的长度为，的长度为，
则，，，
所以，得，
则，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该矩形花园面积的最大值为．

故选：C.
二、多选题
9．下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据相等函数的定义判断即可.
【详解】与的解析式一致，定义域均为，值域也相同，A正确；
与的解析式不一致，B错误；
，与的解析式一致，定义域均为，值域也相同，C正确；
的定义域为，的定义域为，D错误．
故选：AC.
10．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性质求解.
【详解】对A，因为所以A正确；
对B，因为，所以B正确；
对C，因为，所以，
所以，所以，C正确；
对D，时，，D错误．
故选:ABC.
11．已知幂函数的图像经过中的三个点，则的值可能为（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】BC
【分析】设，利用幂函数的性质知，点一定在幂函数图像上，再分别讨论过三点，过三点，过三点，即可求出结果.
【详解】设，因为，
由幂函数的性质可知的图像必定经过点,
若的图像经过三点，由，得为正奇数，
则的解析式可能为，有，此时；
若的图像经过三点，由，得，
则，有，此时；
若的图像经过三点，由，得到，，此时不在图像上，即的图像不同时经过三点，
故选：BC.
12．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性和周期性结合赋值法判断各选项
【详解】因为函数为奇函数，所以，A正确；
由为偶函数，得，即，B正确；
由为奇函数，得，所以，即，C错误．
由上可知，则，则，所以，D正确．
故选：ABD
三、填空题
13．的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意得，当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为.
故答案为：
14．若关于的不等式的解集为，则 ．
【答案】12
【分析】根据一元二次不等式的解集及韦达定理求出即可.
【详解】由题意得关于的方程两根为和，
则，得，
所以．
故答案为：12
15．已知函数在上是单调函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】保证每段函数单调递减和断点处函数值大小关系即可
【详解】由题意得在上单调递减，所以，解得．
故答案为：
16．某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果这三天售出的水果至少有 种．
【答案】20
【分析】设出未知数，用韦恩图表达出其他量，得到不等式，求出答案.
【详解】设这三天售出相同种类的水果有种，
第一天售出、第二天未售出、且第三天售出的水果相同种类有种，
则这三天售出水果的种类关系如图所示．

由图可知，该水果店这三天售出水果有种，
由，得，所以．
故该水果店这三天售出的水果至少有20种．
故答案为：20
四、问答题
17．已知全集，集合，为小于4的自然数组成的集合．
(1)求的子集的个数；
(2)求．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据条件求出集合，即可求出的子集的个数；
（2）根据条件求出，再利用集合的并集运算即可求出结果.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，
故的子集的个数为.
（2）由题意得，
则，
所以．
18．判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由．
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)奇函数；理由见解析
(2)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析
(3)偶函数，理由见解析
【分析】先求定义域是否关于原点对称，再利用定义判断
【详解】（1）由题意得的定义域为，
因为，都有，
且
所以是奇函数；
（2）的定义域为，当时，，
所以，中，既不是奇函数也不是偶函数；
（3）当时，，则，
当时，，则，
所以是偶函数．．
19．已知二次函数的图象的顶点为，且的图象经过原点．
(1)求的解析式；
(2)若在上单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一利用顶点式设方程即可求解；法二：利用一般式设方程得方程组求解即可（2）利用单调性列不等式
【详解】（1）（方法一）设，
由题意得，得，
所以．
（方法二）设，
由题意得，解得
所以．
（2）由题意得在上单调递增，
所以，得，即的取值范围为．
五、证明题
20．已知为正数，且．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)12
【分析】（1）由已知等式可得，根据，利用均值不等式即可得证；
（2）利用均值不等式求解即可.
【详解】（1）证明：由，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
（2）解：，
当且仅当，即，即或时，等号成立．
故的最小值为12．
六、问答题
21．已知幂函数在上单调递减．
(1)求的值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数得到，求出或-1，根据单调性舍去，得到答案；
（2）先得到在上单调递减，分，，，，结合函数单调性得到不等式，求出解集.
【详解】（1）由题意得，解得或-1，
当时，在上单调递增，不符合题意；
当时，在上单调递减，符合题意，
故；
（2）由题意得在上单调递减，
当时，解得，无解，舍去；
当，即时，恒成立，
当，即时，由，得，得，不符合题意．
当，即时，由，得，得，所以．
综上，不等式的解集为．
22．对于函数，如果对其定义域中任意给定的实数，都有，且，就称为“倒函数”．
(1)判断函数是否为“倒函数”，并说明理由；
(2)若定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，．
①根据定义，研究在上的单调性；
②若，函数，求在上的值域．
【答案】(1)是“倒函数”；理由见解析
(2)① 在上单调递增；②
【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）①根据单调性定义证明；②换元法结合二次函数的单调性求值域可解.
【详解】（1）由，得，因为，所以的定义域，
因为，所以，所以是“倒函数”；
（2）①设，且，则，
因为在上单调递增，，
所以，则，
由，得，
所以，所以在和单调递增．
又定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，所以在上单调递增．
②由题意得，因为在上单调递增，所以在上的值域为，
令．
因为函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当或2时，，所以在上的值域为，则，
因为，所以．
因为函数在上单调递增，所以，，
故在上的值域为．