2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，作图题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得集合，再根据交集的定义即可求解.
【详解】，
所以.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由全称命题的否定是特称命题可判断.
【详解】命题“”的否定为“”.
故选：B.
3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对于A，分析函数的奇偶性即可；对于B，分析函数的单调性即可；对于C，分析奇偶性即可；对于D，分析奇偶性与单调性即可.
【详解】对于A，设，则,
所以不是偶函数，不符合题意；
对于B，易知在上单调递增，不符合题意；
对于C，设，定义域为，
则，所以是奇函数，不符合题意；
对于D，设，定义域为，
则，为偶函数.
又时，，在上单调递减，符合题意.
故选:D.
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】令得，代入解析式求解.
【详解】令得，
故，
故选：D
5．已知函数为奇函数，则（ ）
A．3B．6C．D．
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性即可求解.
【详解】∵为奇函数，
∴时，，则，
∴时，，
则，
故选：C．
6．已知，，，，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据是偶函数且在上单调递减，利用奇偶性、单调性可得答案.
【详解】根据题意，的定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，
当时，单调递减，，
因为，，
所以，而在上单调递减，
故有，即.
故选：A.
7．某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为（ ）
A．74B．76C．78D．80
【答案】C
【分析】利用题中的条件，第1天有10人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出．
【详解】由题意可设比例系数为，所以，
，，
当时，，
故选：C．
8．某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学参加这项活动，则他获奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】设同学随机抽取得到的两位数的十位数字为，个位数字为.
依题意，若，则，有1种情况；若，则，有2种情况.
以此类推……，
若，则，有8种情况，共计有种情况，
其中满足获奖的情况是，即，
也即获奖情况只有，这4种情况，
所以该班同学参加这项活动获奖的概率为.
故选：D
二、多选题
9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】AC
【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D.
【详解】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为、4，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
10．已知，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据已知得判断C，根据指数运算判断A，根据对数运算性质判断BD.
【详解】依题意，，即，则且a，，故C正确；
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11．某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）

A．频率分布直方图中a的值为0.005B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D．估计总体中成绩落在内的学生人数为225
【答案】AD
【分析】先根据频率之和为1可得，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可.
【详解】由，可得，故A正确；
前三个矩形的面积和为，
所以这名学生的竞赛成绩的第百分位数为，故B错误；
由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C 错误；
总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.
故选：AD
12．下列说法正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖
D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是
【答案】BD
【分析】根据事件发生的随机性可以判断A,C选项，根据频率与概率的关系可以判断B选项,应用古典概型判断D选项.
【详解】随机事件的不确定性可以确定A,C选项错误，
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 ，B选项正确；
任意投掷两枚质地均匀的骰子基本事件有36种情况，
点数和是3的倍数的情况有12个基本事件,概率是 ，故D选项正确.
故选：BD.
三、填空题
13．函数（且）图象过定点，且满足方程，则最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出定点，代入方程得到的等式，再根据基本不等式可求得答案.
【详解】由，（且），令，得，所以定点的坐标为，
代入方程得，即，，
，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14．函数的定义域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的定义域和一元二次不等式恒成立的问题求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以恒成立，
当时，恒成立；
当时，则必需，解得，
综上实数的取值范围为，
故答案为: .
15．在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为 ．
【答案】/
【分析】根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】在20组数中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138满足要求，共10个，由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为．
故答案为：
16．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“向上的点数是偶数”，事件“向上的点数超过4”，则概率 ．
【答案】
【分析】确定事件的可能情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】由题意可知抛掷一枚质地均匀的骰子，点数有共6种可能，
事件为“向上的点数是”，
故，
故答案为：
四、问答题
17．已知集合，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由，根据两个集合的范围，列不等式和方程求的值；
（2）由集合的包含关系，列不等式求的取值范围.
【详解】（1）因为，，，
由，所以，解得.
（2）.
当时，，解得.
当时，，解得.
综上，的取值范围为.
五、作图题
18．已知函数．
(1)当时，画出的图象并写出其单调增区间；
(2)是否存在实数a，使函数为偶函数？若存在求出a的值，若不存在请说明理由；
(3)当时，若，使，求实数a的取值范围．
【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为和；
(2)不存在实数a使得函数是偶函数，理由见解析．
(3)
【分析】（1）把函数解析式写出分段函数的形式，画出图象，根据图象可写出函数的单调增区间；（2）根据偶函数的定义，有，方程无解即可判定；（3）根据二次函数的性质，分类讨论求得函数的最值，结合题意，建立不等式，求解即可.
【详解】（1）当时，
图象如下：

根据图象可知，的单调递增区间为和.
（2）不存在
函数的定义域为,若函数是偶函数，则有
即，又即，
化简为，方程无实数解．
所以，不存在实数a使得函数是偶函数．
（3），使
所以
即
当时，，对称轴
（ⅰ）当即时，
所以
所以或
因为，所以
（ⅱ）当即时，
所以，解得
因为，所以
综上所述：a的取值范围是
六、问答题
19．己知函数，m为实数．
(1)当时，求的值域；
(2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据题意，令，转化为二次函数的值域问题，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为，然后分，以及讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，
令，因为，则，
所以，其中，
则时，，时，，即，
所以的值域为
（2）因为，其中，
令，则，且在上单调递减，
当时，，所以，
因为对任意的，总存在，使得成立，
则，所以在上恒成立，
令，因为，则，
即在上恒成立，即在上恒成立，
而在为减函数，在为增函数，
且，，故，故.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是转化为，然后再转化为含参二次函数分类讨论问题.
20．已知且，.
(1)求；
(2)判断函数的单调性；
(3)对于，当时有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递增
(3)
【分析】⑴换元法求函数解析式；
⑵分和两种情况讨论函数的单调性；
⑶根据确定函数为奇函数，又根据函数的单调性比较自变量的大小.
【详解】（1）令，则，，即.
（2）当时，，单调递增，单调递增，
所以单调递增，所以单调递增.
当时，，单调递减，单调递减，
所以单调递减，所以单调递增.
综上，单调递增.
（3）由于，且定义域为.
所以为奇函数，且在上单调递增，又，
所以，
即解得.
七、应用题
21．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并将数据分为七组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中的x值；
(2)根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在[98，100)内的样本数；
(3)记产品尺寸在[98，102)内为A等品，每件可获利5元；产品尺寸在[92，94)内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产3 000件产品．以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11 000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．
【答案】(1)0.12
(2)36
(3)需要对该工厂设备实施升级改造．
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为进行求解即可；
（2）根据频率分布直方图中的数据进行求解即可；
（3）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出月利润，最后比较大小即可.
【详解】（1）由，
解得
（2）200件样本中尺寸在内的样本数为．
（3）由题意可得，这批产品中优等品有(件)，
这批产品中不合格品有(件)，
这批产品中合格品有(件)，
(元)．
所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为元，
因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造．
22．甲、乙两位同学进行跳绳比赛，比赛规则如下：进行两轮跳绳比赛，每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分，跳绳不够200次得0分，两轮结束总得分高的为跳绳王，得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析，已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为，乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为，且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响.
(1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率；
(2)求不进行加赛甲就获得跳绳王的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据互斥事件加法概率公式和相互独立事件乘法概率公式求解即可；
（2）根据互斥事件加法概率公式和相互独立事件乘法概率公式求解即可.
【详解】（1）设“甲第轮得一分”，设“乙第i轮得一分”，
设“两轮比赛甲得分”，设“两轮比赛乙得分”，
则
所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为；
（2）设“不进行加赛甲就获得跳绳王”.由题意，
，
，
则
=++=
所以不进行加赛甲就获得跳绳王的概率为.
6830
3215
7056
6431
7840
4523
7834
2604
5346
0952
6837
9816
5734
4725
6578
5924
9768
6051
9138
6754