2023-2024学年四川省部分名校高一上学期联合学业质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省部分名校高一上学期联合学业质量检测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解出集合，再根据交集含义即可.
【详解】因为，所以．
故选：C.
2．“，是奇数”的否定是（ ）
A．，不是奇数B．，不是奇数
C．，不是奇数D．，是奇数
【答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题分析判断．
【详解】“，是奇数”的否定是“，不是奇数”.
故选：A.
3．“小宋来自四川省”是“小宋来自成都市”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件判断即可.
【详解】“小宋来自四川省”不能推出“小宋来自成都市”，
但“小宋来自成都市”可以推出“小宋来自四川省”．
故“小宋来自四川省”是“小宋来自成都市”的必要不充分条件，
故选：B
4．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
5．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，，，
所以．
故选：D
6．已知函数，若，则（ ）
A．19B．17C．8D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得，结合，即可求解．
【详解】由函数，
因为，可得，即，
则．
故选：B.
7．函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】分别讨论和时，的零点个数，再根据题意分析即可得出答案.
【详解】
当时，令，解得．当时，令，得3，因为函数与的图象在上有唯一公共点，即在上有唯一零点，故的零点个数为2.
故选:C
8．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性、奇偶性画出的大致图象，结合图象来求得不等式的解集.
【详解】根据题意可得在上单调递增，因为是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增．
令，解得或（舍去），则．
画出的大致图象，则由不等式，得或，
解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
二、多选题
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．集合有4个元素
B．等边三角形是轴对称图形
C．“所有的自然数都不小于零”是全称量词命题
D．所有奇函数的图象都关于原点对称
【答案】BCD
【分析】根据集合描述法的表示判断A，根据轴对称判断B，根据全称命题概念判断C，根据奇函数性质判断D.
【详解】集合，有3个元素，A错误；
等边三角形是轴对称图形，B正确；
“所有的自然数都不小于零”是全称量词命题，C正确；
所有奇函数的图象都关于原点对称，D正确．
故选：BCD
10．已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由指数函数的图象特征，结合幂函数在第一象限的图象特征可得答案.
【详解】根据题意可得，
的图象是向上平移a个单位得到的，
结合幂函数的性质可知在上为单调递增函数，
当a为奇数时，图象如C选项所示；当a为偶数时，图象如B选项所示，
选项A，D不符合题意．
故选：AD.
11．溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性，则下列选项正确的是（参考数据：取）（ ）
A．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是1.6
B．若纯净水的氢离子浓度是海水的倍，则海水的是9.1
C．若某溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，则该溶液呈酸性
D．若某个新鲜的鸡蛋蛋白的是8，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升
【答案】ACD
【分析】根据题中公式，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】胃酸的，A正确．
海水的氢离子浓度为摩尔/升，则海水的，B错误．
选项C中溶液的，溶液呈酸性，C正确．
新鲜的鸡蛋蛋白的，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升，D正确．
故选：ACD.
12．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合作差法，对选项逐一分析判断即可得解.
【详解】因为，所以，则，
所以，又，所以，故A正确．
设函数，
因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，且，
所以在上单调递增，，
即，，故B正确．
取，，则，故C错误．
，
则，
因为函数为减函数，所以．
因为函数在上为增函数，所以，则，故D正确．
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用复合函数的单调性来判断B选项，利用指数函数、幂函数的单调性判断D选项.
三、填空题
13．若是幂函数，则 ．
【答案】2
【分析】根据幂函数的定义列方程来求得的值.
【详解】令，得，解得．
故答案为：
14．已知正数，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得的最大值.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，等号成立．故的最大值为4．
故答案为：
15．已知函数的零点在区间内，则 ．
【答案】
【分析】先求出在上的单调性，然后利用零点存在定理从而求解.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，，
所以的零点在区间内，故.
故答案为：.
16．已知函数（且在上是增函数，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性，对分类讨论，列出不等式组求解即可得解.
【详解】设函数．
当时，函数在上单调递增，则在上为增函数，
由，解得．
当时，函数在上单调递减，则在为减函数，
由，解得．
综上，故的取值范围为．
故答案为：
四、问答题
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7
(2)1
【分析】（1）由指数幂运算直接得答案；
（2）由对数的运算直接得答案.
【详解】（1）原式；
（2）原式
．
18．已知集合，．
(1)若，求，
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，，结合集合并集和补集的运算，即可求解；
（2）由，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式，即，解得，
所以，
当时，可得，
所以，．
（2）解：由集合，，
因为，可得，
当时，可得，解得；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为．
五、证明题
19．已知函数满足．
(1)求的值；
(2)试判断在上的单调性，并用定义证明．
【答案】(1)2；
(2)在上单调递减，证明见解析.
【分析】（1）利用给定的函数解析式及函数值，求出，再求出函数值即得.
（2）函数在上单调递减，再利用单调性定义推理得解.
【详解】（1）函数，由，得，解得，
因此，则，
所以.
（2）函数在上单调递减．
任取，且，则
，
由，得，，，，，
因此，即，
函数在上单调递减．
六、问答题
20．小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作天后小钗的国画学习值为，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.（参考数据：取）
(1)求的值，并写出的解析式；
(2)当小钗的国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？（结果保留整数）
【答案】(1)，
(2)54天
【分析】（1）由题意可得，进而结合指数与对数的相互转化求解即可；
（2）令，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）依题意可得，即，
因为，所以，
因为，所以，
即，则.
（2）令，
得，
故当小钢的国画学习值达到2.89时，小钢已经坚持学习国画54天.
七、证明题
21．已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为．
(1)证明：是偶函数．
(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，利用二次函数的性质，求得，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可得证；
（2）由（1）得到，根据在上有两个零点，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）证明：由二次函数的单调递增区间为，
可得，解得．
又因为有一个零点为，则，解得或（舍去），
所以，
因为，所以是偶函数．
（2）解：由（1）可知，
因为在上有两个零点，则满足，解得，
所以实数的取值范围为．
八、问答题
22．已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围，
(3)已知实数，，满足，当时，恒成立，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）换元法求函数解析式即可得解；
（2）分离参数后利用均值不等式求最值可得参数取值范围；
（3）由题意转化为，利用均值不等式分析最小取值，解出的取值范围即可.
【详解】（1）令，得，则，
故的解析式为．
（2）对任意的，不等式恒成立，
即，
因为，所以．
设，
因为，所以，，所以，
则，
故，即的取值范围为．
（3）由，得，
由，得，
即，，当且仅当时，等号成立．
因为，所以，
所以，即，，解得，
因为，所以的最大值为2．