2023-2024学年安徽省淮南市淮南四中高一上学期第二次段考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省淮南市淮南四中高一上学期第二次段考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，且，则（ ）
A．0B．3C．D．3或0
【答案】A
【分析】根据集合相等列方程，解方程，然后根据元素的互异性进行取舍.
【详解】由得，解得或，
当时，，不满足元素的互异性，舍去；
当时，成立.
故选：A.
2．设命题：，使得，则为（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
【答案】A
【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答.
【详解】命题：，使得，
则其否定为：，都有.
故选：A
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.
【详解】因为或，
又时，不能得出；
时，不能得出；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选: D.
4．若函数且是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．不确定
【答案】B
【分析】根据指数函数的性质得到关于的不等式，解出即可．
【详解】因为是上的单调递减函数，
则，解得．
故选：B．
5．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】C
【分析】利用给定的等式求出，再利用基本不等式求解即得.
【详解】由，得，
而，则，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为2．
故选：C
6．已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①②③
【答案】B
【分析】根据题求幂函数解析式，判断A；结合幂函数性质判断②③④.
【详解】对于①：由幂函数的定义可知，解得，
将点代入函数得，解得，
所以，故①错误；
对于②：因为定义域为R，且，
所以为奇函数，故②正确；
对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确；
对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误，
综上可知，②③正确，①④错误.
故选：B.
7．设函数，则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的图象性质分类讨论判断选项,
【详解】恒成立，所以当时，；
当时，，排除项，
又，即过原点，排除A项．
故选：D．
8．已知，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用换元法求得的解析式，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】设，则，
，
，，
函数在上单调递减，
当时，，
函数的值域为.
故选：C.
二、多选题
9．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的同向可加性、同向同正可乘性、传递性即可求解.
【详解】由不等式的同向可加性知选项A正确；
因为，，所以，，所以，故选项B正确；
因为，，所以，故选项C错误；
因为，所以，，所以，故选项D正确．
故选：ABD．
三、单选题
10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用根数与指数幂的运算可判断各选项的正确.
【详解】对于A选项，，故A正确；
对于B选项，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：ACD．
四、多选题
11．已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D错误．
故选：ABC．
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是B．函数的值域是
C．函数的图象关于对称D．不等式的解集是
【答案】BC
【分析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.
【详解】对A：令，解得或，故的定义域为，
∵在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对B：∵，即的值域，
∵，故函数的值域是，B正确；
对C：∵，即，
故函数的图象关于对称，C正确；
对D：，且在定义域内单调递增，
可得，解得或，
故不等式的解集是，D错误.
故选：BC.
五、填空题
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据的定义域即可求出的定义域.
【详解】由题意，
在函数中，定义域为，
∴在中，，
解得：，
故答案为：.
14．计算： .
【答案】1
【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，求解即可得出结果.
【详解】根据指数幂以及对数的运算性质，可知.
故答案为：1.
15．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得对一切恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】因为不等式对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，即的取值范围是，
故答案为：
16．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如，，则 ．
【答案】
【分析】根据2的倍数，3的倍数和6的倍数个数得到答案.
【详解】在1～中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个，
所以．
故答案为：
六、解答题
17．已知集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用，找到不等式组，求出实数的取值范围即可；
（2）在满足的前提下，对分空集和不是空集分类讨论即可.
【详解】（1）因为，所以解得，
即实数的取值范围是．
（2）若，即，此时，满足；
若，即，因为，
所以，或，解得．
综上，实数的取值范围是．
18．已知二次函数的解集为．
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，方程的两根为，利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据题意建立关于的不等式组，解出即可.
【详解】（1）当时，方程的两根为，
可得，
则．
（2）由题意可得
解得．
故实数的取值范围为．
19．已知对，都有，且当时，.
(1)求函数的解析式，并画出的简图（不必列表）；
(2)求的值；
(3)求的解集.
【答案】(1)，简图见解析
(2)21
(3)
【分析】（1）利用奇函数性质求解析式，然后结合二次函数画出分段函数图象；
（2）先求，再求；
（3）利用函数图象结合函数值的符号解不等式即可.
【详解】（1）因为，令，可得，
设，则，，
又，所以，
故，故函数的简图为
（2）因为，
所以.
（3）即为或，由图可知或，
故的解集为.
20．已知函数．
(1)若为奇函数，证明：；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据奇函数的定义满足，整理可得，结合指数函数的性质即可证得结论；
（2）根据函数单调性的定义设，，且，作差得到，结合指数函数的性质判断即可得结论.
【详解】（1）证明：的定义域为，
对，都有，
又为奇函数，则必有，
即，整理可得：，又恒成立
所以，命题得证．
（2）设，，且，
，
易知，，又在上为增函数，，可得，
当时，，在R上为增函数；
当时，，为常数函数，无单调性；
当时，，在R上为减函数．
21．“三星堆”考古发掘出大量的古代象牙，博物馆需要设计一个透明且密封的长方体玻璃保护罩，并充入昂贵的保护液，保护出土的这些古代象牙，该博物馆需要支付的总费用由以下两部分构成：①保护液的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少，且每立方米的保护液费用为500元.②保险费，需支付的保险费为（元），保护罩的容积为，与成反比，当容积为时，支付的保险费为4000元.
(1)求该博物馆支付的总费用（元）与保护罩容积之间的函数关系式；
(2)如何设计保护罩的容积，使博物馆支付的总费用最小?
【答案】(1)；
(2)当保护罩的容积为时，博物馆支付的总费用最小.
【分析】（1）根据给定条件，求出反比例系数，再列出函数关系式即得.
（2）由（1）的关系式，利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】（1）设需要支付的保险费为，当时，，解得，
所以总费用.
（2）由（1）知
，当且仅当，即时等号成立，
所以当保护罩的容积为时，博物馆支付的总费用最小.
22．设函数（且，），已知，.
(1)求的定义域；
(2)是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在实数符合条件，的取值范围是
【分析】（1）由和求得，，得函数解析式，即可确定定义域；
（2）假设存在实数，，判断出的单调性，由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根，再由二次方程根的分布知识可得结论.
【详解】（1）由，得，即，①
由，得，即，②
由①②得，解得，或（舍），，
所以.
由得，
故的定义域为.
（2）假设存在实数，，使得在区间上的值域是.
令，，则在上单调递增，
而在上单调递增，故在上单调递增，
所以，即.
令，，，则，为方程的两个不等实数根且，
令，则，即，解得.
即，，故存在实数符合条件，的取值范围是.