2022-2023学年安徽省淮南市部分学校高一上学期10月联考数学试题含解析

2022-2023学年安徽省淮南市部分学校高一上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题意得到或，再求即可.

【详解】，或.

所以.

故选：C

2．命题“有实数解”的否定是（    ）

A．无实数解 B．有实数解

C．有实数解 D．无实数解

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.

【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“有实数解”的否定是“无实数解”．

故选:D．

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.

【详解】由得，且，即，

可得，故A正确，D错误；

当时，；当时，，故BC错误．

故选:A．

4．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据必要条件的判断即可求解.

【详解】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，故充分性不一定成立，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故必要性成立，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件．

故选:B．

5．设，则A，B的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意且，利用得到.

【详解】因为，故，所以，即，所以，故．

故选：D．

6．已知是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用不等式解的定义列式求解作答.

【详解】因是关于x的不等式的一个解，则，解得，

所以a的取值范围为．

故选：B

7．设集合，其中，下列说法正确的是（    ）

A．对任意a，是的子集 B．对任意a，是的子集

C．存在a，使得是的子集 D．存在a，使得不是的真子集

【答案】A

【分析】根据二次函数的性质可得集合,进而可得两者之间的关系.

【详解】由，

，

由于，所以，

故选：A．

8．如果关于的一元二次方程的两个解是，（其中），而且不等式的必要条件是，那么（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由必要条件的定义和一元二次方程的解可得选项.

【详解】解：因为不等式的必要条件是，关于的一元二次方程的两个解是（其中），

所以，

故选：A.

二、多选题

9．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（    ）

A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数

C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数

【答案】AC

【分析】逐项判断各个命题是否为全称命题，是否为真命题.

【详解】A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；

B选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题；

C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；

D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题．

故选：AC．

10．若集合A，B，U满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据韦恩图即可得之间的关系，进而结合选项即可逐一求解.

【详解】

由知：与没有共同的元素，故，故A正确，

∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确．

故选：AD．

11．已知二次函数的图像如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，与y轴交点的位置，函数的零点，逐项判断选项是否正确.

【详解】二次函数的图像开口向上，则，对称轴为直线，可得，当时，，所以，A错误；，B正确；当时，，C正确；，D错误．

故选：BC．

12．下列说法正确的是（    ）

A．函数的最大值为0

B．函数的最小值是2

C．若，且，则的最大值是1

D．若，则

【答案】AD

【分析】利用基本不等式判断各选项．

【详解】对于A选项，由可知，，当且仅当时取等号，故A正确．

对于B选项，，时取等号，因为，等号不成立，故B错误．

对于C选项，由．当且仅当时，取得最大值，故C错误；

对于D选项，因为，所以，当且仅当即时，等号成立，放D正确．

故选：AD

三、填空题

13．不等式的解集为_____________．

【答案】

【分析】根据给定条件，结合有理数除法的符号法则转化为一元二次不等式作答.

【详解】依题意，不等式化为：，解得，

所以原不等式的解集为．

故答案为：

14．已知三个不等式：①；②；③，请写出1个真命题：_____________，__________________________（横线上填①，②或③）．

【答案】     ①     ②     ③

【分析】根据不等式的性质即可求解.

【详解】命题p：①，②③．若①，②成立，即，则，即命题p为真命题．

故答案为：①，②，③

15．若集合的非空子集为，则关于的不等式的解集为_____________．

【答案】

【分析】分析可得，利用二次不等式的解法解原不等式，即可得解.

【详解】由题意可知，方程的唯一解为，故，

由可得，解得，

故关于的不等式的解集为.

故答案为：.

16．设，且，则的最小值为_____________．

【答案】

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，当且仅当时取等号．

故答案为：

四、解答题

17．已知为实数，，．

(1)当时，求的取值集合；

(2)当时，求的取值集合.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值；

（2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值.

【详解】(1)解：因为，

所以当时，，当时，．

又，所以，此时，满足．

所以当时，的取值集合为．

(2)解：当时，，不成立；

当时，，，成立；

当且时，，，由，得，所以．

综上，的取值集合为．

18．（1）已知，试比较与的大小；

（2）证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）根据给定条件，作出被比较的两个式子的差，判断符号即可得解.

（2）作出所证不等式两边的差，变形并判断符号作答.

【详解】（1）

，

因，则，即，

所以．

（2）

，

显然，，当且仅当时取等号，又，

因此，所以．

19．已知．

(1)当时，求同时满足p和q的实数x的取值范围；

(2)若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(１)根据一元二次不等式分别求解即可，

（2）根据充分条件转化成子集关系，即可求解，

【详解】(1)当时，，即为

解得；

对于q，即为，解得．

同时满足p和q时，．

故实数x的取值范围是．

(2)对于，解得．

由q是p的充分条件，得，

所以，解得．故实数a的取值范围是．

20．已知．

(1)若对，求实数a的取值范围；

(2)当时，求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【分析】（1）题意可转化成，恒成立，利用基本不等式求的最小值即可；

（2）将不等式整理成，分，和三种情况进行讨论，即可得到答案

【详解】(1)依题意得，即，恒成立，

所以只需，

又（当且仅当时取等号），所以，

所以，即，

故实数a的取值范围为；

(2)不等式即化简为，

，

当时，不等式的解集为；

当时，，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为，

综上，当时，解集为；当时，解集为；时，解集为．

21．已知集合

(1)求的最小值；

(2)对任意，证明．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式可求得的最小值；

（2）分析可知，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得原不等式成立.

【详解】(1)解：因为，且，

所以，，当且仅当时，等号成立，

故的最小值为.

(2)解：由题意可知，且，所以，，

故

，

当且仅当时，等号成立，故原不等式得证.

22．初一（2）班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形的周长为，其中较长边为，将沿向折叠，折过去后交于点E．

(1)用x表示图1中的面积；

(2)郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是2元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用．

【答案】(1)的面积为

(2)最大费用为元

【分析】（1）根据已知条件，可推得，再在在中，由勾股定理得，解得解得解得，，再结合面积公式，即可求解．

（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．

【详解】(1)因为，所以，

因为为较长边，所以，即，

设，则，

因为，，

所以，所以．

在中，由勾股定理得，

即，解得，

所以．

所以的面积．

所以的面积．

(2)设一颗钮扣的镀金费用为y元，

则，

当且仅当，由即时等号成立，

所以当为时，一颗钮扣的镀金部分所需的最大费用为元．