黑龙江省哈尔滨市松北区第九十五中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制）

这是一份黑龙江省哈尔滨市松北区第九十五中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（五四学制），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣9的相反数是（ ）
A．﹣9B．﹣C．9D．
2．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．2a+2a＝2a2B．a2•a3＝a6
C．（2a2）3＝6a6D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
3．（3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2
6．（3分）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，点D在⊙O上，连接AD、CD，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25°B．20°C．30°D．35°
7．（3分）为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600
B．2500（1+x%）2＝3600
C．2500x2＝3600
D．2500（1+x）2＝3600
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，则CE的长是（ ）
A．1B．C．D．
9．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上（ ）
A．（4，﹣1）B．（﹣，1）C．（﹣4，﹣1）D．（，2）
10．（3分）如图，已知DE∥BC，EF∥AB（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数4890000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）把多项式3a2﹣27b2分解因式的结果是 ．
14．（3分）不等式组的解集为 ．
15．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2+5的最大值是 ．
16．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，AC＝3，BC＝2 ．
17．（3分）一个扇形的面积是15πcm2，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度．
18．（3分）一个不透明的布袋中，装有4个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个黑球，从中摸球1次放回搅匀后再摸出1个球 ．
19．（3分）在矩形ABCD中，BC＝3AB，点P在直线BC上，则∠APB的正切值为 ．
20．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M，BC上的点，且DM＝CN，连接AN，点Q为AN中点，若AB＝10，DM＝4 ．
三、解答题（其中第21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分）
21．（7分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cs30°．
22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．
23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后
 （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
24．（8分）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E
（1）如图1，求证：AE＝CF；
（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．
25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
26．（10分）已知：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，连接AD，分别交CE、CB于F、G．
（1）如图1，求证：CF＝CG；
（2）如图2，若AF＝DG，连接OG；
（3）如图3，在（1）的条件下，EF：CF＝3：5，求⊙O的弦AD的长．
27．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）、B（5，0），交y轴于点C，连接BC．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图，点F为线段BC上一动点，连接AF，设点F的横坐标为t，△ABF的面积为S；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）如图3，在（2）的条件下，点F的纵坐标为，连接HC，交横轴于点X，连接KC并延长交抛物线于点M，当点X为线段HC中点，且时
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨九十五中九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分．共计30分）
1．（3分）﹣9的相反数是（ ）
A．﹣9B．﹣C．9D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣9的相反数是9，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．2a+2a＝2a2B．a2•a3＝a6
C．（2a2）3＝6a6D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；
【解答】解：2a+2a＝2a，A错误；
a2•a3＝a3，B错误；
（2a2）3＝8a6，C错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式是解题的关键．
3．（3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解．
【解答】解：根据中心对称的定义可得：A、C、D都不符合中心对称的定义．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称的定义，属于基础题，注意掌握基本概念．
4．（3分）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据简单组合体的三视图的意义画出相应的图形即可．
【解答】解：该组合体的三视图如图，
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2
【分析】由DE都是中点，可得DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，则△ADE∽△ABC，且相似比是1：2，则△ADE的面积和△ABC的面积比是1：4，则△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，结合已知条件，可得结论．
【解答】解：如图，
在△ABC中，点D、AC的中点，
∴DE∥BC，且＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积＝2：4，
∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：2，
∵△ADE的面积是3cm2，
∴四边形BDEC的面积是2cm2，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，结合背景图形，找到已知和所求面积的关系是解题关键．
6．（3分）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，点D在⊙O上，连接AD、CD，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25°B．20°C．30°D．35°
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝35°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，
∴∠ABO＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
7．（3分）为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600
B．2500（1+x%）2＝3600
C．2500x2＝3600
D．2500（1+x）2＝3600
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，然后用x表示2008年的投入，再根据“2008年投入3600万元”可得出方程．
【解答】解：依题意得2008年的投入为2500（1+x）2，
∴2500（8+x）2＝3600．
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，则CE的长是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】设CE＝x，则BE＝3﹣x，由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5，求出AF＝4，BF＝AB﹣AF＝1，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（3﹣x）2+12＝x2，即可求解．
【解答】解：设CE＝x，则BE＝3﹣x．
由折叠性质可知，EF＝CE＝x．
在Rt△DAF中，AD＝3．
∴AF＝6．
∴BF＝AB﹣AF＝1．
在Rt△BEF中，BE2+BF5＝EF2．
即（3﹣x）4+12＝x4．
解得x＝．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．
9．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上（ ）
A．（4，﹣1）B．（﹣，1）C．（﹣4，﹣1）D．（，2）
【分析】将点（﹣1，4）代入y＝，求出函数解析式即可解题；
【解答】解：将点（﹣1，4）代入y＝，
∴k＝﹣3，
∴y＝，
∴点（4，﹣6）在函数图象上，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
10．（3分）如图，已知DE∥BC，EF∥AB（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件先求出△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，再根据相似三角形的性质解答．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，△EFC∽△ABC，
∴△ADE∽△EFC，∴，，．故选：C．
【点评】已知一条直线平行于三角形的一边，与另两边（或延长线）相交形成的三角形与原三角形相似，相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数4890000用科学记数法表示为 4.89×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4890000＝4.89×106．
故答案为：4.89×106．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠ ．
【分析】函数中分母不为零是函数y＝有意义的条件，因此2x﹣3≠0即可；
【解答】解：函数y＝中分母2x﹣3≠6，
∴x≠；
故答案为x≠；
【点评】本题考查函数自变量的取值范围；熟练掌握函数中自变量的取值范围的求法是解题的关键．
13．（3分）把多项式3a2﹣27b2分解因式的结果是 3（a+3b）（a﹣3b） ．
【分析】首先提公因式3，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝3（a2﹣2b2）＝3（a+5b）（a﹣3b）．
故答案为：3（a+7b）（a﹣3b）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14．（3分）不等式组的解集为 3＜x＜4 ．
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x＞3，
解②得x＜8．
∴不等式组的解集是3＜x＜4．
故答案为：2＜x＜4．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
15．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2+5的最大值是 5 ．
【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，5），由a＝﹣1＜0可知：当x＝﹣1时，函数有最大值是5．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+5中，a＝﹣1＜0，
∴此函数的顶点坐标是（﹣6，5），
即当x＝﹣1时，函数有最大值7．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
16．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，AC＝3，BC＝2 ．
【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，可得∠A'CB＝90°，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，
∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°
∴∠A'CB＝90°
∴A'B＝＝
故答案为
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
17．（3分）一个扇形的面积是15πcm2，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 150 度．
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设扇形的圆心角是n°，
根据扇形的面积公式得：
解得n＝150．
故答案为：150．
【点评】此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用．
18．（3分）一个不透明的布袋中，装有4个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个黑球，从中摸球1次放回搅匀后再摸出1个球 ．
【分析】根据题意，列出表格，可得到一共有16种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种，再根据概率公式计算，即可求解．
【解答】解：根据题意，列出表格如下：
可得到一共有16种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种，
∴两次都摸到红球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查画树状图或列表求概率，掌握概率的意义，树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
19．（3分）在矩形ABCD中，BC＝3AB，点P在直线BC上，则∠APB的正切值为 或 ．
【分析】由题意知，当P在AB上时，P是AB的中点，即AB＝BP；当P在AB延长线上时，BP＝3AB，在直角三角形中由正切公式求出即可．
【解答】解：（1）如图1所示，
∵BC＝3AB，PC＝AB，
∴BP＝2PC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴tan∠APB＝＝；
（2）如图8所示，
∵BC＝3AB．PC＝AB，
∴BP＝4AB，
∴tan∠APB＝＝．
综上所述∠APB的正切值为或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查矩形性质，三角函数的定义，分类讨论思想，关键是分两种情况求出AB与BP的关系．
20．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M，BC上的点，且DM＝CN，连接AN，点Q为AN中点，若AB＝10，DM＝4 ．
【分析】由△ADM于△DCN全等，得出∠CDN＝∠DAM，从而得到∠DPM＝90°，由此∠APN＝90°，再由直角三角形斜边的中线的性质求出PQ．
【解答】解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
∵AD＝CD，DM＝CN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠CND，
在△DPM中，∠PDM+∠PMD＝90°，
∴∠DPM＝90°，
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝，
在△ANB中，AN＝，
∴PQ＝，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．
三、解答题（其中第21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分）
21．（7分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cs30°．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得x的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝4tan45°+2cs30°＝7×1+2×＝4+时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．
【分析】（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
【解答】解；（1）作AC的垂直平分线，垂直平分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆．
【点评】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和直角三角形的尺规作图方法是解题的关键．
23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后
 （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
【分析】（1）由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；
（2）确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；
（3）求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以1500即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：18÷30%＝60（名），
答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；
（2）60﹣（18+9+12+6）＝15（名），
则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名，
补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：1500×＝225（名），
答：估计该校最想读科技类书籍的学生有225名．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
24．（8分）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E
（1）如图1，求证：AE＝CF；
（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．
【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠CBD＝∠ADB＝30°，由直角三角形的性质得出BE＝AB，AE＝AD，得出△ABE的面积＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，由全等三角形的性质得出△CDF的面积＝矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性质得出EG＝BE＝×AB＝AB，得出△BCE的面积＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝矩形ABCD面积的．理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝ABAD，
∴△ABE的面积＝BE×AE＝×AD＝矩形ABCD的面积，
∵△ABE≌△CDF，
∴△CDF的面积＝矩形ABCD的面积；
作EG⊥BC于G，如图所示：
∵∠CBD＝30°，
∴EG＝BE＝×AB，
∴△BCE的面积＝BC×EG＝AB＝矩形ABCD的面积，
同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，求解即可；
（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，即可求解；
【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，
根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，
∴z≤25，
∴最多可以购买25副围棋；
【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．
26．（10分）已知：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，连接AD，分别交CE、CB于F、G．
（1）如图1，求证：CF＝CG；
（2）如图2，若AF＝DG，连接OG；
（3）如图3，在（1）的条件下，EF：CF＝3：5，求⊙O的弦AD的长．
【分析】（1）连接AC，由可得∠CAD＝∠BAD，结合∠BAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠AGC＝90°，可得∠AFE＝∠AGC，再根据对顶角相等可得∠AGC＝∠CFG，即可证明CF＝CG；
（2）连接AC、CD，首先证明△AFC≌△DGC，由全等三角形的性质可得AC＝CD，即有，易得∠GAB＝∠GBA，再根据等腰三角形三线合一的性质可得OG平分∠AGB；
（3）作GH⊥AB于H，连接FH、HC、AC、BD，首先证明四边形CFHG为菱形；设EF＝3a，CF＝5a，则FH＝5a，EH＝4a，由CE∥GH，可得，即可解得，，，再计算出BC、CH的值，由，可求得BA的值；证明△ADB∽△CEH，可得，即可解得AD的值．
【解答】（1）证明：如图1，连接AC，
∵D为弧BC的中点，即，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵CE⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAD+∠AFE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACG＝90°，
∴∠CAD+∠AGC＝90°，
∴∠AFE＝∠AGC，
又∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠AGC＝∠CFG，
∴CF＝CG；
（2）证明：如图2，连接AC，
∵CF＝CG，
∴∠CFG＝∠CGF，
∴∠CFA＝∠CGD，
∵AF＝DG，
∴△AFC≌△DGC（SAS），
∴AC＝CD，
∴，
∴∠GAB＝∠GBA，
∴GA＝GB，
∵OA＝OB，
∴OG平分∠AGB；
（3）解：如图3，作GH⊥AB于H、HC、BD，
∵，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵GC⊥AC，GH⊥AB，
∴CG＝GH＝CF，
∵CE⊥AB，
∴CF∥GH，
∴四边形CFHG为平行四边形，
又∵CG＝CF，
∴四边形CFHG为菱形，
∴AD⊥CH，
∵EF：CF＝3：5，
设EF＝8a，CF＝5a，
∴，
∵CE∥GH，
∴，即，
∴，，
∴，
解得，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵∠ECH+∠EHC＝90°，∠ECH+∠BAD＝90°，
∴∠EHC＝∠BAD，
又∵∠CEH＝∠ADB＝90°，
∴△ADB∽△CEH，
∴，即，
解得．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是能够灵活运用所学知识，正确添加辅助线构造全等三角形或相似三角形．
27．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）、B（5，0），交y轴于点C，连接BC．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图，点F为线段BC上一动点，连接AF，设点F的横坐标为t，△ABF的面积为S；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）如图3，在（2）的条件下，点F的纵坐标为，连接HC，交横轴于点X，连接KC并延长交抛物线于点M，当点X为线段HC中点，且时
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点F作FD⊥AB于点D，，先求得直线BC的解析式，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可；
（3）过点H作HR⊥x轴于点R，过点F作FS⊥AB于点S，，把F点的纵坐标代入直线BC的解析式中得到AS＝BS＝3，分别证明△FAS≌△FBS，△XHR≌△XCO，△BCO≌△AHR，证得△XOC为等腰直角三角形，进而得到∠OXC＝∠KXH＝45°，，过K作KQ⊥CH于点Q，则KQ＝XQ，设KQ＝XQ＝2a，则QC＝5a，，进而求得K点坐标，再利用待定系数法求得直线CK的解析式，然后与抛物线的解析式联立方程组并求解即可获得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠6）交x轴于点A（﹣1，0），2）两点，
把A（﹣1，0），8）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点F作FD⊥AB于点D，如图1，
对于抛物线，
当x＝0时，y＝3，
∴C（2，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把B（4，0），3）代入，
可得，
解得，
∴直线BC的解析式为，
∵点F的横坐标为t，
∴，
∴，
∵A（﹣6，0），0），
∴AB＝7，
∴；
（3）过点H作HR⊥x轴于点R，过点F作FS⊥AB于点S，
∴∠ASF＝∠BSF＝90°，
把F点的纵坐标代入直线BC的解析式，
可得x＝2，则AS＝BS＝4，
又∵FS＝FS，
∴△FAS≌△FBS（SAS），
∴∠FAS＝∠FBS＝∠RAH，
∵X是HC的中点，
∴HX＝CX，
∵∠HRX＝∠COX＝90°，∠HXR＝∠OXC，
∴△XHR≌△XCO（SAS），
∴HR＝CO，
又∵∠OBC＝∠RAH，
∴△BCO≌△AHR（SAS），
∴BO＝AR＝5，则RO＝6，
∵C（4，3），
∴OC＝OX＝3，
∴△XOC为等腰直角三角形，
∴∠OXC＝∠KXH＝45°，，
过K作KQ⊥CH于点Q，则∠QKX＝∠KXQ＝45°，
∴KQ＝XQ，
∵
可设KQ＝XQ＝2a，则QC＝4a，，
∴，则，
∴KO＝KX+OX＝2+3＝7，
∴K（﹣6，0），
设直线CK的解析式为y＝mx+n，
把C（0，2），0）代入，
可得，
解得，
∴直线KC的解析式为，
直线KC的解析式与抛物线的解析式联立方程组为，
解得，x2＝0（不合题意，舍去），
∴点M的横坐标为．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握相关知识的联系与运用，并注意数形结合的思想的运用．
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