四川省宜宾市叙州区叙州区龙文学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份四川省宜宾市叙州区叙州区龙文学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解题题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共12题48分）
1. 使二次根式有意义的x的取值范围是( )
A. x＞0B. x＞2C. x≥2D. x≠2
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
详解：由题意得，x−2⩾0，
解得，x⩾2，
故选C.
点睛：此题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方部分大于或等于零，二次根式无意义的条件是被开方部分小于0.
2. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
3. 已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意；
B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意；更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 C、由，得，故本选项正确，符合题意；
D、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．
4. 用配方法解一元二次方程 x210x＋11＝0，此方程可化为（ ）
A. （x－5）2＝14B. （x＋5）2＝14C. （x－5）2 ＝36D. （x＋5）2 ＝36
【答案】A
【解析】
【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方,写成完全平方式即可．
【详解】x210x＋11＝0，
x2-10x=-11，
x2-10x+25=-11+25，
即（x-4）2=14，
故选：A．
【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
5. 某人沿着坡度为1：2的山坡前进了米，则此人所在的位置升高了（ ）
A. 100米B. 米C. 50米D.
【答案】A
【解析】
【分析】坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度．根据坡度的定义，可得，设米，由勾股定理可知米，求解即可．
【详解】解：如下图所示，
由题意可知，，，
∴，
设米，则米，
∴，
∴，解得米，
即此人所在的位置升高了100米．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坡度以及勾股定理的知识，解题关键是根据题意构建直角三角形．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据二次根式的加减，乘法，除法等知识逐项进行计算，即可求解．
【详解】解：A. 与不能进行相加，故原选项计算错误，不合题意；
B ，故原选项计算错误，不合题意；
C. ，故原选项计算错误，不合题意；
D. ，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟知二次根式的加减乘除运算法则并根据法则正确计算是解题关键．
7. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆高，测得．则建筑物的高是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵高，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
8. 电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据该队第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出该地第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合该地三天后票房收入累计达亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：某地第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，
该地第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，
三天后票房收入累计达亿元，
根据题意可列方程．
故选：．
9. 如图，在中，，，垂足为．如果，，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定与性质可以求得的长，然后即可求出的值．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形，明确题意求出的值是解题的关键．
10. 已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知，代入求解即可．
【详解】解：没有实数根，
，
即，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知对于一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键．
11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标是，顶点B的坐标是，对角线AC，BD的交点为M．将正方形ABCD绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点M的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点D作轴，垂足为N，证明．求出点D的坐标为．进一步求出点M的坐标为．分析可知点M旋转一周需要旋转（次），利用，，可知第2022次旋转结束时和第6次旋转结束时，点M的坐标相同，且此时点M的位置就是绕点O逆时针旋转270°（或顺时针旋转90°）的位置．故可知点M的坐标为．
【详解】解：∵，，
∴，．
过点D作轴，垂足为N，如解图所示，
则．
∵四边形ABCD为正方形，
∴，．
∴．
∴．
∴，．
∴点D的坐标为．
∵点M为BD的中点，
∴点M的坐标为．
由题意，可知正方形ABCD绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，点M也绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，则点M旋转一周需要旋转（次）．
又∵，，
∴第2022次旋转结束时和第6次旋转结束时，点M的坐标相同，且此时点M的位置就是绕点O逆时针旋转270°（或顺时针旋转90°）的位置．
∴第2022次旋转结束时，点M的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与旋转规律，正方形性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是理解第2022次旋转结束时和第6次旋转结束时，点M的坐标相同，且此时点M的位置就是绕点O逆时针旋转270°（或顺时针旋转90°）的位置．
12. 如图，边长为a的正方形中，对角线交于点O，E在上，作交于点F，连结交于H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（ ）
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】延长交于点I ，证明推出，得到，推出，由此求出，即可判断①正确；根据，得到，判断②正确；证明，得到，推出，即可判断③正确；利用，得到，求出，再根据三角函数正切值公式计算判断④正确．
【详解】延长交于点I ，
∵四边形是边长为a的正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共6题24分）
13. 2cs30°＝_____．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据cs30°=，继而代入可得出答案．
解：原式=．
故答案为．
点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．
14. 在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子中摸出1个球，是白球或者是红球这属于______事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）
【答案】必然
【解析】
【分析】由不可能事件与随机事件的定义，即可求得答案．
【详解】解：从箱子中摸出1个球，是白球或者是红球这属于必然事件，
故答案为：必然．
【点睛】本题考查了随机事件，正确的理解题意是解题的关键．
15. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，已知，，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先求得，根据平行线分线段成比例得出，代入数据即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
16. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程根于系数的关系，求出，，再根据，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为．
17. 如图，已知，且三边满足，则______________ ．
【答案】
【解析】
【分析】作于D，先证明，得，即，而，即可证得，再证明，得，所以，推出，求出，根据公式计算即可．
【详解】解：作于D，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形判定和性质，一元二次方程的解法，锐角三角函数等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18. 如图，正方形的边长为6，对角线交于点O，点E在边上，连接，在上取点F，连接，若，，则的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】在中，根据，可得出，又根据正方形的边长为6，可得出，即可求得，，再根据，可得出，从而证得，进而得出，代入数值进行即可求解．
【详解】解：设与 相交于点H，如图所示：
四边形为正方形，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
根据勾股定理可得：
，
，
又，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，对应线段成比例，勾股定理，以及正方形的性质，解题的关键是能证明三角形的相似从而得出对应线段成比例进而解决问题．
三、解题题（共7题78分）
19. （1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】对于（1），直接开方即可求出方程的解；
对于（2），根据，，，，再根据实数的运算法则计算即可．
【详解】解：（1）∵
∴或
解得，；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知、．
（1）在轴的左侧，以点为位似中心，画出，使它与的相似比为．
（2）分别写出点的坐标．
【答案】（1）作图见解析；
（2）点的坐标为，的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了作位似图形，掌握位似图形的性质，正确找到对应点的位置是解题的关键．
()直接利用位似图形的性质找到对应点位置，即可作出所求的图形；
()直接利用()中图形得出对应点坐标即可
【小问1详解】
解：∵、，在轴的左侧，以点为位似中心，相似比为，
∴点的坐标为，的坐标为，
连接点，得到，则即为所求；
【小问2详解】
解：由（）可得，点的坐标为，的坐标为．
21. 如图是两个圆形转盘，第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域，第二个转盘被平均分成“1”“2”“3”“4”四个区域．
（1）旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是___________；
（2）同时旋转两个转盘，用画树状图或列表的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
【答案】（1）；
（2）两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
【解析】
【分析】（1）直接根据概率概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两个转盘的指针都不落在“1”区域的情况数，再根据概率公式，即可得出答案．
【小问1详解】
解：旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是．
故答案为：；
小问2详解】
解：根据题意画图如下：
共有8种等可能的情况数，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3种，
则两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且斜坡，．
（1）求斜坡的坡度；
（2）求坝底的长．（结果保留根号）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据特殊角三角函数可得的度数，然后根据坡度定义即可得结论；
（）过作于点，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可；
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是作出辅助线，灵活运用三角函数解答．
【小问1详解】
解：∵是梯形的高，即，
在 中，，
∴，
∴，
∴斜坡的坡度为；
【小问2详解】
解：如图，过作于点，
则，，
在中，∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴坝底的长为．
23. 如图，已知，是的中线，且，．
（1）求证：；
（2）若，，试求和的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
【解析】
【分析】（）先利用等腰三角形的性质，由得到，再根据等角的补角相等得到，再由，即可求证；
（）由，得到，根据相似三角形对应边成比例得到，代入数据即可求解；
本题考查了相似三角形判定与性质，补角性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，，
∴，．
24. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由．
【答案】（1），
（2）20元 （3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设每件衣服降价x元，根据题意列出代数式即可；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可.
【小问1详解】
设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，；
【小问2详解】
设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
【小问3详解】
商家不能达到平均每天盈利1500元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1500元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
25. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．

（1）如果，如图①，且点D在线段上运动，试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果，如图②，且点D在线段上运动，（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长，（用含x的式子表示）
【答案】（1）垂直，理由见解析
（2）成立，理由见解析
（3）点在线段上运动时，；点在线段延长线上运动时，
【解析】
【分析】（1）利用证，从而得到，继而得到，即可得证；
（2）作交于点，证，继而同理可证；
（3）分类讨论点在线段上运动和点在线段延长线上运动，证即可求解．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，
∴,
∵四边形是正方形
∴
∴
∴
∵，，，
∴
∴
∴
∴
【小问2详解】
解；成立，理由如下：
作交于点

∵
∴
∵
∴
∵，，，
∴
∴
∴，
∴
【小问3详解】
解：过点作交的延长线于点
点在线段上运动时：

∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
由（2）可得∵
∴
∴
解得：
点在线段延长线上运动时：

∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
解得：，
综上所述：点在线段上运动时，；点在线段延长线上运动时，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．学会举一反三是解题关键．