精品解析：必修第一册期末测试题-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）（解析版）

这是一份精品解析：必修第一册期末测试题-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）（解析版），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 角的终边落在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知扇形的周长是6，圆心角为，则扇形的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 三个数的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列命题中的真命题是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
6. 已知函数，则的大致图像为（ ）
A. B.
C D.
7. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A. 10分钟B. 14分钟
C. 15分钟D. 20分钟
8. 已知函数以下关于的结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 的值域为
C. 在上单调递增
D. 的解集为
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 下列函数是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列选项中的图象变换，能得到函数的图象的是（ ）
A. 先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度
B. 先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度
C. 先将的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的
D. 先将的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的
12. 若x，．且，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13. 命题“，”的否定是___________.
14. 下列一组数据的分位数是___________.
15. 写出一个同时具有下列性质的函数___________.
①是奇函数；
②在上为单调递减函数；
③.
16. 已知函数，则的定义域为_____，值域为______.
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知集合.
（1）若，求a的值；
（2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18. 已知函数.
（1）求最小正周期以及对称轴方程；
（2）设函数，求在上值域.
19. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查. 将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.

（1）估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内总人数是多少；
（2）国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
20. 已知函数.
（1）若函数在是增函数，求的取值范围；
（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围.
21. 为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前一天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且.
（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；
（2）若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.
22. 已知函数.
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若关于x的方程在R上有四个不同的根，求实数t的取值范围.
必修第一册期末测试题
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 角的终边落在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由于，所以由终边相同的定义可得结论
【详解】因为，
所以角的终边与角的终边相同，
所以角的终边落在第一象限角．
故选：A．
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先判断“”成立时，“”是否成立，反之，再看“”成立，能否推出“”，即可得答案.
【详解】“”成立时，，故“”成立，
即“”是“”的充分条件；
“”成立时，或，此时推不出“”成立，
故“”不是“”的必要条件，
故选：A.
3. 已知扇形的周长是6，圆心角为，则扇形的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l，先由周长求出半径和弧长，即可求出扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l，
因为圆心角为，所以.
因为扇形的周长是6，所以，解得：.
所以扇形的面积是.
故选：B
4. 三个数的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数对数函数的性质可以判定,从而做出判定.
【详解】因为指数函数是单调增函数，是单调减函数，对数函数是单调减函数，所以，
所以，
故选：A
5. 下列命题中的真命题是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变；
选项B，不等式成立，默认，两边同乘，不等号不变；
选项C，从不等式到不等式，是不等式两边同乘，但不一定是正数；
选项D，对于结论，实际上是，但，无法保证同向相加.
【详解】选项A：若，则不成立，即A错误；
选项B：由不等式性质可知：若，则有，即B正确；
选项C：当时，由，可得，即C错误；
选项D：当时，有成立，
但此时，，由可知，不成立，即D错误.
故选：B.
6. 已知函数，则大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算的值即可判断得解.
【详解】解：由题得，所以排除选项A,D.
,所以排除选项C.
故选：B
7. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A. 10分钟B. 14分钟
C. 15分钟D. 20分钟
【答案】B
【解析】
【分析】由时，，代入求得，再由求解.
【详解】解：由题意得：当时，，
即，解得，
所以，
由题意得，
即，两边取对数得，
所以，
所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟，
故选：B
8. 已知函数以下关于的结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 的值域为
C. 在上单调递增
D. 的解集为
【答案】B
【解析】
【分析】A选项逐段代入求自变量的值可判断;B选项分别求各段函数的值域再求并集可判断;C选项取特值比较大小可判断不单调递增;D选项分别求各段范围下的不等式的解集求并集即可判断.
【详解】解:A选项:当时, 若,则;当时, 若,则,故A错误;
B选项: 当时, ;当时, ,故的值城为,B正确;
C选项: 当时, ,当时, ,在上不单调递增,故C错误;
D选项: 当时, 若,则;当时, 若,则,故的解集为,故D错误;
故选:B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 下列函数是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由奇函数的定义结合正弦函数、指数函数以及对数函数的概念逐一验证即可.
【详解】对A，函数的定义域为R，关于对称，且，故函数为奇函数，符合题意；
对B，函数的定义域为R，关于对称，且，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对C， 函数的定义域为R，关于对称，且，故函数为奇函数，符合题意；
对D，函数定义域为，不关于对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；
故选：AC.
10. 下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可.
【详解】由题意知,当时,的图象是凹形曲线.
对于A,函数的图象是一条直线,则当时,有,不满足题意；
对于B,函数的图象是凹形曲线,则当时,有,满足题意；
对于C,函数的图象是凸形曲线,则当时,有,不满足题意；
对于D,在第一象限内,函数的图象是一条凹形曲线,则当时,有,满足题意.
故选:BD.
11. 下列选项中图象变换，能得到函数的图象的是（ ）
A. 先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度
B. 先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度
C. 先将的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的
D. 先将的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，将的图象上各点的横坐标缩小为原来的得，再向右平移个单位长度得，A选项正确.
B选项，将的图象上各点的横坐标缩小为原来的得，再向右平移个单位长度得，B选项正确.
C选项，将的图象向右平移个单位长度得，再将各点的横坐标缩小为原来的得，C选项正确.
D选项，将的图象向左平移个单位长度得，再将各点的横坐标缩小为原来的得，D选项错误.
故选：ABC
12. 若x，．且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，若，，，当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，，
，，B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；
对于D，，则有，变形可得，
故，当且仅当时，取等号，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13. 命题“，”的否定是___________.
【答案】，
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题得解.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
命题“，”是全称量词命题，所以其否定是“，”.
故答案为：，.
14. 下列一组数据的分位数是___________.
【答案】26
【解析】
【分析】根据百分位数的定义即可得到结果.
【详解】解：，该组数据的第分位数为从小到大排序后第2与3个数据的平均数，
第2与3个数据分别是25、27，
故该组数据的第分位数为，
故答案为：26．
15. 写出一个同时具有下列性质的函数___________.
①是奇函数；
②在上为单调递减函数；
③.
【答案】（答案不唯一，符合条件即可）
【解析】
分析】根据三个性质结合图象可写出一个符合条件的函数解析式．
【详解】是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，
又在上为单调递减函数，同时，
故可选，且为奇数，
故答案为：
16. 已知函数，则的定义域为_____，值域为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据对数函数有意义，结合指数函数的性质可求得函数定义域；求出的范围，结合对数函数单调性，即可求得值域.
【详解】令，即，因为，所以，
即函数的定义域为；
因为，，所以，所以，
则，即，
因此，函数的值域为.
故答案为：；.
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 已知集合.
（1）若，求a的值；
（2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合B，再由题意可得从而可求出a的值，
（2）由题意可得，从而有再结合可求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
由题设知，
∵，∴
可得.
【小问2详解】
∵，∴，解得.
∵“”是“”的必要不充分条件，∴.
∴
解得.
因此，实数a的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期以及对称轴方程；
（2）设函数，求在上的值域.
【答案】（1）最小正周期为，对称轴为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的最小正周期、对称轴的求法求得正确答案.
（2）先求得，然后根据三角函数值域的求法求得正确答案.
【小问1详解】
因为，所以的最小正周期.
令，得对称轴方程为.
【小问2详解】
由题意可知，
因为，所以，
故，所以，
即在上的值域为.
19. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查. 将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.

（1）估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
（2）国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
【答案】（1）720 （2）该校需要增加初中学生课外阅读时间，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用分层抽样的抽样比可知抽取的初高中生的人数，根据频率分布直方图可得比例，即可求解人数，
（2）由频率分布直方图计算平均数即可与30比较大小，即可作答.
【小问1详解】
由分层抽样知，抽取的初中生有人，高中生有人．
初中生中，课外阅读时间在[30，40）小时内的频率为:
，学生人数约有人．
高中生中，课外阅读时间在[30，40）小时内的频率为:
，学生人数约有人，
全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内学生总人数为人．
【小问2详解】
样本中的所有初中生平均每天阅读时间为:
（小时），而（小时），
，
该校需要增加初中学生课外阅读时间．
20. 已知函数.
（1）若函数在是增函数，求的取值范围；
（2）若对于任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数可知对称轴为，由单调性可知，即可求解；
（2）整理问题为在时恒成立，设，则可转化问题为在时恒成立，讨论对称轴与的位置关系，进而求解.
【小问1详解】
因为函数，所以对称轴为，
因为在是增函数，所以，解得
【小问2详解】
因为对于任意的，恒成立，
即在时恒成立，所以在时恒成立，
设，则对称轴为，即在时恒成立，
当，即时，，解得；
当，即时，，解得（舍去），
故.
21. 为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前一天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且.
（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；
（2）若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.
【答案】（1）函数模型①，函数模型②
（2）函数模型②更合适，从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500
【解析】
【分析】（1）可通过已知条件给到的数据，分别带入函数模型①和函数模型②，列出方程组求解出参数即可完成求解；
（2）将第4天和第5天得到的数据与第（1）问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比，即可做出判断并计算.
【小问1详解】
对于函数模型①：把及相应y值代入得
解得，所以.
对于函数模型②：把及相应y值代入得
解得，所以.
小问2详解】
对于模型①，当时，，当时，，故模型①不符合观测数据；
对于模型②，当时，，当时，，符合观测数据，
所以函数模型②更合适.
要使，则，
即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.
22. 已知函数.
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若关于x的方程在R上有四个不同的根，求实数t的取值范围.
【答案】（1）是偶函数
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，判断的关系即可得出结论；
（2）任取，利用作差法整理即可得出结论；
（3）由整理得，易得的最小值为，令，设，则原方程有4个不同的根等价于在上有2个不同的零点，从而可得出答案.
【小问1详解】
解：的定义域为R，
∵，∴，
∴是偶函数；
【小问2详解】
解：在上单调递增，
证明如下：任取，
则，
∵，∴，
另一方面，∴，
∴，即，
∴在上单调递增；
【小问3详解】
由整理得，
由（1）（2）可知在上单调递减，在上单调递增，最小值为，
令，则当时，每个a的值对应两个不同的x值，
设，
原方程有4个不同的根等价于在上有2个不同的零点，
∴解得，即t的取值范围是.