2022-2023学年广东省湛江市麻章区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省湛江市麻章区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是( )
A. 1，1，3B. 1，4，3C. 2，6，3D. 6，9，6
2.下面四个图形标志中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000000037克，0.000000037用科学记数法表示为( )
A. 3.7×10−6B. 3.7×10−7C. 3.7×10−8D. 3.7×10−9
4.下列运算错误的是( )
A. a⋅a3=a4B. a8÷a2=a6C. (−a2)3=a6D. (−3a)2=9a2
5.已知：BD=CB，AB平分∠DBC，则图中有对全等三角形．( )
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
6.若点A的坐标为(−3,4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为( )
A. (3,4)B. (−3,−4)C. (3,−4)D. (4,3)
7.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )
A. x(a−b)=ax−bxB. x2−3x+1=x(x−3)+1
C. x2−4=(x+2)(x−2)D. a2−2ab+4b2=(a−2b)2
8.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2，则PQ的长不可能是( )
A. 4
B. 3.5
C. 2
D. 1.5
9.如果把分式x−yx+y中的x和y都扩大了3倍，那么分式的值( )
A. 扩大3倍B. 不变C. 缩小3倍D. 缩小6倍
10.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有( )
A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：a2−16b2=______．
12.已知x=2是分式方程ax−6=2x的解，则a的值为______ ．
13.如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为16cm，BE长为12cm，则EC的长为______cm．
14.一个零件的形状如图所示，按规定∠A=∠B=∠C=∠CDE=∠FGA=90°，∠E=130°，质检工人测得∠F=130°，就断定这个零件______ (填“合格”或“不合格”)．
15.如图，AD平分∠CAB，若S△ACD：S△ABD=4：5，则AB：AC= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解方程：1x−2+3=1−x2−x．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(−1)3+(π+2022)0+(12)−2．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−x+1x2−2x+1)÷x−3x−1，其中x=12．
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−3,2)、B(−4,−3)、C(−1,−1)．
(1)用直尺画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
(2)求出△A1B1C1的面积．
20.(本小题9分)
冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，其敦厚、可爱的形象深入人心，制作的奥运纪念品很受大家喜爱.已知冰墩墩手办比冰墩墩钥匙扣的单价多20元，用800元购买手办的数量是用300元购买钥匙扣数量的2倍.冰墩墩手办和冰墩墩钥匙扣的单价分别是多少元？
21.(本小题9分)
如图，已知AB//DE，∠ACB=∠D，AC=DE．
(1)求证：△ABC≌△EAD．
(2)若∠BCE=60°，求∠BAD的度数．
22.(本小题12分)
数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面(如材料图，长为a，宽为b的小长方形)拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
(1)求图1中空白部分的面积S1(用含ab的代数式表示)．
(2)图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为19、68，求ab值．
(3)图3中空白面积为S3，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含a、b的整式乘积的形式：
①S3+7ab=______；
②S3−a2+5ab=______．
23.(本小题12分)
认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+12∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB
∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A
∴∠1+∠2=12(180 °−∠A)=90°−12∠A
∴∠BOC=180°−(∠1+∠2)=180°−(90°−12∠A)
=90°+12∠A
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(只写结论，不需证明)
结论：______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、1+1<3，不能组成三角形，不符合题意；
B、1+3=4，不能组成三角形，不符合题意；
C、2+3<6，不能组成三角形，不符合题意；
D、6+6>9，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
三角形的三条边必须满足：任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边，据此逐项解答即可．
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和>最大的数就可以．
2.【答案】C
【解析】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】解：0.000000037=3.7×10−8．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】C
【解析】解：A.a⋅a3=a4，原题正确，故此选项不合题意；
B.a8÷a2=a6，原题正确，故此选项不合题意；
C.(−a2)3=−a6，原题错误，故此选项符合题意；
D.(−3a)2=9a2，原题正确，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB平分∠DBC，
∴∠DBA=∠CBA，
∵BD=BC，BA=BA，
∴△BDA≌△BCA(SAS)，
∴∠BAD=∠BAC，AD=AC，
∵AE=AE，
∴△AED≌△AEC(SAS)，
∴DE=CE，
∵BD=BC，BE=BE，
∴△BDE≌△BCE(SSS)，
∴图中一共有3对全等三角形，
故选：B．
先利用SAS证明△BDA≌△BCA，再依次证明△ADE≌△ACE，△BDE≌△BCE从而可得结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，灵活的选用全等的判定方法是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵点A的坐标为(−3,4)，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为(−3,−4)．
故选：B．
直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：A.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左到右的变形等号不成立，因式分解错误；
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式方程的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
8.【答案】D
【解析】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴点P到OM的距离等于PA，即点P到OM的距离为2，
∴PQ≥2．
故选：D．
根据角平分线的性质得到点P到OM的距离等于PA，根据垂线段最短得到PQ≥2，然后对各选项进行判断．
本题考查了角平分线的性质，正确记忆角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．
直接利用分式的基本性质化简求出答案．
【解答】
解：∵把分式x−yx+y中的x和y都扩大了3倍，
∴3x−3y3x+3y=3(x−y)3(x+y)=x−yx+y，
∴把分式x−yx+y中的x和y都扩大3倍，分式的值不变．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，
以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，
边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，
故选：C．
根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．
此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．
11.【答案】(a+4b)(a−4b)
【解析】解：原式=(a+4b)(a−4b)．
故答案为：(a+4b)(a−4b)．
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12.【答案】−4
【解析】解：∵x=2是分式方程的解，
∴a2−6=1，解得a=−4．
故答案为：−4．
直接把x=2代入分式方程，求出a的值即可．
本题考查的是分式方程的解，熟知使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，
∴AE=BE，
∵BE长为12cm，
∴AE=12cm，
∵AC长为16cm，
∴EC=AC−AE=4cm，
故答案为：4．
根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，再根据EC=AC−AE即可确定EC的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14.【答案】不合格
【解析】解：∵∠A=∠B=∠C=90°，∠A+∠B+∠C+∠H=360°，
∴∠H=90°，
∵∠CDE=∠FGA=90°，
∴∠EDH=∠FGH=90°，
∵∠E=130°，∠F=130°，
∴∠FGH+∠H+∠EDH+∠F+∠E=530°，
∵五边形的内角和为：540°，
∴这个零件不合格，
故答案为：不合格．
先计算出五边形GFEDH的内角和是否等于540°，进行判断即可．
本题考查的是三角形那个外角的性质及多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式(n−2)×180°是解题的关键．
15.【答案】5：4
【解析】解：如图，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=DF，
∵S△ACD：S△ABD=12×DE×AC：12×DF×AB
=AC：AB
=4：5，
∴AB：AC=5：4．
故答案为：5：4．
过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，首先利用角平分线的性质可以得到DE=DF，然后利用三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查了角平分线的性质，同时也利用了三角形的面积公式，比较简单．
16.【答案】解：两边乘x−2得到，1+3(x−2)=x−1，
去括号得：1+3x−6=x−1，
解得：x=2，
∵x=2时，x−2=0，
∴x=2是原分式方程的增根，
∴原方程无解．
【解析】本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
去分母化为整式方程即可解决问题．
17.【答案】解：(−1)3+(π+2022)0+(12)−2
=−1+1+4
=4．
【解析】根据乘方的意义、零指数幂、负指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方的意义、零指数幂、负指数幂的运算法则．
18.【答案】解：原式=x2−2x+1−x−1x2−2x+1⋅x−1x−3
=x(x−3)(x−1)2⋅x−1x−3
=xx−1，
当x=12时，原式=1212−1=−1．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；

由图象得：A1(3,2)，B1(4,−3)，C1(1,−1)；
(2)△A1B1C1的面积=5×3−12×1×5−12×2×3−12×3×2=15−52−3−3=132．
【解析】(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征用直尺找出它们的对称点，然后描点即可，结合图象利用关于y轴对称的点的特性写出A1、B1、C1的坐标；
(2)利用面积割补法解答即可．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
20.【答案】解：设冰墩墩手办的单价为x元，则冰墩墩钥匙扣的单价为(x−20)元，
由题意得800x=300x−20×2，
解得x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
则x−20=60，
答：冰墩墩手办的单价为80元，冰墩墩钥匙扣的单价为60元．
【解析】设冰墩墩手办的单价为x元，则冰墩墩钥匙扣的单价为(x−20)元，根据题意列分式方程即可．
本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．
21.【答案】(1)证明：∵AB//DE，
∴∠E=∠BAC，
在△ABC和△EAD中，
∠BAC=∠EAC=DE∠ACB=∠D，
∴△ABC≌△EAD(ASA)；
(2)解：∵△ABC≌△EAD，
∴∠B=∠DAE，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAE，
∴∠BAD=∠BAC+∠B=∠BCE=60°．
【解析】(1)由“ASA”可证△ABC≌△EAD；
(2)由全等三角形的性质可得∠B=∠DAE，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】(3a+b)(a+2b) (2a+b)(a+2b)
【解析】解：(1)S1=(a+b)2−3ab
=a2+b2−ab；
(2)S1=(a+b)2−3ab=a2+b2−ab=19①，
S2=(2a+b)(a+2b)−5ab=2a2+2b2=68②，
∴②−①×2得：ab=15；
(3)由图形得：S3=(3a+b)(a+2b)−7ab，
∴①S3+7ab=(3a+b)(a+2b)，
故答案为：(3a+b)(a+2b)；
②S3−a2+5ab
=(3a+b)(a+2b)−7ab−a2+5ab
=3a2+7ab+2b2−7ab−a2+5ab
=2a2+5ab+2b2
=(2a+b)(a+2b)；
故答案为：(2a+b)(a+2b)．
(1)S1等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积；
(2)先用a，b表示S1、S2，再整体求解；
(3)①先用a，b表示S3，再分解因式；
②先用a，b表示S3，再分解因式．
本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合思想是解题的关键．
23.【答案】∠BOC=90°−12∠A
【解析】解：(1)探究2结论：∠BOC=12∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2−∠1=12∠A+∠1−∠1=12∠A；
(2)探究3：∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，
∠BOC=180°−∠0BC−∠OCB，
=180°−12(∠A+∠ACB)−12(∠A+∠ABC)，
=180°−12∠A−12(∠A+∠ABC+∠ACB)，
结论∠BOC=90°−12∠A．
(1)根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；
(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．