江苏省南京市东山外国语校2021-2022学年中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．函数y=中自变量x的取值范围是（     ）

A．x≥-1且x≠1 B．x≥-1 C．x≠1 D．-1≤x＜1

2．2012﹣2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是

A．科比罚球投篮2次，一定全部命中

B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中

C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大

D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小

3．如图，AB∥CD，那么（　　）

A．∠BAD与∠B互补 B．∠1=∠2 C．∠BAD与∠D互补 D．∠BCD与∠D互补

4．如图是由若干个小正方体块搭成的几何体的俯视图，小正方块中的数字表示在该位置的小正方体块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

5．﹣2018的绝对值是（  ）

A．±2018 B．﹣2018 C．﹣ D．2018

6．方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）．

A．k≥1 B．k≤1 C．k>1 D．k<1

7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列四个结论：

①4a+c＜0；②m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；③关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0没有实数根；④ak4+bk2＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为常数）．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

8．如图，已知反比函数的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为，AD=2，则△ACO的面积为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

9．下列方程中，没有实数根的是（　　）

A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0

10．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（　　）

A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%

11．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（    ）

A． B． C． D．

12．在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为(    )

A． B．或

C． D．或

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．某市居民用电价格如表所示：

小芳家二月份用电200千瓦时，交电费105元，则a=______．

14．如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y=ax+b和直线y=bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”：______．

15．计算(－2)×3+(－3)＝_______________.

16．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．

17．因式分解：________．

18．如图，在中，AB为直径，点C在上，的平分线交于D，则______

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)和反比例函数y2＝(m≠0)的图象交于点A(－1，6)，B(a，－2)．求一次函数与反比例函数的解析式;根据图象直接写出y1>y2 时，x的取值范围．

20．（6分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

此次共调查了　   　名学生；将条形统计图1补充完整；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　   　度；若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．

21．（6分）地球环境问题已经成为我们日益关注的问题.学校为了普及生态环保知识，提高学生生态环境保护意识，举办了“我参与，我环保”的知识竞赛.以下是从初一、初二两个年级随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：

初一：76  88  93  65  78  94  89  68  95  50

          89  88  89  89  77  94  87  88  92  91

初二：74  97  96  89  98  74  69  76  72  78

          99  72  97  76  99  74  99  73  98  74

（1）根据上面的数据，将下列表格补充完整；

整理、描述数据：

（说明：成绩90分及以上为优秀，80～90分为良好，60～80分为合格，60分以下为不合格）

分析数据：

（2）得出结论：

你认为哪个年级掌握生态环保知识水平较好并说明理由.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）.

22．（8分）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜1．

（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；

（2）若点Q关于O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N，当t为何值时，点P、M、N在一直线上？

（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM，NM，是否存在某一时刻t，使得直线PN平分四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

23．（8分）如图，点D为△ABC边上一点，请用尺规过点D，作△ADE，使点E在AC上，且△ADE与△ABC相似.（保留作图痕迹，不写作法，只作出符合条件的一个即可）

24．（10分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之间的函数图象如图所示．求小张骑自行车的速度；求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；求小张与小李相遇时x的值．

25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且∠B=∠EAC．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）过点C作CG⊥AD，垂足为F，与AB交于点G，若AG•AB=36，tanB=，求DF的值

26．（12分）在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，两直角边与AB，BC分别交于点M，N，求证：BM=CN．

27．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、A

【解析】

分析：根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．

详解：根据题意得到：，

解得x≥-1且x≠1，

故选A．

点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．

2、A

【解析】

试题分析：根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生。因此。

A、科比罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项正确；

B、科比罚球投篮2次，不一定全部命中，正确，故本选项错误；

C、∵科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，

∴科比罚球投篮1次，命中的可能性较大，正确，故本选项错误；

D、科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小，正确，故本选项错误。

故选A。　

3、C

【解析】
分清截线和被截线，根据平行线的性质进行解答即可．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠BAD与∠D互补，即C选项符合题意；

当AD∥BC时，∠BAD与∠B互补，∠1=∠2，∠BCD与∠D互补，

故选项A、B、D都不合题意，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

4、B

【解析】
根据俯视图可确定主视图的列数和每列小正方体的个数．

【详解】

由俯视图可得，主视图一共有两列，左边一列由两个小正方体组成，右边一列由3个小正方体组成．

故答案选B.

【点睛】

由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图．

5、D

【解析】

分析：根据绝对值的定义解答即可，数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.

详解：﹣2018的绝对值是2018，即．

故选D．

点睛：本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

6、D

【解析】

当k=1时，原方程不成立，故k≠1，

当k≠1时，方程为一元二次方程．

∵此方程有两个实数根，

∴，解得：k≤1．

综上k的取值范围是k＜1．故选D．

7、D

【解析】

①因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1，由图象可得左交点的横坐标大于﹣3，小于﹣2，

所以﹣=﹣1，可得b=2a，

当x=﹣3时，y＜0，

即9a﹣3b+c＜0，

9a﹣6a+c＜0，

3a+c＜0，

∵a＜0，

∴4a+c＜0，

所以①选项结论正确；

②∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，

∴y=a﹣b+c的值最大，

即把x=m（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，

∴am2+bm＜a﹣b，

m（am+b）+b＜a，

所以此选项结论不正确；

③ax2+（b﹣1）x+c=0，

△=（b﹣1）2﹣4ac，

∵a＜0，c＞0，

∴ac＜0，

∴﹣4ac＞0，

∵（b﹣1）2≥0，

∴△＞0，

∴关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0有实数根；

④由图象得：当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，

∵当k为常数时，0≤k2≤k2+1，

∴当x=k2的值大于x=k2+1的函数值，

即ak4+bk2+c＞a（k2+1）2+b（k2+1）+c，

ak4+bk2＞a（k2+1）2+b（k2+1），

所以此选项结论不正确；

所以正确结论的个数是1个，

故选D．

8、A

【解析】
在直角三角形AOB中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB=x，表示出OA，利用勾股定理求出AB与OA的长，过D作DE垂直于x轴，得到E为OA中点，求出OE的长，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的长，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，确定出三角形AOC面积即可．

【详解】

在Rt△AOB中，AD=2，AD为斜边OB的中线，

∴OB=2AD=4，

由周长为4+2

，得到AB+AO=2，

设AB=x，则AO=2-x，

根据勾股定理得：AB2+OA2=OB2，即x2+（2-x）2=42，

整理得：x2-2x+4=0，

解得x1=+，x2=-，

∴AB=+，OA=-，

过D作DE⊥x轴，交x轴于点E，可得E为AO中点，

∴OE=OA=(-)（假设OA=+，与OA=-，求出结果相同），

在Rt△DEO中，利用勾股定理得：DE==(+)），

∴k=-DE•OE=-(+)）×(-)）=1.

∴S△AOC=DE•OE=，

故选A．

【点睛】

本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键．

9、D

【解析】
分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．

【详解】

A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；

B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；

C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；

D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．

故选D．

10、D

【解析】

设第一季度的原产值为a，则第二季度的产值为 ，第三季度的产值为 ，则则第三季度的产值比第一季度的产值增长了

故选D.

11、A

【解析】
根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．

【详解】

该几何体的俯视图是：．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．

12、B

【解析】

分析：根据位似变换的性质计算即可．

详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，

则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），

故选B．

点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、150

【解析】
根据题意可得等量关系：不超过a千瓦时的电费+超过a千瓦时的电费=105元；根据等量关系列出方程，解出a的值即可.

【详解】

∵0.5×200=100<105，

∴a<200.

由题意得：0.5a+0.6(200-a)=105，

解得：a=150.

故答案为：150

【点睛】

此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确找出题目中的等量关系，列出方程.

14、

【解析】
把（1,4）代入两函数表达式可得：a+b=4,再根据“对偶直线”的定义，即可确定a、b的值.

【详解】

把（1,4）代入得：a+b=4

又因为，，且，

所以当a=1是b=3

所以“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”可以是：

故答案为

【点睛】

此题为新定义题型，关键是理解新定义，并按照新定义的要求解答.

15、-9

【解析】
根据有理数的计算即可求解.

【详解】

(－2)×3+(－3)=-6-3=-9

【点睛】

此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知有理数的运算法则.

16、（-2，6）

【解析】

分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案．

详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，

由题意得，OA=6，AB=OC-2，

则tan∠BOA=，

∴∠BOA=30°，

∴∠OBA=60°，

由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，

∴∠B1OH=60°，

在△AOB和△HB1O，

，

∴△AOB≌△HB1O，

∴B1H=OA=6，OH=AB=2，

∴点B1的坐标为（-2，6），

故答案为（-2，6）．

点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．

17、a(a+1)(a-1)

【解析】
先提公因式，再利用公式法进行因式分解即可.

【详解】

解：a(a+1)(a-1)

故答案为：a(a+1)(a-1)

【点睛】

本题考查了因式分解，先提公因式再利用平方差公式是解题的关键.

18、1

【解析】
由AB为直径，得到，由因为CD平分，所以，这样就可求出．

【详解】

解：为直径，
，
又平分，
，
．
故答案为1．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半同时考查了直径所对的圆周角为90度．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）y1＝－2x＋4，y2＝－；（2）x<－1或0<x<1．

【解析】
（1）把点A坐标代入反比例函数求出k的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；

（2）找出直线在一次函数图形的上方的自变量x的取值即可．

【详解】

解：（1）把点A（﹣1，6）代入反比例函数（m≠0）得：m=﹣1×6=﹣6，

∴．

将B（a，﹣2）代入得：，a=1，∴B（1，﹣2），将A（﹣1，6），B（1，﹣2）代入一次函数y1=kx+b得：，

∴，

∴；

（2）由函数图象可得：x＜﹣1或0＜x＜1．

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解题是本题的关键．

20、 (1)200；(2)见解析；(3)126°；(4)240人．

【解析】
(1)根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数

(2)根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数;

(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数;

(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比,从而求出喜欢社科类书籍的学生人数

【详解】

(1)∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，

∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，

故答案为200；

(2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，

∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，

∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，

如图所示：

(3)∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，

∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%＝12%，

∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，

∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；

(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，

∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．

【点睛】

此题考查扇形统计图和条形统计图，看懂图中数据是解题关键

21、（1）1，2，19；（2）初一年级掌握生态环保知识水平较好．

【解析】
（1）根据初一、初二同学的测试成绩以及众数与中位数的定义即可完成表格；

（2）根据平均数、众数、中位数的统计意义回答．

【详解】

（1）补全表格如下：

整理、描述数据：

初一成绩x满足10≤x≤19的有：11  19   19  11  19  19   17  11，共1个．

故答案为：1．

分析数据：

在76  11  93  65  71  94  19  61  95  50   19  11  19  19  2  94  17  11  92  91中，19出现的次数最多，故众数为19；

把初二的抽查成绩从小到大排列为：69  72  72  73  74  74  74  74  76  76  71  19  96  97  97  91  91  99  99  99，第10个数为76，第11个数为71，故中位数为：（76+71）÷2=2．

故答案为：19，2．

（2）初一年级掌握生态环保知识水平较好．

因为两个年级的平均数相差不大，但是初一年级同学的中位数是11．5，众数是19，初二年级同学的中位数是2，众数是74，即初一年级同学的中位数与众数明显高于初二年级同学的成绩，所以初一年级掌握生态环保知识水平较好．

【点睛】

本题考查了频数（率）分布表，众数、中位数以及平均数．掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．

22、 (1) S=﹣2（0＜t＜1）； (2) ;(3)见解析.

【解析】
（1）如图1，根据S=S△ABC-S△APQ，代入可得S与t的关系式；
（2）设PM=x，则AM=2x，可得AP=x=4t，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=，根据AM=AO+OM，列方程可得t的值；
（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．

【详解】

解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60°，AC⊥BD，

∴∠OAB=30°，

∵AB=20，

∴OB=10，AO=10，

由题意得：AP=4t，

∴PQ=2t，AQ=2t，

∴S=S△ABC﹣S△APQ，

=，

= ，

=﹣2t2+100（0＜t＜1）；

（2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t，

∵点Q关于O的对称点为M，

∴OM=OQ，

设PM=x，则AM=2x，

∴AP=x=4t，

∴x=，

∴AM=2PM=，

∵AM=AO+OM，

∴=10+10﹣2t，

t=；

答：当t为秒时，点P、M、N在一直线上；

（3）存在，

如图3，∵直线PN平分四边形APMN的面积，

∴S△APN=S△PMN，

过M作MG⊥PN于G，

∴    ，

∴MG=AP，

易得△APH≌△MGH，

∴AH=HM=t，

∵AM=AO+OM，

同理可知：OM=OQ=10﹣2t，

t=10=10﹣2t，

t=．

答：当t为秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积．

【点睛】

考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.

23、见解析

【解析】
以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AC的交点即为所求作的点．

【详解】

解：如图，点E即为所求作的点．

【点睛】

本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作DE∥BC并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．

24、（1）300米/分；（2）y=﹣300x+3000；（3）分．

【解析】
（1）由图象看出所需时间．再根据路程÷时间=速度算出小张骑自行车的速度．
（2）根据由小张的速度可知：B（10，0），设出一次函数解析式，用待定系数法求解即可.

（3）求出CD的解析式，列出方程，求解即可.

【详解】

解：（1）由题意得：（米/分），

答：小张骑自行车的速度是300米/分；

（2）由小张的速度可知：B（10，0），

设直线AB的解析式为：y=kx+b，

把A（6，1200）和B（10，0）代入得：

解得：

∴小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式； 

（3）小李骑摩托车所用的时间：

∵C（6，0），D（9，2400），

同理得：CD的解析式为：y=800x﹣4800，

则

答：小张与小李相遇时x的值是分．

【点睛】

考查一次函数的应用，考查学生观察图象的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.

25、（1）见解析；（2）4

【解析】

分析：（1）欲证明AE是⊙O切线，只要证明OA⊥AE即可；

（2）由△ACD∽△CFD，可得，想办法求出CD、AD即可解决问题.

详解：（1）证明：连接CD．

∵∠B=∠D，AD是直径，

∴∠ACD=90°，∠D+∠1=90°，∠B+∠1=90°，

∵∠B=∠EAC，

∴∠EAC+∠1=90°，

∴OA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线．

（2）∵CG⊥AD．OA⊥AE，

∴CG∥AE，

∴∠2=∠3，

∵∠2=∠B，

∴∠3=∠B，

∵∠CAG=∠CAB，

∴△ABC∽△ACG，

∴，

∴AC2=AG•AB=36，

∴AC=6，

∵tanD=tanB=，

在Rt△ACD中，tanD==

CD==6，AD==6，

∵∠D=∠D，∠ACD=∠CFD=90°，

∴△ACD∽△CFD，

∴，

∴DF=4，

点睛：本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

26、证明见解析.

【解析】

试题分析：作于点F，然后证明≌ ，从而求出所所以BM与CN的长度相等．

试题解析：在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，

则有AB=AE=EF=FC，

∴∠AEM=∠FEN，

在Rt△AME和Rt△FNE中，

∵E为AB的中点，

∴AB=CF，

∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，

∴Rt△AME≌Rt△FNE，

∴AM=FN，

∴MB=CN.

27、（1）证明见解析；（2）CE=1．

【解析】
（1）根据等角对等边得∠OBE=∠OEB，由角平分线的定义可得∠OBE=∠EBC，从而可得∠OEB=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行可得OE∥BC，根据两直线平行，同位角相等可得∠OEA=90°，从而可证AC是⊙O的切线.
（2）根据垂径定理可求BH=BF=3，根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OHCE是矩形，由矩形的对边相等可得CE=OH，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求出OH的长，从而求出CE的长.

【详解】

（1）证明：如图，连接OE，

∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵ BE平分∠ABC．
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠OEB=∠EBC，
∴OE∥BC，
∵ ∠ACB=90° ，
∴∠OEA=∠ACB=90°，
∴ AC是⊙O的切线 .
（2）解：过O作OH⊥BF，
∴BH=BF=3，四边形OHCE是矩形，
∴CE=OH，
在Rt△OBH中，BH=3，OB=5，
∴OH==1，
∴CE=1.

【点睛】

本题考查切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．