2023-2024学年广东省湛江市廉江市良垌中学八年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江市廉江市良垌中学八年级上学期12月月考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（试卷共23题范围：第11到14章时间：120分钟满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（ ）
A．2B．3C．5D．7
3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．B． C． D．
4．若等腰三角形的两边长分别4和6，则它的周长是（ ）
A．14B．15C．16D．14或16
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝( )
A．45°B．54°C．56°D．66°
7．如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
8．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）
A．B．C．6D．12
9．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8B．6C．4D．2
10．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．正十二边形的外角和为 ．
12．计算： ．
13．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；

14．若，，则 ．
15．如图，已知：，点，，…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的周长为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，17、18各7分，共24分）
16．因式分解：
(1)；
(2)．
17．如图，中，，，平分交于点E，交于点F，求证：是等腰三角形．
18．先化简，再求值：，其中，．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1）求作∠BAC的平分线，与BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若CD＝4，AB＝15，求△ABD的面积．
20．某小区院内有一块边长为米的正方形地，现在物业部门计划将该地的周围进行绿化（如图中阴影部分）．中间部分将修建一个长为米，宽为米的长方形景点．
(1)用含a、b的式子表示绿化的面积；
(2)求出当，时的绿化面积．
21．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标；
(2)点与点Q关于x轴对称，若，求出点P的坐标．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．知识探究：
如图1是两直角边长分别为，的直角三角形，如果用四个与图1完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形，其中图2和图3的四边形、四边形都是正方形、请你根据几何图形部分与整体的关系完成下列各题
(1)请选择，，中的有关代数式表示：
图2中正方形的面积：___________．
图3中正方形的面积：___________．
(2)请你根据题（1），写出下列三个代数式：，，之间的等量关系___________．
知识应用：
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求：的值；
②已知：，，求：的值．
23．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：CD＝2BF+DE．
答案与解析
1．C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．A
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∵．
故选：A．
3．B
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C、等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
4．D
【详解】解：根据题意，
①当腰长为6时，符合三角形三边关系，周长=6+6+4=16；
②当腰长为4时，符合三角形三边关系，周长=4+4+6=14.
故选：D.
5．A
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．D
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ABF，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝42°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝48°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠ABD＝24°，
∴∠BFD＝∠BAD+∠ABF＝42°+24°＝66°，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟记概念与定理并准确识图．
7．A
【分析】由线段的垂直平分线交于D，交于E，可得，继而求得的度数，再由三角形的外角性质和三角形的内角和即可求得答案．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于D，交于E，
∴，
∴，
∵
∴，
∵,
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和以及等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
8．B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】∵可以用完全平方公式进行因式分解，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解：运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．C
【详解】过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选：C．
10．C
【分析】本题主要考查同底数幂的除法及幂的乘方的逆运用，根据对相应的运算法则将变形为是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和为，理解多边形的外角和定理是解题的关键．
【详解】正十二边形的外角和是：，
故答案是：．
12．
【分析】运用单项式除以单项式法则计算即可．本题考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13．（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可．
【详解】解：添加条件，
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．6
【分析】利用平方差公式分解因式求解即可．
【详解】解：∵
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平方差公式在因式分解里的运用，熟练运用平方差公式是解题关键．
15．48
【分析】先根据已知证明，，，…均是等腰三角形，求出，，，…，然后从数字找规律即可解答．
【详解】解：、、、…均为等边三角形，
，…，，，，…
，
，
，
，
…，
，，、…均为等腰三角形，
，，
，
…，
的边长为：1，
的边长为：，
的边长为：，
…，
的边长为：，
的周长为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法综合运用提公因式，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．见解析
【分析】根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，根据余角性质得出，根据对顶角相等得出，求出，根据等角对等边得出，即可证明结论．
【详解】证明：∵平分，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义，余角性质，等腰三角形的判定．难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
18．；
【分析】原式利用去括号法则去括号后，合并同类项得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
；
把，代入原式得：
原式＝
．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算−化简求值，正确去括号合并同类项是解题关键．
19．（1）见解析；（2）30
【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出答案；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质结合三角形面积求法得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：
AD即为所求；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，如图2所示：
∵AD平分∠BAC，AC⊥CD
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法与性质，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
20．(1)平方米
(2)81平方米
【分析】（1）根据题意可得阴影部分的面积等于正方形面积减小长方形的面积，列出式子即可；
（2）将，代入（1）中的式子即可求解．
【详解】（1）解：
，
故绿化的面积是平方米．
（2）解：∵，，
∴绿化的面积是（平方米），
答：当，时，绿化面积为81平方米．
【点睛】本题主要考查了列代数式及多项式乘多项式，代数式求值，理解题意掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
21．(1)图见解析，点的坐标
(2)或
【分析】（1）画出，据图直接写出坐标；
（2）先根据P，Q关于x轴对称，得到Q的坐标，再构建方程求解即可．
本题考查了作图−轴对称变换，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征．
【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标；
（2）解：∵点与点Q关于x轴对称，
，
，
，
解得：或，
或．
22．(1)，
(2)或者
(3)①，②
【分析】（1）图2中正方形面积可以表示为中间正方形面积加上外面4个全等的小直角三角形面积；图3中正方形面积可以表示为正方形面积减去外面4个全等的小直角三角形面积；
（2）抓住图2与图3中正方形的边长都是图1中直角三角形的斜边，因此面积相等，在（1）基础上，即可得到关系式；
（3）由（2）中等量关系变形求解即可．
【详解】（1）解：图2中，正方形面积为，
由图1得，
∴由图中正方形面积加上四个直角三角形面积等于正方形的面积可得：
；
图3中正方形的面积为．
故答案为：；；
（2）解：∵图2中正方形的面积为，
而．
∴图2中正方形的面积．
又∵图3中正方形的面积为，
图2与图3中正方形的边长都是图1中直角三角形的斜边，
∴图1中正方形的面积=图2中正方形的面积．
故．
∴或者．
故答案为：或者；
（3）解：由（1）可得：
；
，
∴，
又，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式及其不同形式之间的转换，完全平方公式的几何运用，三角形，正方形面积计算方法等知识，还有分式的混合运算，属于中档题．
23．(1)见解析；
(2)；
(3)见解析
【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解；
（3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
在△BAC和△DAE中，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：延长BF到G，使得，
∵，
∴，
在△AFB和△AFG中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴在△CGA和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键．