2023-2024学年广东省湛江市徐闻县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年广东省湛江市徐闻县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式：y−3y，5+xπ，m+nm−n，1a中，是分式的共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.已知三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能为( )
A. 1B. 2C. 7D. 9
4.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( )
A. BE=CFB. ∠A=∠DC. AC=DFD. AC//DF
5.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a3⋅a3=a9C. (a3)2=a6D. (ab)2=ab2
6.下列因式分解结果正确的是( )
A. x2+3x+2=x(x+3)+2B. 4x2−9=(4x+3)(4x−3)
C. a2−2a+1=(a+1)2D. x2−5x+6=(x−2)(x−3)
7.已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90∘，AC⊥CD，不正确的结论是( )
A. ∠A与∠D互为余角
B. ∠A=∠DCE
C. △ABC≌△CED
D. ∠ACB=∠DCE
8.如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=35∘，∠DAE=60∘，则∠ACB=( )
A. 25∘B. 60∘C. 85∘D. 95∘
9.某单位向一所希望小学赠送了1080件文具，现用A、B两种不同的包裝箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个，设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为( )
A. 1080x=1080x−15+12B. 1080x=1080x−15−12
C. 1080x=1080x+15−12D. 1080x=1080x+15+12
10.已知△ABC和△CDE是等边三角形，∠BCA=∠DCE，且B、C、D三点共线，连接BE，AD，交AC于点M，交CE于点N，以下结论正确的个数是( )
①△BCE≌△ACD；②∠AGB=60∘；③CM=CN；④连接CG，GC是∠BGD的角平分线．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如果分式2xx−3有意义，那么x的取值范围是______.
12.中国宝武太原钢铁集团生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.0000015米(大概是A4纸厚度的四分之一)，是世界上最薄的不锈钢.数据“0.0000015”用科学记数法表示为______米.
13.已知一个n边形的内角和是900∘，则n=__________.
14.点P(−2,1)关于x轴的对称点的坐标为______.
15.若ax=2，ay=3，则a2x+y=______.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解方程：x−1x+1−2x2−1=1.
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
化简求值：(1−1x+1)÷x2−1x2+2x+1，其中x=2023.
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=50∘，∠C=60∘，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AB、AC于点D和E.
(1)尺规作图：求作DE(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接EB，求∠EBC的度数．
19.(本小题9分)
如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：A(−3,1)，B(−1,−2)，C(1,3).
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，其中A、B、C分别和A1、B1、C1对应，则点A1的坐标为______；
(2)在x轴上找一点P，使得点P到点A、C的距离之和最小；(保留画图痕迹)
(3)求△ABC的面积.
20.(本小题9分)
从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
21.(本小题9分)
已知，如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90∘，且AO平分∠BAC，点O是BD的中点．
(1)求证：CO平分∠ACD；
(2)求证：AC=AB+CD.
22.(本小题12分)
有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合(或把某项适当地拆分)成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)，根据上面的方法因式分解：
(1)2ax+3bx+4ay+6by；
(2)m3−mn2−m2n+n3；
(3)已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−ab+c2=2ac−bc，判断△ABC的形状并说明理由．
23.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，∠B=60∘，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN.
(1)当∠BAM=______ ∘时，AB=2BM；
(2)请添加一个条件：______，使得△ABC为等边三角形；
①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM=AC；
②如图2，当点M运动到线段BC之外(即点M在线段BC的延长线上时)，其它条件不变(△ABC仍为等边三角形)，请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A.
根据轴对称图形的定义即可判断．
本题考查轴对称图形，解题的关键是理解轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
2.【答案】C
【解析】【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
【解答】
解：y−3y，m+nm−n，1a的分母中含有字母，因此是分式；
5+xπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有3个．
故选：C.
3.【答案】C
【解析】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：5−32只有7可以，
故选：C.
根据三角形的三边关系可得5−3此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形两边之差小于第三边．
4.【答案】C
【解析】解：A、BE=CF可以求出BC=EF，然后利用“SAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B、∠A=∠D可以利用“ASA”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C、AC=DF符合“SSA”，不能证明△ABC≌△DEF，故本选项符合题意．
D、由AC//DF可得∠F=∠ACB，然后利用“AAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．
故选C.
根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断即可得解．
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，对各选项分析判断后得结论．
【解答】
解：∵a2与a3不是同类项，∴选项A不正确；
∵a3⋅a3=a6≠a9，∴选项B不正确；
∵(a3)2=a3×2=a6，∴选项C正确；
∵(ab)2=a2b2≠ab2，∴选项D不正确．
故选：C.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了因式分解-十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．
根据因式分解的方法进行计算即可判断．
【解答】
解：A.因为x2+3x+2=(x+1)(x+2)，故A错误；
B.因为4x2−9=(2x+3)(2x−3)，故B错误；
C.因为a2−2a+1=(a−1)2，故C错误；
D.因为x2−5x+6=(x−2)(x−3)，故D正确．
故选：D.
7.【答案】D
【解析】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90∘，
∴∠ACB+∠DCE=180∘−90∘=90∘，
∵∠B=90∘，
∴∠A+∠ACB=90∘，
∴∠A=∠DCE，
在△ABC和△CED中，
∠B=∠E∠A=∠DCEAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A=∠ECD，∠E=90∘，
∴∠D+∠ECD=∠D+∠A=90∘，
即∠A和∠ECD互余，
即只有选项D错误，
故选：D.
根据垂直求出∠ACD=90∘，求出∠ACB+∠DCE=90∘，∠A+∠ACB=90∘，求出∠A=∠DCE，根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△CED，根据全等三角形的性质得出∠D=∠ACB，再逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定和直角三角形的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL.
8.【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠EAC=2∠DAE=120∘，
∴∠ACB=∠EAC−∠B=85∘，
故选：C.
【分析】
本题考查的是三角形的外角的性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠DAE=120∘，根据三角形的外角的性质计算即可．
9.【答案】B
【解析】解：∵每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，且B型包装箱每个可以装x件文具，
∴A型包装箱每个可以装(x−15)件文具．
依题意得：1080x=1080x−15−12.
故选：B.
由每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，可得出A型包装箱每个可以装(x−15)件文具，根据包装1080件文具单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
①根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60∘，∠DCE=60∘，则∠ACE=60∘，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE；
②由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，然后根据三角形内角和定理即可判定②正确；
③由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△△BCM，所以CN=CM，即可判定③正确；
④根据全等三角形的面积相等，可得S△ACD=S△BCE，所以AD和BE边上的高相等，再根据角平分线的性质可得GC是∠BGD的角平分线，故④正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；解决本题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
【解答】
解：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60∘，∠DCE=60∘，
∴∠ACE=60∘，
∴∠ACD=∠BCE=120∘，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，故①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠BMC=∠AMG，
∴∠AGB=∠ACB=60∘，故②正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACN和△BCM中，
∠ACN=∠BCMCA=CB∠CAN=∠CBM，
∴△ACN≌△△BCM(ASA)，
∴CN=CM；故③正确，
如图，连接CG，过点C作CP⊥AD，CQ⊥BE于点P，Q，
∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，S△ACD=S△BCE，
∴AD和BE边上的高相等，即CP=CQ，
∴GC是∠BGD的角平分线，故④正确，
综上所述：结论正确的是①②③④，共4个．
故选：D.
11.【答案】x≠3
【解析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义得到分母为零；
(2)分式有意义得到分母不为零；
(3)分式值为零得到分子为零且分母不为零．
根据分式有意义，分母不等于0，列不等式求解即可．
解：由题意得，x−3≠0，
解得x≠3.
故答案为：x≠3.
12.【答案】1.5×10−6
【解析】解：0.0000015=1.5×10−6.
故选：1.5×10−6.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】7
【解析】解：这个多边形的边数是n，
则：(n−2)⋅180∘=900∘，
解得n=7.
故答案为：7.
根据n边形的内角和为(n−2)⋅180∘列出关于n的方程，解方程即可求出边数n的值．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
14.【答案】(−2,−1)
【解析】解：点P(−2,1)关于x轴的对称点的坐标为(−2,−1).
故答案为：(−2,−1).
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15.【答案】12
【解析】解：∵ax=2，dy=3，
∴a2x+y=a2x⋅ay，
=(ax)2⋅ay，
=4×3，
=12.
根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．
本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方法则：底数不变指数相乘．同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加．
16.【答案】解：x−1x+1−2x2−1=1，
x−1x+1−2x−1x+1=1，
方程两边同时乘(x+1)(x−1)，
得整式方程(x−1)2−2=x2−1，
即x2−2x+1−2=x2−1，
所以−2x=0，
解得：x=0，
检验：当x=0时，(x+1)(x−1)≠0.
所以原分式方程的解为x=0.
【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
17.【答案】解：(1−1x+1)÷x2x2+2x+1
=x+1−1x+1⋅(x+1)2x2
=x+1x，
当x=2023时，原式=20242023.
【解析】先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，DE即为所求；
(2)在△ABC中，
∵∠A=50∘，∠C=60∘，
∴∠ABC=180∘−50∘−60∘=70∘，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE=50∘，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=70∘−50∘=20∘.
【解析】【分析】
本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
(1)根据DE是AB的垂直平分线，即可求作DE；
(2)根据垂直平分线的性质即可求∠EBC的度数．
19.【答案】(3,1)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
∵A(−3,1)，
∴A1(3,1).
故答案为：(3,1).
(2)如图，点P即为所求．
(3)△ABC的面积=4×5−12×2×5−12×4×2−12×3×2=20−5−4−3=8.
(1)先根据轴对称的性质画出点A1、B1、C1，再顺次连接即可得△A1B1C1，然后再读出点A1的坐标即可；
(2)先作点A关于x轴的对称点A2，再连接A2C，与x轴的交点即为点P；
(3)理由割补法求面积即可．
本题主要考查了轴对称作图、点坐标与轴对称变化、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质与作图是解题关键．
20.【答案】解：(1)根据题意得：400×1.3=520(千米)，
答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：
520x−4002.5x=3，
解得：x=120，
经检验x=120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时)，
答：高铁的平均速度是300千米/时．
【解析】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．
(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；
(2)设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可；
21.【答案】证明：(1)作OE⊥AC于点E，则∠AEO=∠CEO=90∘，
∵∠D=∠B=90∘，
∴∠AEO=∠B，∠CEO=∠D，
∵AO平分∠BAC，
∴∠EAO=∠BAO，
在△EAO和△BAO中，
∠AEO=∠B∠EAO=∠BAOAO=AO，
∴△EAO≌△BAO(AAS)，
∵OE=OB，
∵点O是BD的中点，
∴OD=OB，
∴OE=OD，
在Rt△ECO和Rt△DCO中，
CO=COOE=OD，
∴Rt△ECO≌Rt△DCO(HL)，
∴∠OCE=∠OCD，
∴CO平分∠ACD.
(2)∵△EAO≌△BAO，
∴AE=AB，
∵Rt△ECO≌Rt△DCO，
∴CE=CD，
∴AC=AE+CE=AB+CD.
【解析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线及线段中点的定义等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明三角形全等是解题的关键．
(1)作OE⊥AC于点E，可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△EAO≌△BAO，得OE=OB，则OE=OD，再证明Rt△ECO≌Rt△DCO，∠OCE=∠OCD，所以CO平分∠ACD；
(2))由△EAO≌△BAO，得AE=AB，由Rt△ECO≌Rt△DCO，得CE=CD，则AC=AE+CE=AB+CD.
22.【答案】解：(1)原式=(2ax+3bx)+(4ay+6by)
=x(2a+3b)+2y(2a+3b)
=(x+2y)(2a+3b).
(2)原式=(m3−m2n)+(mn2−n3)
=m2(m−n)+n2(m−n)
=(m−n)(m2+n2).
(3)等腰三角形．
∵a2−ab+c2=2ac−bc
∴(a−c)(a−c−b)=0
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a−b−c<0，
∴a−c=0，
∴a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】(1)将含x的分为一组，含y的分为一组，接下来再提取公因式即可解答；
(2)首先将待求式分组得到原式=(m3−m2n)+(mn2−n3)，再提取公因式即可解答．
(3)由a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−ab+c2=2ac−bc，化简得到三边的关系，从而判断三角形的形状．
本题考查的是因式分解，正确进行分组是解答本题关键．
23.【答案】30AB=AC
【解析】解：(1)当∠BAM=30∘时，
∴∠AMB=180∘−60∘−30∘=90∘，
∴AB=2BM；
故答案为：30；
(2)添加一个条件AB=AC，可得△ABC为等边三角形；
故答案为：AB=AC；
①如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60∘，
∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)，
∴BM=CN，
∴AC=BC=CN+MC.
②结论：AC=CN−CM.
理由：如图2中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60∘，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)，
∴BM=CN，
∴AC=BC=BM−CM=CN−CM.
(1)根据含30∘角的直角三角形的性质解答即可；
(2)利用等边三角形的判定解答；
①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．
本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答，属于中考常考题型．