辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期12月期末考试数学试卷 (1)

大连市2022～2023学年度第一学期期末考试

高一数学

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

2. 已知向量，，且，则实数（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】D

3. 若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是（    ）

A. 18 B. 7 C. 6 D. 2

【答案】A

4. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

5. 下列函数中，其图像如图所示的函数为（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】A

6. “北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P（单位：）与时间t（单位：天）间的关系为：，其中表示初始含量，k为正常数．令为之间海水稀释效率，其中，分别表示当时间为和时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即，，，分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则下列哪个时期的稀释效率最高（    ）．

A. Ⅰ期 B. Ⅲ期 C. Ⅲ期 D. Ⅳ期

【答案】A

7. 已知，，且满足，则的最大值为（    ）

A. 9 B. 6 C. 4 D. 1

【答案】D

8. 已知定义域为D的函数，若，都，满足，则称函数具有性质．若函数具有性质，则“存在零点”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（    ）

A. 若且，则 B. 若，，则

C. 若，，则 

D. 若，，则

【答案】BCD

10. 同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（    ）

A. A与C互斥 B. B与D对立 

C. A与相互独立 D. B与C相互独立

【答案】AD

11. 已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ）

A. 向量与可能平行 B. 点P在线段EF上

C.  D.

【答案】BC

12. 已知函数，，的零点分别为，，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】BC

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（本大题功4小题，每小题5分，共20分．）

13. ______．

【答案】7

14. 已知向量，满足，，，则实数______．

【答案】1

15. 在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高是170cm，女生的平均身高是165cm，则估计该校全体学生的平均身高是______cm．

【答案】168

16. 函数满足：，都有，则函数的最大值为______．

【答案】16

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．

（1）用，表示；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）   

（2）3.

【解析】

【小问1详解】

在中，由,

又，

所以，

所以

【小问2详解】

因为，

又，

所以，，

所以，

又三点共线，且在线外，

所以有：，

即.

18. 已知集合，集合．

（1）若，求实数的值；

（2）若，，且p是q的充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或．

【解析】

【小问1详解】

因为，

所以，所以，所以；

【小问2详解】

或，

，，且p是q的充分条件

由已知可得，所以或，

所以或，

故实数m的取值范围为或．

19. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．

（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？

（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；

（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；

（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．

【答案】（1）小吃类16家，玩具类4家；   

（2）（i）中位数为342.9，平均数为352.5；

（2）128.

【解析】

【小问1详解】

，，

所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.

【小问2详解】

（i）根据题意可得，解得，

设中位数为，因为，，所以，解得，

平均数为，

所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.

（ii）,

所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.

20. 第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．

（1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；

（2）已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【小问1详解】

设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件，

若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，

所以；

【小问2详解】

设“该局比赛甲得11分获胜”为事件，

甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲获胜；

甲得3分，乙得1分，则甲获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，

所以.

21. 已知函数的定义域为R，其图像关于点对称．

（1）求实数a，b的值；

（2）求的值；

（3）若函数，判断函数的单调性（不必写出证明过程），并解关于t的不等式．

【答案】（1）   

（2）1011    （3）

【解析】

【小问1详解】

有条件可知函数 经过点 ， ，即 ，

解得： ， ；

【小问2详解】

由于 ，

，

；

【小问3详解】

由于 是奇函数，根据函数平移规则， 也是奇函数，

并且由于 是增函数， 也是增函数， 也是增函数，定义域为

不等式 等价于 ，

即 ， ，由于 是增函数，

，解得 ；

综上，（1）；（2）；（3）.

22. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，函数．

（1）若，求在上的最大值；

（2）设，，求的最小值，其中．

【答案】（1）在上的最大值为   

（2）的最小值

【解析】

【小问1详解】

解：因为函数的图像与函数的图像关于直线对称，即与互为反函数，所以

当，有，

则，

又时，，所以，

所以，

当且仅当，即时等号同时成立，所以在上的最大值为；

【小问2详解】

解：，

等价于，即，因为，

当时，恒成立，所以，

则，所以在上单调递增，所以；

当时，，此时当时，，当时，，所以，

在上单调递减，在上单调递增，所以；

当时，，当时，与上一种情况相同，所以；

当时，恒成立，所以，则，所以在上单调递减，所以；

综上，的最小值.