浙江省绍兴市上虞中学2023-2024学年高一上学期期中测试数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省绍兴市上虞中学2023-2024学年高一上学期期中测试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题只有一项是正确的）
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.
【详解】解：，，
故选：C.
2. 若幂函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，即可求得的值.
【详解】由已知可得，解得.
故选：C.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据根式的性质以及指数不等式即可求解.
【详解】的定义域满足，解得，
故选：A
4. 已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】解：由题意，对于都有成立，
∴，解得：，
即实数的取值范围是.
故选：D.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，
由，，故C错误，
故选：A.
6. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出函数f（x）的图象，结合图象求出a的范围即可．
【详解】解：画出函数f（x）的图象，如图示：
方程有三个不同的实数根，
即y＝f（x）和y＝a的图象有3个不同的交点，
结合图象：0＜a＜1，
故选：A．
7. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，定义在上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性与单调性，依次讨论，，，时的符号即可得答案.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，
因为定义在上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上是单调递减，且.
所以，当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
故满足的的取值范围是
故选：B
8. 已知，函数在上的最大值是5，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由题意得到，分别讨论，，三种情况，即可求出结果.
【详解】因在上单调递减，因此；
若，则的最大值为，符合题意；
若时，的最大值为与中较大的，
由，即，解得，
显然时，的最大值为，时，的最大值不为定值．
综上可得：时，在上的最大值是.
故选A
【点睛】本题主要考查由函数的最值求参数的问题，熟记函数单调性，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.
二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 以下满足的集合A有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.
【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，
则所有符合条件的集合A为,,.
选项BD均不符合要求，排除.
故选：AC
10. 下列命题正确的有（ ）
A. ，
B. 不等式的解集为
C. 是的充分不必要条件
D. 若命题：，，则：，
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例判断A，根据一元二次函数的性质判断B，根据充分条件和必要条件的定义判断C，根据含量词的命题的否定方法判断D．
【详解】当时， ，所以 ， 是假命题，A错误；
因为恒成立，则不等式 的解集为，B正确；
因为，则，又当时，，但，所以由不能推出， 所以是的充分不必要条件，C正确；
若命题：，，则： ，，D正确．
故选：BCD．
11. 已知是正数，且，下列叙述正确是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据基本不等式即可直接求解AC，根据完全公式即可求解B,根据乘“1”法即可由不等式求解.
【详解】对于A选项，由基本不等式得，解得，当且仅当且，即，时，的最大值为，A正确．
对于B选项，，当且仅当，时，的最小值为，B正确．
对于D选项，，当且仅当，，即时等号成立，故的最小值为，D错误．
对于C选项，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为1,C正确，
故选：ABC．
12. 已知函数，，对任意，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对选项A，根据指数的运算性质即可；对选项B，可判断出是奇函数，即可判断；对选项C，通过作差法比较即可；对选项D，根据函数的单调性和奇偶性转化不等式，再通过判别式即可判断.
【详解】对选项A，，，故选项A错误；
对选项B，，，则，故选项B正确；
对选项C，
不妨设，则，故，故选项C正确；
对选项D，因为是奇函数，在上递减
则要使恒成立
只需：
只需：
只需：
而，故，故选项D正确
故选：BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 已知函数，是偶函数，则a+b=________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即可作答.
【详解】因为f(x)为偶函数，则函数f(x)的定义域关于数0对称，即，解得，
显然，，即，整理得，
而不恒为0，于是得，解得，
所以.
故答案为：4
14. 函数的单调递减区间为__________，值域为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空①，根据复合函数的单调性进行讨论即可;空②，由结合指数函数的单调性求解结果.
【详解】函数的定义域为R，，，值域为
设，，
在区间上单调递减，在区间1，上单调递增，
为减函数，
在区间上单调递增，在区间1,上单调递减.
故答案为：；
15. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数以及指数函数的单调性即可列不等式求解.
【详解】由于函数在上单调递增，
所以需要满足：，解得，
故答案为：
16. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：应用换元法，令，，不等式恒成立，转化为在恒成立，确定关系式，即可求得答案.
详解：
函数对称轴，最小值
令，
则恒成立，即在上.
，
在单调递增，
，解得，即实数的取值范围是
故答案为.
点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题、不等式恒成立问题以及二次函数的图象和性质等知识，考查了复合函数问题求解的换元法．
四、解答题（本题共6题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤）
17. 设集合，，全集.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合，再根据交集的定义求；
（2）由得到，再根据集合间的包含关系列不等式即可.
【小问1详解】
由得，因为，所以，所以.
小问2详解】
因为，所以，①当时,；②当时，，即，综上所述，.
18. （1）已知幂函数在递增，求实数的值.
（2）化简求值.
【答案】（1）-1；（2）7.
【解析】
【分析】（1）根据函数是幂函数，求得m，再由函数在递增验证即可；
（2）利用根式和指数幂的运算求解.
【详解】解：（1）因为函数是幂函数，
所以，即，
解得或，
当时，在递减，不成立；
当时，在递增，成立，
所以实数的值为-1.
（2），
，
，
.
19. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．

（1）若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由已知得，篱笆总长为，利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据条件得，然后令，展开化简，利用基本不等式即可求出最小值.
【小问1详解】
由已知可得，篱笆总长为．
又因为，当且仅当，即时等号成立．
所以当时，可使所用篱笆总长最小．
【小问2详解】
由已知得，
又因为，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是．
20. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求a的值及函数的值域；
（2）证明：为定值；并求的值．
【答案】（1），的值域为
（2）证明见解析；100
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的单调性即可根据最值求解，理由分离常数即可结合不等式的性质求解值域，
（2）代入即可根据指数幂的运算化简即可求解，进而可求解.
【小问1详解】
由题意有，解得或（舍去），
则，
∵，∴，，，
∴，函数的值域为.
【小问2详解】
，
.
21. 已知定义在上的函数满足：对任意、都有，且当时，.
（1）求的值，并证明：为奇函数；
（2）证明：函数在上单调递增；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）令可求得的值，令，结合函数奇偶性的定义可证得结论成立；
（2）设，则，，作差，并判断出的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；
（3）由奇函数的性质结合函数的单调性可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
令，可得，可得.
因为函数的定义域为，
在等式中，令，有，
所以，，所以为奇函数.
【小问2详解】
令，
则，
设，则，
所以，，即，
所以，函数在上单调递增.
【小问3详解】
因为，
所以，，
又函数在上单调递增能，所以，，则.
令，则，于是，
当且仅当时，取最大值，
所以，实数的取值范围为.
22. 已知函数．
（1）若，解方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若且不等式对一切实数恒成立，求的取值范围
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】（1）当时，， 故有
，
当时，由，有，解得或
当时，恒成立
∴ 方程的解集为或
（2），
若在上单调递增，则有
， 解得，
∴ 当时，在上单调递增
（3）设
则
不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立．
，
当时，单调递减，其值域为，
由于，所以成立．
当时，由，知， 在处取最小值，
令，得，又，所以