第27讲 导数中的数列不等式放缩问题（原卷及解析版）

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由函数不等式化为数列不等式的方法

取： 则： 取：则：
题型一：指对数不等式化为数列不等式
【精选例题】
【例1】（多选题）建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知函数，其中
(1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围；
(2)证明：，其中．
【例3】已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.
【例4】已知函数.
(1)是的导函数，求的最小值；
(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）
【例5】已知函数（）．
(1)当时，试确定函数在其定义域内的单调性；
(2)求函数在上的最小值；
(3)试证明：（；）．
【例6】已知函数.
(1)求的极值；
(2)对任意的，求证：.
【例7】已知函数．
(1)证明：；
(2)证明：，．
【例8】已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
【跟踪训练】
1.利用“”可得到许多与n（且）有关的结论①，②，③，④，则结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.已知函数．
（1）若在，上恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：．
3.已知.
(1)证明：；
(2)证明：时，.
4.已知函数，.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，求的值；
(3)对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
5.已知函数，且.
(1)求实数的取值范围；
(2)设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值；
(3)证明：.
6.设函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：当时，恒成立；
(3)证明：当且时，．
7.已知函数
(1)判断函数的零点个数；
(2)证明：当时，证明：
8.已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数的最大值；
（ⅱ）证明：．
题型一：三角函数不等式化为数列不等式
【精选例题】
【例1】已知函数，.
(1)证明：当时，；
(2)若，求a的取值范围；
(3)证明：.
【例2】已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)已知且，求证：.
【例3】已知函数.
(1)求的极值；
(2)求证：.
【跟踪训练】
1.已知函数，.
(1)当时，，求实数的取值范围；
(2)已知，证明：.
2.已知函数．
(1)证明：对恒成立；
(2)是否存在，使得成立？请说明理