2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1,2,3}，B={1,2,4}，则A⋂B=( )
A. {1,2,4}B. {1,2}C. {1,2,3,4}D. {0,1,2,3,4}
2.“x>5”是“x≥3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.命题“∀x>0，x+1≥0“的否定是( )
A. ∃x≤0，x+1<0B. ∃x>0，x+1<0
C. ∃x≤0，x+1≥0D. ∀x>0，x+1<0
4.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,4)，则f(3)=( )
A. 5B. 6C. 8D. 9
5.已知x>0，则x+4x的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. y=x+1B. y=−xC. y=1xD. y=x|x|
7.已知f(x)是定义在(−2,2)上的减函数，且f(2a−3)A. (0,4)B. (1,+∞)C. (1,52)D. (12,52)
8.已知f(x)为定义在R上的偶函数，对于∀x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有x1f(x2)−x2f(x1)x2−x1>0，f(2)=16，f(12)=−4，f(0)=0，则不等式f(x)−8x>0的解集为( )
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−12,0)∪(0,2)
C. (−∞,−12)∪(2,+∞)D. (−12,0)∪(2,+∞)
9.设a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a−b>0B. a3>b3C. |a|>|b|D. a|c|>b|c|
二、多选题（本题共3小题，共15分）
10.与y=|x|表示同一个函数的是( )
A. y= x2B. y=( x)2C. y=t,t>0−t,t<0D. y=x2|x|
11.下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)= 4x−x2的单调递增区间为(−∞,2)
B. 函数f(x)=|x|−2|x|+1的值域为[−2,1)
C. 若f(x)定义在R上的幂函数，则f(0)−f(1)=−1
D. 若g(x)是奇函数，则一定有g(0)=0
12.已知函数f(x)=|x|x2+2，下面四个结论中正确的是( )
A. f(x)的值域为[0, 22]
B. f(x)是偶函数
C. f(x)在区间(0,+∞)上单调递增
D. f(x)的图像与g(x)=14的图像有4个不同的交点
三、填空题（本题共4小题，共20分）
13.已知集合M={2,x2−1}，且0∈M，则实数x= ______ ．
14.已知f(x+1)=x2−2x，则f(x)= ______ ．
15.已知命题“∀x∈R，ax2−ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围是______ ．
16.已知函数f(x)=x3+2x|x|+1+2，若∃a∈[1,2]，使得f(x2−ax−6)+f(3a−x)>4有解，则实数x的取值范围为______ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知函数f(x)= 3−x+1 x+2的定义域为集合A，集合B={x|(x−2)(x+3)>0}．
(1)求集合A；
(2)求A∩B，(∁RA)∪B．
18.已知函数f(x)的解析式f(x)=x+2,x≤1x2,1(Ⅰ)求f(f(12))；
(Ⅱ)若f(a)=2，求a的值．
19.已知集合A={x|a−1≤x≤a+1}，B={x|−1≤x≤3}，从以下两个条件中任选一个，补充到第(Ⅱ)问的横线处，求解下列问题．
①A∪B=B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；
(Ⅰ)当a=2时，求A∪B；
(Ⅱ)若_____，求实数a的取值范围．
20.已知函数f(x)=a−1x．
(1)若g(x)=(x+1)f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，试判断g(x)在[1,3]上的单调性并用定义法给与证明，写出此时g(x)的值域．
21.已知函数f(x)=x2−(a+1)x+a．
(1)当a=2时，求关于x的不等式f(x)>0的解集；
(2)若f(x)+2x≥0在区间(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
22.若在函数f(x)的定义域内存在区间[a,b]，使得f(x)在[a,b]上单调，且函数值的取值范围是[ma,mb](m是常数)，则称函数f(x)具有性质M．
(1)当m=12时，函数f(x)= x否具有性质M？若具有，求出a，b；若不具有，说明理由；
(2)若定义在(0,2)上的函数f(x)=|x+4x−5|具有性质M，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据交集的运算可得：
A∩B={0,1,2,3}∩{1,2,4}={1,2}．
故选：B．
根据交集的运算，即可得出答案．
本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：当x>5时，可以推出x≥3；反之，当x≥3时，可能x=4，不能得到x>5．
因此，“x>5”是“x≥3”的充分不必要条件．
故选：A．
根据充要条件的定义，对所给的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：命题“∀x>0，x+1≥0“的否定是“∃x>0，x+1<0”．
故选：B．
对于全称量词命题，否定时需要改量词为存在，再否定结论，由此解答即可．
本题主要考查含有量词的命题及其否定的知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意令f(x)=xα，由于图象过点(2,4)，
可得2α=4，解得α=2，所以f(x)=x2．
可得f(3)=32=9．
故选：D．
先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(3)的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为x>0，所以x+4x≥2 x⋅4x=4，即x+4x的最小值为4，
当且仅当x=2>0时，等号成立．
故选：D．
直接由基本不等式运算即可．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：y=x+1定义域为R，f(−x)≠f(x)，且f(−x)≠−f(x)，故A为非奇非偶函数；
y=−x定义域为R，f(−x)=−f(x)，为奇函数，在R上为减函数；
y=1x(x≠0)，f(−x)=−f(x)，但f(x)在(−∞,0)，(0,+∞)递减；
y=x|x|的定义域为R，满足f(−x)=−x|x|=−f(x)，则为奇函数，且x>0时，f(x)=x2为增函数，
则f(x)在R上递增，符合题意．
故选：D．
对选项运用奇偶性和单调性的定义，结合常见函数的奇偶性和单调性，判断即可得到结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查定义法的运用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为f(x)是定义在(−2,2)上的减函数，且f(2a−3)所以−2解得，1故选：C．
由已知结合函数的单调性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：设00，所以x1f(x2)−x2f(x1)>0，即f(x2)x2>f(x1)x1，
令g(x)=f(x)x，则有0所以g(x)在(0,+∞)上为增函数，
由题知f(x)为定义在R上的偶函数，易知g(x)=f(x)x为奇函数且在(−∞,0)上为增函数，
∵f(2)=16，f(12)=−4，
∴g(2)=8，g(12)=−8，
∴g(−12)=−g(12)=8，
当x=0时，f(x)−8x=0−0=0，不等式不成立，
当x>0时，f(x)−8x>0等价于f(x)x>8，即g(x)>g(2)，则x>2，
当x<0时，f(x)−8x>0等价于f(x)x<8，即g(2)综上所述：等式f(x)−8x>0的解集为(−∞,−12)∪(2,+∞)．
故选：C．
构造函数，结合函数单调性及奇偶性即可解不等式．
本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，由a>b⇔a−b>0，故A对；
对于B，a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+34b2]，因为a>b，
所以a−b>0，得a3−b3>0，故B对；
对于C，若a=1，b=−2，|a|<|b|，故C错；
对于D，当c=0时，a|c|=b|c|，故D错．
故选：AB．
根据不等式性质判断A、B；C、D选项举出反例即可．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：y=|x|定义域为R，且y=x,x≥0−x,x<0，
对于A：y= x2=|x|，定义域也为R，A正确；
对于B：y=( x)2的定义域为[0,+∞)，定义域不一样，B错误；
对于C：y=t,t>0−t,t<0的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，定义域不一样，C错误；
对于D：y=x2|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，定义域不一样，D错误；
故选：A．
通过判断函数的定义域和解析式是否都一样来得答案．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：由4x−x2≥0，解得0≤x≤4，可知当x<0时，函数f(x)无意义，故A错误；
f(x)=|x|−2|x|+1=1−3|x|+1，
∵|x|≥0，|x|+1≥1，
∴0<3|x|+1≤3，
∴−2≤f(x)<1，即函数f(x)的值域为[−2,1)，故B正确；
若f(x)定义在R上的幂函数，则f(0)=0，f(1)=1，得f(0)−f(1)=−1，故C正确；
若g(x)是奇函数，令g(x)=1x，是奇函数，但函数在x=0处无意义，故D错误．
故选：BC．
求出f(x)的定义域即可判断A；利用分离常数法求值域判断B；利用幂函数的性质求值判断C；利用奇函数的定义结合举例判断D．
本题考查函数的单调性与奇偶性，考查幂函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：f(x)的定义域为R，
因为f(−x)=|−x|(−x)2+2=|x|x2+2=f(x)，所以f(x)为偶函数，B正确；
对于A：当x=0时f(x)=0，
当x>0时f(x)=xx2+2=1x+2x>0，
因为x+2x≥2 2，当且仅当x=2x，即x= 2取到等号，
所以f(x)=1x+2x∈(0, 24],
根据偶函数的对称性可知，x<0时，f(x)∈(0, 24],
所以f(x)的值域为[0, 24]，A错误；
对于C：由A可知x∈(0,+∞)时f(x)=1x+2x，
由对勾函数性质可知在(0, 2)上单调递增，在( 2,+∞)单调递减，所以C错误；
对于D：当x∈(0,+∞)时f(x)=xx2+2，令xx2+2=14，则x2−4x+2=0，
此时Δ=16−8=8>0，所以方程有两个不同的根，
又因为x1x2=2>0x1+x2=4>0，所以方程有两个不同的正根，
因为f(x)为偶函数，所以当x∈(−∞,0)时也有两个负根，
所以f(x)的图像与g(x)=14的图像有4个不同的交点，D正确，
故选：BD．
根据函数的性质逐个判定即可．
本题综合考查了函数的定义域，值域，奇偶性，单调性及函数零点个数的判断，属于中档题．
13.【答案】±1
【解析】解：因为0∈M，且M={2,x2−1}，所以x2−1=0得x=±1，
当x=±1时，M={2,0}符合互异性．所以x=±1．
故答案为：±1．
根据元素与集合的关系即得．
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
14.【答案】x2−4x+3
【解析】解：令x+1=t，得x=t−1，
∵f(x+1)=x2−2x，
∴f(t)=(t−1)2−2(t−1)=t2−4t+3，
∴f(x)=x2−4x+3．
故答案为：x2−4x+3．
换元：令x+1=t得x=t−1，将其代入f(x+1)的关系式，从而得到f(t)关于t的表达式，从而得到f(x)关于x的表达式．
本题考查利用换元法求函数的解析式，属于基础题．
15.【答案】[0,4]
【解析】解：因为命题“∀x∈R，ax2−ax+1≥0”是真命题，所以ax2−ax+1≥0恒成立，
①当a=0时不等式恒成立，所以a=0符合要求；
②当a≠0时，要使得ax2−ax+1≥0恒成立，则a>0Δ≤0⇒a>0a2−4a≤0，
解得0综上可知a∈[0,4]．
故答案为：[0,4]．
根据真命题得到不等式恒成立，求出参数的取值范围即可．
本题主要考查了命题真假的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题．
16.【答案】(−∞,0)⋃(3,+∞)
【解析】解：由f(x2−ax−6)+f(3a−x)>4得f(x2−ax−6)−2>2−f(3a−x)，
设g(x)=f(x)−2=x3+2x|x|+1(x∈R)则g(−x)=−x3+−2x|x|+1=g(x)
故g(x)为奇函数，
由f(x2−ax−6)+f(3a−x)>4得f(x2−ax−6)−2>2−f(3a−x)，
即g(x2−ax−6)>−g(3a−x)=g(x−3a)，
当x>0时，g(x)=x3+2xx+1=x3−2x+1+2，
根据y=x3在(0,+∞)单调递增，y=−2x+1+2在(0,+∞)单调递增，
故g(x)在(0,+∞)单调递增，又g(x)为奇函数，
故g(x)在R上单调递增，
故由g(x2−ax−6)>g(x−3a)得x2−ax−6>x−3a即a(3−x)+x2−x−6>0，
由题意∃a∈[1,2]使得a(3−x)+x2−x−6>0有解，
当3−x=0时，a(3−x)+x2−x−6=0，不符合题意；
当3−x>0即x<3时，2(3−x)+x2−x−6>0，解得x<0或x>3，故x<0；
当3−x<0即x>3时，1×(3−x)+x2−x−6>0，解得x<−1或x>3，故x>3，
综上可得实数x的取值范围为(−∞,0)⋃(3,+∞)．
故答案为：(−∞,0)⋃(3,+∞)．
根据题意先构造g(x)=x3+2x|x|+1(x∈R)，可得g(x)为奇函数，且在R上单调递增，即可由f(x2−ax−6)+f(3a−x)>4得a(3−x)+x2−x−6>0，将y=a(3−x)+x2−x−6看作为关于a的一次函数，结合∃a∈[1,2]，a(3−x)+x2−x−6>0有解，根据一次函数的单调性分类可得x的取值范围．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)依题意3−x≥02+x>0得：−2(2)B={x|(x−2)(x+3)>0}={x|x>2或x<−3}，
∴A∩B={x|23}，(∁RA)∪B={x|x≤−2或x>2}．
【解析】(1)可求出f(x)的定义域为A={x|−2(2)可求出集合B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．
本题考查了函数定义域的定义及求法，集合的交集、并集和补集的运算，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：f(x)=x+2,x≤1x2,1(Ⅰ)求f(f(12))=f(52)=2×52=5；
(Ⅱ)若f(a)=2，
当a≤1时，a+2=2，解得a=0，符合题意，
当1当a≥2时，2a=2，解得a=1，不符合题意，舍去，
综上所述，a的值为0或 2．
【解析】(Ⅰ)结合函数的解析式，依次将x的值代入，即可求解；
(Ⅱ)分类讨论，即可求解．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=2时，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|−1≤x≤3}，所以A∪B={x|−1≤x≤3}；
(Ⅱ)若选择①A∪B=B，则A⊆B，因为A={x|a−1≤x≤a+1}，所以A≠⌀，
因为B={x|−1≤x≤3}，所以a+1≤3a−1≥−1，解得0≤a≤2，实数a的取值范围是[0,2]．
若选择②，“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B，
由A={x|a−1≤x≤a+1}，可知A≠⌀，
结合B={x|−1≤x≤3}，可得a+1≤3a−1≥−1(等号不同时取得)，解得0≤a≤2，所以实数a的取值范围是[0,2]．
【解析】(Ⅰ)当a=2时，可得A={x|1≤x≤3}，根据并集的法则算出A∪B；
(Ⅱ)根据充分不必要条件的定义，建立关于a的不等式组，解之即可得到a的取值范围．
本题主要考查集合的包含关系、并集的法则、充要条件的判断等知识，考查计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为g(x)=(x+1)f(x)=(x+1)(a−1x)，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且为奇函数，
所以g(−x)+g(x)=(−x+1)(a+1x)+(x+1)(a−1x)=0，
所以a(−x+1+x+1)+−x+1x−x+1x=0，
即2a−2=0，解得a=1．
(2)由(1)知，g(x)=(x+1)(1−1x)=x2−1x，g(x)在[1,3]上单调递增，
证明如下：设∀x1，x2∈[1,3]，且x1则g(x2)−g(x1)=x22−1x2−x12−1x1=(x2−x1)(x1x2+1)x1x2，
因为1≤x10，x2−x1>0x1x2+1>0，
所以g(x2)−g(x1)>0，即g(x2)>g(x1)，
所以g(x)在[1,3]上单调递增．
由g(x)的单调性可知，g(1)≤g(x)≤g(3)，即0≤g(x)≤83，
所以g(x)的值域为[0,83]．
【解析】(1)利用函数为奇函数的性质g(−x)+g(x)=0求解即可；
(2)根据函数单调性的定义证明并利用单调性求值域．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当a=2时，则f(x)=x2−3x+2，由f(x)>0，得x2−3x+2>0，
令x2−3x+2=0，解得x=1，或x=2
∴原不等式的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)；
(2)由f(x)+2x≥0即x2−ax+x+a≥0在(1,+∞)上恒成立，
得a≤x2+xx−1．
令t=x−1(t>0)，
则x2+xx−1=(t+1)2+t+1t=t+2t+3≥2 2+3，当且仅当t=1，即x=2时，取得等号，
∴a≤2 2+3．
故实数a的取值范围是(−∞,2 2+3]．
【解析】(1)把a=2代入可构造不等式x2−3x+2>0，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集．
(2)若f(x)+2x≥0在区间(1,+∞)上恒成立，即a≤x2+xx−1在区间(1,+∞)上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的取值范围．
本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
22.【答案】解：(1)因为f(x)= x在[0,+∞)上单调递增，
所以f(x)= x在[a,b]上的函数值是[ a, b]，
即 a=12a, b=12b,
因为a解得a=0,b=4.
故函数f(x)= x具有性质M．
(2)因为f(x)=|x+4x−5|=x+4x−5,0当[a,b]⊆(0，1)时，f(x)单调递减，
∴f(a)=mb,f(b)=ma,，
即a+4a−5=mab+4b−5=mb，
消去m，整理得(a−b)(a+b−5)=0，
∵a+b=5与[a,b]⊆(0，1)矛盾，
当[a,b]⊆[1,2)时，f(x)在[1,2)单调递增，
∴f(a)=ma,f(b)=mb,，
即a+4a−5=mab+4b−5=mb，
f(x)=mx在[1,2)上有两个不等实根，
即m=f(x)x=−4x2+5x−1在[1,2)上有两个不等实根，
令t=1x∈(12,1]，则ℎ(t)=−4t2+5t−1，
由ℎ(12)=12，ℎ(58)=916，ℎ(1)=0，
根据二次函数的性质可知，12综上，m的取值范围是(12,916)．
【解析】(1)先判断函数在区间[a,b]上单调性，结合已知定义建立关于a，b的方程组，解方程可求a，b；
(2)先化简f(x)，然后结合函数单调性及已知定义可得a，b的方程，从而抽象出方程根的存在问题，利用换元法，结合二次函数的性质可求．
本题以新定义为载体，主要考查了函数的单调性的判断及应用，还考查了二次函数性质的应用，属于中档题．