2023-2024学年四川省宜宾四中高一（上）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年四川省宜宾四中高一（上）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知命题p：∀x>0，3x>x3.则命题p的否定为( )
A. ∀x>0，3x≤x3B. ∀x≤0，3x≤x3
C. ∃x0>0,3x0≤x03D. ∃x0≤0,3x0≤x03
2.若集合A={x|y= x−1}，B={x|x<2}，则A∩B=( )
A. {x|13.设a，b∈R，则“ab<1”是“0A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数y=1x−1+1的图象是下列图象中的( )
A. B. C. D.
5.函数y= −x2+4x+12的单调递减区间为( )
A. (−∞,2)B. [2,+∞)C. [2,6]D. [−2,2]
6.设a>0，b>0，1a+9b=1，若不等式a+b≥m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,8]B. (−∞,16]C. (−∞,7]D. [16,+∞)
7.已知函数f(x)是偶函数，当0≤x10恒成立，设a=f(−12)，b=f(−2)，c=f(23)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a8.关于x的一元二次方程(m−2)x2+(2m+1)x+m−2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是( )
A. m>34B. 3434且m≠2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={x|x≤ 13}，a=2 3，那么下列关系正确的是( )
A. a∈AB. a⊆AC. {a}∉AD. {a}⊆A
10.已知集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|(x−1)(ax−1)=0}，若B⊆A，则实数a的值可以为( )
A. 2B. 1C. 12D. 0
11.已知关于x的不等式ax2−2x+3a<0在0A. −3B. −2C. 1D. 2
12.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，且对∀x∈R，f(x+4)=f(−x)恒成立，则( )
A. f(x)为奇函数B. f(3)=0
C. f(12)=−f(52)D. f(x)是以8为周期的函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=(2k+1)x+b在(−∞,+∞)上是减函数，则k的取值范围是______．
14.设全集S={x∈N+|x≤6}，集合A={2,4,6}，则∁SA= ______ ．
15.已知f(x)=(3−a)x−4a,x<1ax2−3x,x≥1是R上的严格增函数，那么实数a的取值范围是______．
16.函数f(x)=x− 2x+3的值域为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|2a+1≤x≤3a+5}，B={x|x≤−2或x≥5}．
(1)若a=−2，求A∪B；
(2)A∩B=A，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知a，b∈R+，且a+10b=1
(1)求ab的最大值；
(2)求1a+1b的最小值．
19.(本小题12分)
设函数f(x)=mx2−mx−1．
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(−1,n)，求实数m，n的值；
(2)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+b4+x2是定义域为(−2,2)上的奇函数，且a>0．
(1)求b的值，并用定义证明：函数f(x)在(−2,2)上是增函数；
(2)若实数t满足f(2t−1)+f(t−1)<0，求实数t的范围．
21.(本小题12分)
首届世界低碳与生态经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2−200x+45000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x+y)−f(y)=x(x+2y+1)成立，且f(1)=0．
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)设P：当0答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：命题p：∀x>0，3x>x3，该命题的否定为∃x0>0,3x0≤x03．
故选：C．
先改写量词，然后否定结论即可得到．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合的描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵A={x|x≥1}，B={x|x<2}，
∴A∩B={x|1≤x<2}．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：由00，则ab<1，故必要性成立；
当a=1，b=−1时，满足ab<1，不满足0故“ab<1”是“0故选：B．
利用充分，必要条件的定义分别判断即可求解．
本题考查了充分必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数y=1x向右平移1单位，得到y=1x−1的图象，向上平移1单位，可得函数y=1x−1+1的图象．
故选：B．
利用函数的图象的变换，判断选项即可．
本题考查函数的图象以及函数的图象的变换，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由−x2+4x+12≥0，解得−2≤x≤6，即原函数的定义域为[−2,6]．
原函数可看作由函数y= t和t=−x2+4x+12复合而成的，
因为函数y= t单调递增，所以，要求原函数的减区间只需求出t=−x2+4x+12的减区间，
而t=−x2+4x+12=−(x−2)2+16的减区间为[2,6]．
所以原函数的单调减区间是[2,6]
故选：C．
先求出原函数的定义域，然后把原函数分解为两基本函数y= t和t=−x2+4x+12，由复合函数单调性的判定方法知，要求原函数的减区间只需在定义域内求出t=−x2+4x+12的增区间即可．
本题考查复合函数单调性的判定及对数函数的单调性，注意复合函数单调性的判定方法：同增异减．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
由1a+9b=1结合乘法和基本不等式可得a+b的最小值，由题意可得m≤(a+b)min，即可得到所求范围．
【解答】
解：a>0，b>0，1a+9b=1，
则a+b=(a+b)(1a+9b)=1+9ab+ba+9≥10+2 9ab⋅ba=16，
当且仅当b=3a，a=4，b=12，上式取得等号，
由不等式a+b≥m恒成立，可得m≤(a+b)min=16，
故选B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数单调性的判断和应用，涉及函数奇偶性的应用，属于基础题．
利用函数单调性的定义，判断得到f(x)的单调性，结合偶函数的定义，即可判断大小．
【解答】
解：当0≤x10恒成立，
则f(x2)−f(x1)>0恒成立，即f(x2)>f(x1)，
所以函数f(x)在[0,+∞)上为单调递增函数，
因为f(x)为偶函数，
所以a=f(−12)=f(12)，b=f(−2)=f(2)，c=f(23)=f(8)，
故a故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：因为关于x的一元二次方程(m−2)x2+(2m+1)x+m−2=0有两个不相等的正实数根，
所以m−2≠0Δ=(2m+1)2−4(m−2)2>0−2m+1m−2>0m−2m−2=1>0，解得34所以m的取值范围是{m|34故选：B．
根据关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和根与系数的关系求解即可．
本题考查了一元二次方程有两个不相等的正实数根应用问题，是基础题．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查∈，∉，⊆，⊈符号的正确使用，子集的判断，属于基础题．
由元素和集合的关系应该用∈，∉；集合与集合之间关系用⊆，⫋，以及子集概念进行判断．
【解答】
解：对于A：2 3═ 12且12<13，∴2 3< 13，a 在集合A中，即a∈A.故A正确；
对于B：a是元素A是集合它们之间的关系用∈，∉，不能用⊆，故B错误；
对于C：{a}，A都表示集合它们之间的关系用⊆，⫋，不能用∉，故C错误；
对于D：由于a∈A，故{a}⊆A，故D正确．
故选：AD．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为集合A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，B={x|(x−1)(ax−1)=0}，
又B⊆A，
当B={1}时，则a=0或1，
当B={1,2}时，则a=12，
故选：BCD．
根据题意，可分B={1}，B={1,2}两种情况讨论，从而可解．
本题考查集合间的包含关系，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：由x∈(0,2]，不等式ax2−2x+3a<0有解，
可得：a<2xx2+3，则a<(2xx2+3)max，
设y=2xx2+3，当0当且仅当x= 3时取等号，所以a< 33，故AB正确，CD错误．
故选：AB．
由x∈(0,2]，ax2−2x+3a<0，可得：a<2xx2+3，求出函数y=2xx2+3的最大值即可．
本题考查了一元二次不等式的应用，涉及到不等式有解以及求解函数最值的问题，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，因为f(x+1)为奇函数，所以f(1−x)=−f(1+x)，故f(x+2)=−f(−x)f(2−x)=−f(x)，
又f(x+4)=f(−x)，所以f(2+x)=f(2−x)，故f(x+2)=−f(−x)=−f(x)，
所以f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数，A错误；
对于B，f(x+1)为奇函数，所以f(1)=0，f(2+x)=f(2−x)，
所以f(3)=f(1)=0，B正确；
对于C，由B的结论，有f(52)=f(32)，又f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(32)=−f(12)，
所以f(12)=−f(52)，C正确；
对于D，又f(x+4)=f(−x)=f(x)，则f(x+8)=f(x)，所以f(x)是以8为周期的函数，D正确．
故选：BCD．
根据题意，根据函数定义换算可得f(x)为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知f(x)为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和周期性，属于中档题．
13.【答案】k<−12
【解析】【分析】
本题主要考查一次函数单调性与系数之间的关系，要求熟练掌握一次函数的图象和性质．
根据一次函数单调性与一次项系数之间的关系，可知2k+1<0，解不等式即可．
【解答】
解：∵f(x)=(2k+1)x+b在(−∞,+∞)上是减函数，
∴2k+1<0，
解得k<−12．
故答案为：k<−12．
14.【答案】{1,3,5}
【解析】解：全集S={x∈N+|x≤6}={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,4,6}，
则∁SA={1,3,5}．
故答案为：{1,3,5}．
根据已知条件，结合补集的定义，即可求解．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
15.【答案】[32,3)
【解析】解：因为f(x)=(3−a)x−4a,x<1ax2−3x,x≥1是R上的严格增函数，
故3−a>0a>032a≤13−a−4a≤a−3，解得32≤a<3，
故所求a的范围是[32,3)．
故答案为：[32,3)．
分段函数在R上严格递增，只需在每一段上递增，且在x=1处满足不减即可，由此构造关于a的不等式组．
本题考查分段函数单调性的判断方法，以及一次函数、二次函数的单调性，属于中档题．
16.【答案】[−2,+∞)
【解析】解：设 2x+3=t，t≥0，则x=12t2−32，
所以y=12t2−t−32=12(t−1)2−2≥−2，t=1等号成立，
所以函数f(x)=x− 2x+3的值域为[−2,+∞)．
故答案为：[−2,+∞)．
利用换元法，结合二次函数的性质即可求解．
本题主要考查函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)a=−2时，A={x|−3≤x≤−1}，且B={x|x≤−2或x≥5}，
∴A∪B={x|x≤−1或x≥5}；
(2)∵A∩B=A，
∴A⊆B，
①A=⌀时，2a+1>3a+5，解得a<−4；
②A≠⌀时，a≥−43a+5≤−2或2a+1≥5，解得−4≤a≤−73或a≥2，
综上得，实数a的取值范围为：{a|a≤−73或a≥2}．
【解析】(1)a=−2时求出集合A，然后进行并集的运算即可；
(2)根据条件得出A⊆B，然后讨论A是否为空集：A=⌀时，2a+1>3a+5；A≠⌀时，2a+1≤3a+53a+5≤−2或2a+1≥5，然后解出a的范围即可．
本题考查了交集和并集的定义及运算，分类讨论的思想，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为a>0，b>0，所以a+10b=1≥2 10ab，所以ab≤140，
当且仅当a=10b，即a=12，b=120时，等号成立，所以ab的最大值为140；
(2)因为a+10b=1(a>0,b>0)，所以1a+1b=(a+10b)(1a+1b)=11+10ba+ab≥11+2 10，
当且仅当10ba=ab，即a= 10−19，b=10− 1090时，等号成立，
所以1a+1b的最小值为11+2 10．
【解析】(1)根据基本不等式得出1≥2 10ab，然后即可求出ab的最大值；
(2)根据“1的代换”及基本不等式即可求出最小值．
本题考查了基本不等式求最值，及1的代换，是基础题．
19.【答案】解：(1)设函数f(x)=mx2−mx−1，若关于x的不等式f(x)<0的解集为(−1,n)，
可得−1，n为方程mx2−mx−1=0的两根，
则2m−1=0,−1×n=−1m，解得m=12,n=2，
所以实数m，n的值分别为12，2；
(2)根据题意，mx2−mx−1<0对任意的x∈R恒成立，
当m=0时，−1<0恒成立，满足题意；
当m≠0时，要满足题意，则m<0，Δ=m2+4m<0，解得m∈(−4,0)；
综上所述，m∈(−4,0]，
所以m的取值范围为(−4,0]．
【解析】(1)根据一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，求解即可；
(2)根据二次函数恒成立，结合对参数m的分类讨论，即可求得结果．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)是定义域在(−2,2)上的奇函数，
则f(0)=0，即有f(0)=b4=0，解可得b=0，则f(x)=ax4+x2，
证明：设−2则f(x1)−f(x2)=ax1x12+4−ax2x22+4=a(x1−x2)(4−x1x2)(x12+4)(x22+4)，
因为−2所以x1−x2<0,4−x1x2>0,x12+4>0,x22+4>0，
则f(x1)故函数f(x)在(−2,2)上是增函数；
(2)根据题意，f(2t−1)+f(t−1)<0，即f(2t−1)<−f(t−1)=f(1−t)，
则有−2<2t−1<2−2【解析】(1)先利用奇函数的性质，求出b=0，从而得到f(x)，然后由函数单调性的定义证明即可；
(2)先利用奇函数的定义将不等式进行等价变形，然后由函数的单调性去掉“f”，列出不等式组，求解即可．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2−200x+45000，
∴二氧化碳每吨的平均处理成本为yx=12x+45000x−200≥2 12x⋅45000x−200=100，-----------------(4分)
当且仅当12x=45000x，即x=300时等号成立，-------------------(5分)
故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为100元．----------------------------(6分)
(2)该单位每月能获利．
设该单位每月获利为S元，则
S=200x−y=−12x2+400x−45000=−12(x−400)2+35 000，--------------(9分)
因为x∈[300,600]，所以S∈[15 000，35 000].-----------------(11分)
故该单位每月获利，最大利润为35000元．-----------------------(12分)
【解析】(1)由题意月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y=12x2−200x+45000，两边同时除以x，然后利用基本不等式从而求出最值；
(2)设该单位每月获利为S，则S=200x−y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解
此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和基本不等式，及运用配方法求函数的最值．
22.【答案】解：(1)令x=−1，y=1，得f(0)−f(1)=−1×(−1+2+1)，
则由f(1)=0，得f(0)=−2．
(2)令y=0，则f(x)−f(0)=x(x+1)，又f(0)=−2，
故f(x)=x2+x−2．
(3)∵f(x)+3<2x+a⇔x2+x−2+3<2x+a⇔x2−x+1当0∴A={a|a≥1}．
∵g(x)=x2+x−2−ax=x2+(1−a)x−2在[−2,2]上是单调函数，
∴a−12≤−2或a−12≥2⇒a≤−3或a≥5，
∴B={a|a≤−3或a≥5}．
∴A∪B={a|a≥1或a≤−3}
故P、Q至少有一个成立时，a的取值范围为{a|a≥1或a≤−3}．
【解析】(1)令x=−1，y=1，则由已知f(0)−f(1)=−1×(−1+2+1)，即可求解f(0)的值；
(2)令y=0，则f(x)−f(0)=x(x+1)，再由f(0)=−2，即可求解函数的解析式；
(3)由不等式f(x)+3<2x+a，得到x2−x+1本题考查了抽象函数及其应用，二次函数的性质，函数不等式恒成立，属于中档题．

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