2019-2020学年四川省遂宁市射洪市英才班高一（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2019-2020学年四川省遂宁市射洪市英才班高一（上）期末数学试卷（理科），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年四川省遂宁市射洪市英才班高一（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（6分）已知集合A＝{x∈N|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|2x≤2}，则集合A∩B的子集的个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（6分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（　　）
A． B． C． D．
3．（6分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
4．（6分）已知x＝是函数f（x）＝2（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）在上的最小值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
5．（6分）给出下列命题，其中正确的命题的个数（　　）
①函数图象恒在x轴的下方；
②将y＝2x的图象经过先关于y轴对称，再向右平移1个单位的变化后为y＝21﹣x的图象；
③若函数的值域为R，则实数a的取值范围是（﹣1，1）；
④函数f（x）＝ex的图象关于y＝x对称的函数解析式为y＝lnx．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（6分）函数f（x）＝，则函数h（x）＝f（x）﹣log4x的零点个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题6分，共18分，请把答案填在答题卡内横线上）。
7．（6分）函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）＝，则f（f（15））的值为　 　．
8．（6分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是　 　小时．
9．（6分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），x＝﹣为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为　 　．
三、解答题（本大题共3小题，共46分。应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。
10．（15分）已知函数．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（2）若方程在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．
11．（15分）若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x0”
（1）若函数在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）＝lg（）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．
12．（16分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），对任意实数x，y∈（﹣1，1），都有f（x）+f（y）＝f（）
（1）若f（）＝2，f（）＝1，且m，n∈（﹣1，1），求f（m），f（n）的值；
（2）若a为常数，函数g（x）＝lg（a﹣）是奇函数
①验证函数g（x）满足题中的条件；
②若函数h（x）＝，求函数y＝h[h（x）]﹣2的零点个数．

2019-2020学年四川省遂宁市射洪市英才班高一（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（6分）已知集合A＝{x∈N|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|2x≤2}，则集合A∩B的子集的个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而可得出集合A∩B的子集的个数．
【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤4}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x≤1}，
∴A∩B＝{0，1}，
∴集合A∩B的子集的个数为：22＝4．
故选：C．
2．（6分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】将点的坐标化简，据点的坐标的符号判断出点所在的象限，利用三角函数的定义求出角α的正弦，求出角α的最小正值
【解答】解：＝
∴角α的终边在第四象限
∵到原点的距离为1
∴
∴α的最小正值为
故选：D．
3．（6分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）＝xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a＝g（﹣log25.1）＝g（log25.1），则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c
【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）＝0，且f′（x）＞0，
∴g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）＝xf（x）偶函数，
∴a＝g（﹣log25.1）＝g（log25.1），
则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，
由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），
∴b＜a＜c，
故选：C．
4．（6分）已知x＝是函数f（x）＝2（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）在上的最小值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的解析式．根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在上的最小值．
【解答】解：因为x＝是函数f（x）＝2（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，
所以2×+φ+＝kπ+，k∈Z，所以φ＝，即f（x）＝2sin（2x+）．
将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位后，
得到函数g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）＝﹣2sin（2x﹣）的图象，
在上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝时，g（x）取得最小值为﹣1，
故选：D．
5．（6分）给出下列命题，其中正确的命题的个数（　　）
①函数图象恒在x轴的下方；
②将y＝2x的图象经过先关于y轴对称，再向右平移1个单位的变化后为y＝21﹣x的图象；
③若函数的值域为R，则实数a的取值范围是（﹣1，1）；
④函数f（x）＝ex的图象关于y＝x对称的函数解析式为y＝lnx．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】对于①，这是一个复合函数，可判断出x2﹣2x+3＞2，再结合对数函数的单调性可得图象；
对于②，利用对称和平移的基本结论可得移动后图象；
对于③，因为值域为R，所以x2﹣2ax+1取遍所有的正数，所以△＝4a2﹣4＜0，解出a的取值范围即可；
对于④，交换x，y位置即可得新函数解析式．
【解答】解：对于①，因为x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞2，根据对数性质可知＜＝﹣1，所以对应函数的图象恒在x轴的下方，故①对；
对于②，函数y＝2x图象关于y轴对称后得到的函数解析式为＝2﹣x，向右移动一个单位后得到y＝2﹣（x﹣1）＝21﹣x，故②对；
对于③，若函数值域为R，令f（x）＝x2﹣2ax+1，则可得f（x）可以取所有的正数，∴△＝4a2﹣4＜0，故实数a的取值范围是（﹣1，1），故③正确；
对于④，令y＝x，得x＝ey，所以y＝lnx，故④对；
综上正确的个数为4个，
故选：D．
6．（6分）函数f（x）＝，则函数h（x）＝f（x）﹣log4x的零点个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】函数h（x）＝f（x）﹣log4x的零点个数⇔函数f（x）与函数y＝log4x的图象交点个数．
画出函数f（x）与函数y＝log4x的图象（如图），根据图象可得答案．
【解答】解：函数h（x）＝f（x）﹣log4x的零点个数⇔函数f（x）与函数y＝log4x的图象交点个数．
画出函数f（x）与函数y＝log4x的图象（如图），
根据图象可得函数f（x）与函数y＝log4x的图象交点为5个．
∴函数h（x）＝f（x）﹣log4x的零点个数为5个．
故选：D．

二、填空题（每题6分，共18分，请把答案填在答题卡内横线上）。
7．（6分）函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）＝，则f（f（15））的值为　　．
【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．
【解答】解：由f（x+4）＝f（x）得函数是周期为4的周期函数，
则f（15）＝f（16﹣1）＝f（﹣1）＝|﹣1+|＝，
f（）＝cos（）＝cos＝，
即f（f（15））＝，
故答案为：
8．（6分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是　24　小时．
【分析】由题意可得，x＝0时，y＝192；x＝22时，y＝48．代入函数y＝ekx+b，解方程，可得k，b，再由x＝33，代入即可得到结论．
【解答】解：由题意可得，x＝0时，y＝192；x＝22时，y＝48．
代入函数y＝ekx+b，
可得eb＝192，e22k+b＝48，
即有e11k＝，eb＝192，
则当x＝33时，y＝e33k+b＝×192＝24．
故答案为：24．
9．（6分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），x＝﹣为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为　5　．
【分析】由函数的零点和对称轴可得ω＝2（n﹣k）+1，k∈Z，n∈Z，为奇数，结合单调性可得•≥﹣，求得ω的范围，结合ω是奇数，求得ω的最大值．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），x＝﹣为f（x）的零点，
故有sin（﹣ω+φ）＝0，∴﹣ω+φ＝kπ，k∈Z①，
∵x＝为y＝f（x）图象的对称轴，∴sin（ω+φ）＝±1，
∴ω+φ＝nπ+，n∈Z②．
由①②可得ω＝2（n﹣k）+1，为奇数．
∵f（x）在（，）上单调，
∴•≥﹣，ω≤6，
故ω的最大值为5，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共3小题，共46分。应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。
10．（15分）已知函数．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（2）若方程在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．
【分析】（1）f（x）＝sin（2x﹣）．利用正弦函数的单调性最值即可得出．
（2）由（1）知，函数f（x）图象的对称轴，利用方程f（x）＝在（0，π）上的解x1，x2与对称轴的关系，即可得出．
【解答】解：（1）f（x）＝sin（2x﹣）．当2x﹣＝+2kπ（k∈Z），……………（1分）
即x＝π+kπ（k∈Z）时，函数f（x）取最大值，且最大值为1．………（5分）
（2）由（1）知，函数f（x）图象的对称轴为x＝π+kπ（k∈Z），……………（7分）
∴当x∈（0，π）时，对称轴为x＝π．……………………………（9分）
又方程f（x）＝在（0，π）上的解为x1，x2．
∴x1+x2＝π，则x1＝π﹣x2，……………………………（11分）
∴cos（x1﹣x2）＝cos（﹣2x2）＝sin（2x2﹣），…………………………（13分）
又f（x2）＝sin（2x2﹣）＝，
故cos（x1﹣x2）＝． ……………………………（15分）
11．（15分）若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x0”
（1）若函数在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）＝lg（）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．
【分析】（1）在（0，1）上有“溜点”，利用定义，推出在（0，1）上有解，转化h（x）＝4mx﹣1与的图象在（0，1）上有交点，然后求解即可．
（2）推出a＞0，在（0，1）上有解，设，令t＝2x+1，由x∈（0，1）则t∈（1，3），利用基本不等式求解，得到实数a的取值范围．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）在（0，1）上有“溜点”，
即f（x+1）＝f（x）+f（1）在（0，1）上有解，
即在（0，1）上有解，
整理得在（0，1）上有解，
从而h（x）＝4mx﹣1与的图象在（0，1）上有交点，
故h（1）＞g（1），即，得，
（2）由题已知a＞0，且在（0，1）上有解，
整理得，又．
设，令t＝2x+1，由x∈（0，1）则t∈（1，3）．
于是则．
从而．
故实数a的取值范围是．
12．（16分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），对任意实数x，y∈（﹣1，1），都有f（x）+f（y）＝f（）
（1）若f（）＝2，f（）＝1，且m，n∈（﹣1，1），求f（m），f（n）的值；
（2）若a为常数，函数g（x）＝lg（a﹣）是奇函数
①验证函数g（x）满足题中的条件；
②若函数h（x）＝，求函数y＝h[h（x）]﹣2的零点个数．
【分析】（1）根据抽象函数的表达式，分别令x＝y＝0，和y＝﹣x，可得函数的奇函数，再根据其定义即可求出f（m），f（n）的值，
（2）根据奇函数的性质，求出a＝1，①结合对数的运算性质，即可验证，
②由y＝h[h（x）]﹣2，得h[h（x）]＝2，令t＝h（x），则h（t）＝2，作出图象，分类讨论，即可求出零点的个数．
【解答】解：（1）令x＝y＝0，得f（0）＝0，
再令y＝﹣x，得f（x）+f（﹣x）＝0，则f（﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）在（﹣1，1）上为奇函数，
∴f（）＝f（m）+f（﹣n）＝f（m）﹣f（n）＝1，
f（）＝f（m）+f（n）＝2，
解得f（m）＝，f（n）＝，
（2）∵a为常数，函数g（x）＝lg（a﹣）是奇函数，得g（0）＝lga＝0＝lg1，
∴a＝1，
此时g（x）＝lg（1﹣）＝lg，满足函数g（x）为奇函数，且g（0）＝0有意义，
①由＞0，解得﹣1＜x＜1，则对任意实数x，y∈（﹣1，1），
有g（x）+g（y）＝lg+lg＝lg（•）＝lg，
g（）＝lg＝lg，
∴g（x）+g（y）＝g（），
②由y＝h[h（x）]﹣2，得h[h（x）]＝2，
令t＝h（x），则h（t）＝2，
作出图象，
当k＝0时，令t＝h（x），
则h（t）＝2，解得t＝﹣，
则lg＝﹣，此时只有一个解，即只有一个零点，
当k＜0时，只有一个﹣1＜t＜0，对应3个零点，
当0＜k≤1时，1＜k+1≤2，此时t1＜﹣1，﹣1＜t2＜0，t3＝≥1，
由k+1﹣＝＝（k+）（k﹣），
得在＜k≤1，k+1＞，三个t分别对应一个零点，共3个，
在0＜k≤时，k+1≤，三个t分别对应1个，1个，3个零点，共5个，
综上所述：当k＝0或k＞1时，y＝h[h（x）]﹣2只有1个零点，
当k＜0或＜k≤1时，y＝h[h（x）]﹣2有3个零点，
当0＜k≤时，y＝h[h（x）]﹣2有5个零点．