2022-2023学年安徽省阜阳市太和县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省阜阳市太和县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使分式2x−1有意义，x必须满足的条件是( )
A. x≠0B. x≠1C. x<1D. x>1
2.下列运算正确的是( )
A. a−3+a−4=a−7B. (a3)−2=a
C. a−2a5=a3D. a−8÷a−2=a6(a≠0)
3.下列图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.把0.000000125这个数据用科学记数法可表示为( )
A. 0.125×10−7B. 125×10−6C. 1.25×10−7D. 0.125×10−8
5.如果把分式10xyx+y中的x，y都扩大10倍，则分式的值( )
A. 缩小10倍B. 扩大10倍C. 不变D. 缩小到原来的110
6.一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
7.根据下列条件，能画出唯一△ABC的是( )
A. ∠A=60°，∠B=45°，AB=4B. AB=3，BC=4，AC=8
C. AB=4，BC=3，∠A=30°D. ∠C=90°，AB=6
8.根据如图所示的图形变换，可以得到的恒等式为( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2−(a−b)2=4abD. a2−b2=(a+b)(a−b)
9.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( )
A. AF=BF
B. AE=12AC
C. ∠DBF+∠DFB=90°
D. ∠BAF=∠EBC
10.小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为v1千米/时，下山的速度为v2千米/时，则小强上山和下山的平均速度为( )
A. v1+v22千米/时B. 2sv1+v2千米/时C. ssv1+sv2千米/时D. 2v1v2v1+v2千米/时
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.因式分解：2x3−8x=______．
12.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC=120°，AD=3，则BC的长为______ ．
13.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ．
14.如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是__________．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
15.解方程：23x−1−1=36x−2．
四、解答题：本题共8小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：−(12)−2+25÷23−( 5−1)0．
17.(本小题8分)
如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求证：△ABC≌△DEF．
18.(本小题8分)
2022年第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽的形象，深受大家喜爱.某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件.求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价．
19.(本小题12分)
观察以下等式：
第1个等式：13×(1+12)=1−12，
第2个等式：24×(1+13)=1−13，
第3个等式：35×(1+14)=1−14，
第4个等式：46×(1+15)=1−15．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______ ；
(2)写出你猜想的第(n−1)个(n≥2)等式：______ (用含n的等式表示)，并证明．
20.(本小题12分)
如图，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
(1)作△ABC关于x轴的对称图形△DEF，(其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F)，则点D坐标为______ ；
(2)P为x轴上一点，请在图中画出使得PD=PE的点P，此时点P的坐标为______ ．
21.(本小题12分)
如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE．
(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？
(2)△ADE是等边三角形吗？请说明理由．
22.(本小题12分)
发现与探索．
(1)根据小明的解答将a2−12a+20因式分解；
(2)根据小丽的思考，求代数式a2−12a+20的最小值．
23.(本小题12分)
如图，在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF，连接AD．
(1)求证：
①DE=DF；
②∠ADB=60°．
(2)若点G在AB上，且∠EDG=60°，猜想CE、EG、BG之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：当分母不等于0，即x−1≠0，
解得，x≠1．
故选：B．
由分式有意义的条件，得x−1≠0，求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于0时，分式才有意义．
2.【答案】C
【解析】解：A选项，a−3=1a3(a≠0)，a−4=1a4(a≠0)不是同类项，不能进行合并，故A选项错误，不符合题意；
B选项，(a3)−2=a−6=1a6(a≠0)，故B选项错误，不符合题意；
C选项，a−2a5=a−2+5=a3，故C选项正确，符合题意；
D选项，a−8÷a−2=a−8−(−2)=a−6=1a6(a≠0)，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的混合运算法则即可求解．
本题主要考查同底数幂的混合运算，掌握同底数幂的运算法则，负指数幂的运算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，结合选项即可得出答案，中心对称图形的定义：在一个平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心．
本题考查了轴对称图形的判断，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．
4.【答案】C
【解析】解：根据科学记数法和负整数指数幂的意义可知：0.000000125=1.25×10−7．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】B
【解析】解：把分式10xyx+y中的x，y都扩大10倍，则分式为10⋅10x⋅10y10x+10y=1000xy10(x+y)=100xyx+y=10⋅10xyx+y．
∴分式的值扩大10倍．
故选：B．
根据分式的基本性质解决本题．
本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°−135°=45°，
∴这个多边形的边数为：360°÷45°=8．
故选：D．
由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的内角和与外角和定理是关键．
7.【答案】A
【解析】解：A、角边角，能唯一确定三角形．本选项符合题意；
B、3+4=7，不满足三边关系，本选项不符合题意；
C、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意，
D、边角，不能确定三角形．本选项不符合题意．
故选：A．
根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】D
【解析】解：左图①②两部分的面积和可表示为a2−b2，
由①②拼成的右图的长为(a+b)，宽为(a−b)，面积为(a+b)(a−b)，
因此有a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：D．
分别表示左右两个图形中①②两部分的面积和，即可得出答案．
本题考查平方差公式的几何背景，表示两个图形的面积是得出答案的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由图中尺规作图痕迹可知，
BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得AF=BF，
故A选项不符合题意；
∵DF为线段AB的垂直平分线，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠DFB=90°，
故C选项不符合题意；
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠EBC，
∵AF=BF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴∠BAF=∠EBC，
故D选项不符合题意；
根据已知条件不能得出AE=12AC，
故B选项符合题意．
故选：B．
由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．
本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：2s÷(sv1+sv2)=2s÷s(v1+v2)v1v2=2s×v1v2s(v1+v2)=2v1v2v1+v2千米/时．故选D．
平均速度=总路程÷总时间，根据公式列式化简即可．
总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
11.【答案】2x(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
先提公因式2x，分解成2x(x2−4)，而x2−4可利用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
【解答】
解：2x3−8x=2x(x2−4)=2x(x+2)(x−2)．
故答案为2x(x+2)(x−2)．
12.【答案】9
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=12×(180°−120°)=30°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=120°−90°=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，且AD=3，
∴AD=CD=3，
在Rt△ABD中，∠B=30°，∠BAD=90°，
∴BD=2AD=2×3=6，
∴BC=BD+DC=6+3=9，
故答案为：9．
根据AB=AC，∠BAC=120°，可求出∠B，∠C，∠DAC的度数，得等腰三角形DAC，在根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
本题主要考查等腰三角形，含30°角的直角三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的角与边的关系是解题的关键．
13.【答案】15
【解析】【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质和三角形三边关系有关知识，首先根据题意对该题进行分类讨论，然后再进行计算即可解答.同时，要考虑三角形的三边关系．
【解答】
解：当3为等腰三角形的腰时，不满足三角形的三边关系，
则3不能是等腰三角形的腰；
当6为等腰三角形的腰时，满足三角形的三边关系，
则等腰三角形的周长为：6+6+3=15．
故答案为15．
14.【答案】6
【解析】【解答】
解：如图，连接CF，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
当C，E，F三点共线时，EB+EF=EC+EF=CF，
∵等边△ABC中，F是边AB的中点，
∴CF=AD=6，
∴EB+EF的最小值为6，
故答案为：6
【分析】
先连接CF，再根据EB=EC，将EB+EF转化为EC+EF，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为EB+EF的最小值．
本题主要考查等边三角形的性质和最短距离问题，熟练掌握和运用等边三角形的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
15.【答案】解：方程两边同时乘以2(3x−1)，得4−2(3x−1)=3，
化简，−6x=−3，解得x=12．
检验：x=12时，2(3x−1)=2×(3×12−1)≠0
所以，x=12是原方程的解．
【解析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程中x的值，代入最简公分母进行检验即可．
本题考查的是解分式方程．在解答此类题目时要注意验根，这是此类题目易忽略的地方．
16.【答案】解：−(12)−2+25÷23−( []5−1)0
=−4+22−1
=−1．
【解析】根据负指数幂，非零数的零次幂，同底数幂的运算法则即可求解．
本题主要考查同底数幂，负指数幂，非零数的零次幂的综合，掌握负指数幂，非零数的零次幂，同底数幂的运算法则是解题的关键．
17.【答案】证明：∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E BC=EF ∠ACB=∠DFE ，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
【解析】根据线段的和差得出BC=EF，利用ASA证明△ABC≌△DEF即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为(1+20%)x元，依题意得：
3000x−3000(1+20%)x=10，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．
∴第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元．
【解析】设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第一次购进的数量为3000x，第二次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为(1+20%)x元，则第二次购进的数为3000(1+20%)x，根据第二次购进的数量比第一次少了10件，由此可列方程求解．
本题主要考查方程的实际运用，理解题目中的数量关系，运用方程思想是解题的关键．
19.【答案】57×(1+16)=1−16 n−1n+1×(1+1n)=1−1n
【解析】解：(1)第5个等式：57×(1+16)=1−16，
故答案为：57×(1+16)=1−16；
(2)猜想的第(n−1)个等式n−1n+1×(1+1n)=1−1n，
故答案为：n−1n+1×(1+1n)=1−1n．
证明：∵左边=n−1n+1×(1+1n)=n−1n+1×n+1n=n−1n=1−1n=右边，
∴等式成立．
(1)根据题目中给出的式子，可以发现式子的第一个分数的分子是第几个式子，分母比分子大2，括号内第二个数的分母比第一个分数的分母小1，结果是等号左边式子中括号内的两数的差，然后即可写出第5个等式；
(2)根据(1)中的发现，可以写出相应的猜想，然后再证明即可．
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键时发现数字的变化特点，写出相应的等式．
20.【答案】(−2,−4) (0,0)
【解析】解：(1)如图所示，△DEF即为所求，D点坐标为(−2,−4)，
故答案为：(−2,−4)；
(2)如图所示：P(0,0)，
故答案为：(0,0)．
(1)首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点，再连接即可；
(2)画出DE的垂直平分线，即可确定P点位置．
此题主要考查了作图--轴对称变换，以及线段的垂直平分线的性质，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．
21.【答案】解：(1)△ABD≌△ACE，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠1=∠2BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)△ADE是等边三角形，
理由：∵△ABD≌△ACE
∴AD=AE，∠CAE=∠BAD=60°，
由AD=AE得△ADE是等腰三角形，
又∵∠CAE=60°，
∴等腰△ADE是等边三角形．
【解析】(1)根据等边三角形的性质得AB=AC，再根据SAS得△ABD≌△ACE；
(2)根据△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°，再根据等边三角形的判定得△ADE为等边三角形．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】解：(1)a2−12a+20
=a2−12a+36−36+20
=(a−6)2−42
=(a−10)(a−2)；
(2)a2−12a+20
=a2−12a+36−36+20
=(a−6)2−16，
无论a取何值(a−6)2都大于等于0，再加上−16，
则代数式(a−6)2−16大于等于−16，
则a2−12a+20的最小值为−16．
【解析】(1)将a2−12a+20改写为a2−12a+36−36+20，再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
(2)根据题意，将a2−12a+20化为(a−6)2−16，即可进行解答．
本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握(a±b)2=a2±2ab+b2，a2−b2=(a+b)(a−b)．
23.【答案】(1)证明：①在四边形ABCD中∠A=60°，∠CDB=120°，
∵∠A+∠ABD+∠CDB+∠C=360°，
∴∠ABD+∠C=180°，
又∵∠ABD+∠DBF=180°，
∴∠C=∠DBF．
在△CDE和△BDF中，CE=BF，∠C=∠DBF，DC=DB，
∴△CDE≌△BDF(SAS)．
∴DE=DF．
②连接AD，在△ACD和△ABD中，AC=AB，DC=DB，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD(SSS)．
∴∠ADC=∠ADB．
又∵∠CDB=120°，
∴∠ADB=60°．
(2)解：猜想CE、EG、BG之间的数量关系是EG=GB+CE，理由如下：
∵∠CDB=120°，∠ADB=60°，
∴∠CDE+∠BDG=60°．
由(1)知△CDE≌△BDF，
∴∠CDE=∠FDB．
∴∠GDF=∠BDG+∠BDF=∠CDE+∠BDG=60°，
又∵∠EDG=60°，
∴∠EDG=∠GDF．
在△EDG和△FDG中，DE=DF，∠EDG=∠GDF，DG=DG，
∴△EDG≌△FDG(SAS)．
∴EG=GF=GB+BF=GB+CE．
【解析】(1)①在本题中证线段相等，需三角形全等，线段DE，DF在△CDE，△FDB中，②证明∠ADB=60°，需要连接AD，得全等△ABD和△ACD，得出∠的度数．
(2)3条线段的关系，一般情况下，就是两短线之和等于长线段，有(1)可知CE=BF，及CE+BG=BF+BG=GF，这样就转化为EG与GF的关系，又回到三角形是否全等的问题．
本题考查了全等三角形的判定、性质、角的计算，解题的关键是：(1)找出全等的三角形，及△CDE≌△BDF；△ACD≌△ABD，(2)证出EG=FG.本题难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．