2023-2024学年山东省淄博五中高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博五中高二（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线l的斜率k∈[-1, 3]，则该直线的倾斜角α的取值范围为( )
A. [π3,3π4]B. [0,π3]∪[3π4,π)C. [π6,3π4]D. [0,π6]⋃[3π4,π)
2.如图，在斜棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，AB=a，AD=b，AA1=c，则MC1=( )
A. 12a+12b+c
B. -12a-12b-c
C. -12a+12b+c
D. -12a-12b+c
3.“m=-2”是“mx+4y=m+2与直线x+my=m平行”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
4.已知点(1,2)在圆C：x2+y2-ax-2y+54a=0外，则实数a的取值范围为( )
A. {a|a>4}B. {a|a>-4}
C. {a|-44}D. {a|-44}
5.一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为12,13,14，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为 ( )
A. 124B. 1124C. 1724D. 1
6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱A1B1的中点，AC=2，CC1=BC=1，AC⊥BC，则异面直线CD与BC1所成角的余弦值为
( )
A. 26B. 33C. 24D. 23
7.已知圆C的方程为x2+y2=4，直线m过点P(2,1)，且与圆C交于A，B两点，若AB=2 3，则直线m的斜率为( )
A. -43或0B. 43或0C. 34或0D. -34或0
8.若直线l：kx-y+3k=0与曲线C： 1-x2=y-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. (12,34]B. [12,34)C. (0,34)D. (0,34]
9.已知向量a=(1,1,1)，b=(-1,0,2)，则下列说法正确的是( )
A. a+b=(0,1,3)B. |a|=3
C. a⋅b=2D. cs〈a,b〉= 1515
二、多选题（本题共3小题，共15分）
10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则( )
A. 乙发生的概率为12B. 丙发生的概率为12
C. 甲与丁相互独立D. 丙与丁互为对立事件
11.古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262-前190)发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1,0)，B(2,0)，动点C满足|CA||CB|=12，直线l：mx-y+m+1=0，则( )
A. 直线l过定点(-1,1)
B. 动点C的轨迹方程为(x+2)2+y2=4
C. 动点C到直线l的距离的最大值为 2+1
D. 若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且|PQ|=2 2，则m=-1
12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F(E在F的左边)，且EF= 2.下列说法正确的是( )
A. 当E，F运动时，存在点E，F使得AE⊥CF
B. 当E，F运动时，存在点E，F使得AE/​/BF
C. 当E运动时，二面角E-AB-C的最小值为45°
D. 当E，F运动时，二面角A-EF-B的余弦值为定值13
三、填空题（本题共4小题，共20分）
13.圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0的公共弦长为______ ．
14.已知直线过点A(1,-1,-1)，且方向向量为(1,0,-1)，则点P(1,1,1)到直线l的距离为______ ．
15.我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭时训练，甲、乙两队队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢两个球者获胜.通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响.已知某局甲先发球，该局打四个球，甲赢的概率是______ ．
16.已知圆C经过A(0,2)，B(1,1)且圆心在直线l1：2x+y-4=0上，
(1)圆C的方程是______ ；
(2)若从点M(3,5)发出的光线经过直线l2：x+y-1=0，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是______ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17.设直线l的方程为(a+1)x+y-3+a=0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)若l不经过第三象限，求a的取值范围．
18.已知△ABC的顶点坐标为A(0,5)，B(1,-2)，C(-5,4)．
(Ⅰ)求△ABC的BC边上的高所在直线的方程；
(Ⅱ)求直线AB的方程及△ABC的面积．
19.已知关于x的二次函数f(x)=mx2-nx-1，令集合M={1,2,3,4}，N={-1,2,4,6,8}，若分别从集合M、N中随机抽取一个数m和n，构成数对(m,n)．
(1)列举数对(m,n)的样本空间；
(2)记事件A为“二次函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞)”，求事件A的概率；
(3)记事件B为“关于x的一元二次方程|f(x)|=2有4个零点”，求事件B的概率．
20.如图，已知正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面(经过旋转轴的截面)，点E在底面圆周上，AB=5，AE=4，点F是CE的中点．
(1)求点B到平面ACE的距离；
(2)求二面角A-BF-E的余弦值．
21.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD= 2，底面ABCD为直角梯形，其中BC/​/AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，PF=12FD．
(1)求证：PB/​/平面ACF；
(2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为 306？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．
22.已知圆C：(x-2)2+y2=1，点P是直线l：x+y=0上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)若P的坐标为P(-1,1)，求过点P的切线方程；
(2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
(3)直线x-y+m=0与圆C交于E，F两点，求OE⋅OF的取值范围(O为坐标原点)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意知，α∈[0,π)，
由-1≤k≤ 3，得-1≤tanα≤ 3，
所以α∈[0,π3]⋃[3π4,π)．
故选：B．
运用斜率公式将-1≤k≤ 3转化为-1≤tanα≤ 3(α∈[0,π))，结合正切函数的性质，解不等式即可．
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，熟练掌握正切函数的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：MC1=MC+CC1=12AC+AA1=12(a+b)+c=12a+12b+c．
故选：A．
根据向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可求出答案．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量数乘运算，向量加法的平行四边形法则，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得m2-4=0，解得m=±2，
当m=2时，两直线为2x+4y=4与x+2y=2，此时两直线重合，舍去；
当m=-2时，两直线为-2x+4y=0和x-2y=-2，此时两直线不重合，满足要求，
故“m=-2”是“mx+4y=m+2与直线x+my=m平行”的充要条件．
故选：C．
根据直线平行得到方程，经检验后得到m=-2，从而得到答案．
本题考查充要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得(-a)2+(-2)2-5a>05-a-4+54a>0，解得{a|-44}．
故选：C．
根据一般方程的的定义，以及点与圆的位置关系，即可判断选项．
本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，以及互斥事件，属于基础题．
根据题意，只有一人解出的事件包含：A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出；这三个事件互斥，而三人解出答案是相互独立的，进而计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，只有一人解出的事件包含三个互斥的事件：
A解出而其余两人没有解出，
B解出而其余两人没有解出，
C解出而其余两人没有解出，
而三人解出答案是相互独立的，
则P(只有一人解出试题)
=12×(1-13)×(1-14)+(1-12)×13×(1-14)+(1-12)×(1-13)×14
=1124，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查异面直线的夹角，熟练掌握利用空间向量数量积求异面直线夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感，运算求解能力，属于基础题．
以C为坐标原点建立空间直角坐标系，由cs=CD⋅BC1|CD|⋅|BC1|，即可得解．
【解答】
解：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,12,1)，C1(0,0,1)，
所以CD=(1,12,1)，BC1=(0,-1,1)，
所以cs=CD⋅BC1|CD|⋅|BC1|=-12+132× 2= 26，
所以异面直线CD与BC1所成角的余弦值为 26．
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：显然，当直线m的斜率不存在时，直线与圆相切，不满足要求；
设直线m的斜率为k，则直线m方程为y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0，
因为AB=2 3，则圆心到直线的距离d= 22-(AB2)2=1，
又d=|-2k+1| k2+1=1，解得k=0或43．
故选：B．
根据题意，设直线m方程为y-1=k(x-2)，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：直线kx-y+3k=0化成y=kx+3k，可得它必定经过点A(-3,0)，
而曲线C： 1-x2=y-1，可变形整理为x2+(y-1)2=1(y≥1)，B(-1,1)，
∴该曲线是以(0,1)为圆心，半径为1的圆位于直线y=1上部的部分，
设直线与圆相切时的斜率为k2，直线过点(-1,1)与圆有两个交点时的斜率为k1．
可得当直线kx-y+3k=0与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足k1≤k由圆心(0,1)到直线kx-y-3k=0的距离d=|1-3k| 1+k2=1，解得k2=34，
而k1=1-0-1+3=12，由此可得12≤k<34．
故选：B．
将直线化成斜截式，可得直线经过点(-3,0)，将曲线方程化简整理，得该曲线是以(0,1)为圆心，半径为1的圆位于直线y=1右上部的部分．作出图形，观察直线的斜率k的变化，再结合计算即可得到实数k的取值范围．
本题给出动直线与半圆有两个不同的交点，求直线斜率k的取值范围，着重考查了曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，∵向量a=(1,1,1)，b=(-1,0,2)，
∴a+b=(0,1,3)，故A正确；
对于B，|a|= 12+12+12= 3，故B错误；
对于C，向量a=(1,1,1)，b=(-1,0,2)，
由数量积的定义得a⋅b=1×(-1)+1×0+1×2=1，故C错误；
对于D，|b|= (-1)2+22= 5，
∴cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=1 3× 5= 1515，故D正确．
故选：AD．
根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断．
本题主要考查了空间向量的坐标运算，考查了向量的夹角公式，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，基本事件总数为6×5=30，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”包含的基本事件数为5×3=15，
∵P(乙)=1530=12，∴正确，
对于B，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”包含的基本事件数为2×3×3=18，
∴P(丙)=1830=35，∴错误，
对于C，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”包含的基本事件数为2×3×2=12，
∴P(丁)=1230=25，∵P(甲丁)=3×230=15，∴P(甲)=12，
∴P(甲丁)-P(甲)P(丁)，∴正确，
对于D，∵丙与丁两个事件不会同时发生，是互斥事件，且并事件为必然事件，∴丙与丁互为对立事件，∴D正确．
故选：ACD．
根据相互独立事件，互斥事件的定义判断可得答案．
本题考查相互独立事件，对立事件的判断，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，直线l：mx-y+m+1=0，m(x+1)-y+1=0，x+1=0-y+1=0⇒x=-1y=1，直线l过定点(-1,1)，故选项A正确；
对于B，设C(x,y)，因为动点C满足|CA||CB|=12，所以 (x+1)2+y2 (x-2)2+y2=12，
整理可得x2+y2+4x=0，即(x+2)2+y2=4，所以动点C的轨迹是以N(-2,0)为圆心，r=2为半径的圆，动点C的轨迹方程为(x+2)2+y2=4，故选项B正确；
对于C，当直线l与MN垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最大值为2+ 2，故选项C错误；
对于D，记圆心N到直线l的距离为d，则d=|m-1| m2+1，因为|PQ|2=4(r2-d2)，
则4(r2-d2)=8，因为r=2，所以d= 2，即|m-1| m2+1= 2，解得m=-1，故选项D正确．
故选：ABD．
设C(x,y)，由题意求出点C的轨迹以及轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，依次判断四个选项即可．
本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
12.【答案】C
【解析】解：对于A，以C为坐标原点，CD，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(2,2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，D(2,0,0)，D1(2,0,2)，
由于EF= 2，设E(t,2-t,2)，F(t-1,3-t,2)，(1≤t≤2)，
则AE=(t-2,-t,2),CF=(t-1,3-t,2)，
则AE⋅CF=2t2-6t+6=2(t-32)2+32>0，
所以当E，F运动时，故存在点E，F使得AE⊥CF，故A错误；
对于B，若AE/​/BF，则A，B，B1，D1四点共面，与AB与B1D1是异面直线矛盾，故B错误；
对于C，m=(x,y,z)为设平面ABE的法向量，又AB=(-2,0,0)，
故AB⋅m=-2x=0AE⋅m=(t-2)x-ty+2z=0，令y=2，则设平面ABE的法向量m=(0,2,t)，
平面ABC的法向量可取为n=(0,0,1)，
故cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=t t2+4=1 1+4t2，
∵1≤t≤2，且函数y= 1+4t2在[1,2]上单调递降，所以 55≤1 1+4t2≤ 22，
当且仅当t=2时，1 1+4t2取到最大值，
设二面角E-AB-C的平面角为θ，0°≤θ≤90°，则csθ最大值为 22，
即二面角E-AB-C的最小值为45°，故C正确；
对于D，连接BD，AD1，AB1，平面EFB即为平面BDD1B1，平面AEF即为平面AB1D1，
平面BDD1B1的法向量可取为CA=(2,2,0)，
设t=(a,b,c)为平面AB1D1的法向量，又AB1=(-2,0,2),D1B1=(-2,2,0)，
故AB1⋅t=0D1B1⋅t=0，即-2a+2c=0-2a+2b=0，令a=1，则平面AB1D1的法向量t=(1,1,1)，
故cs〈CA,t〉=CA⋅t|CA||t|=42 2× 3= 63，
由图知二面角A-EF-B为锐角，
则二面角A-EF-B的余弦值为定值 63，故D错误．
故选：C．
建立空间直角坐标坐标系，求得相关点坐标，利用空间向量的数量积的计算，可判断A；假设AE/​/BF，可推出矛盾判断B；求得相关平面的法向量，利用空间角的向量求法，可判断C，D．
本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】2 3
【解析】解：由已知圆x2+y2=4的圆心为A(0,0)，半径r1=2，
圆x2+y2+2y-6=0，即x2+(y+1)2=7的圆心为B(0,-1)，半径r2= 7，
联立x2+y2=4x2+y2+2y-6=0，作差可得2y=2，即y=1，
所以公共弦l所在的直线方程为y=1，
所以点A(0,0)到直线l的距离d=1，
所以弦长为2 r12-d2=2 4-1=2 3．
故答案为：2 3．
联立两圆可得公共弦方程，再利用垂径定理可得公共弦长．
本题考查两圆相交的弦长的求法，属于基础题．
14.【答案】 6
【解析】解：取直线l的方向向量为a=(1,0,-1)，
因为A(1,-1,-1)，P(1,1,1)，
所以AP=(0,2,2)，
所以|AP|= 02+22+22=2 2，
所以AP|AP|=(0, 2, 2)，
所以AP|AP|⋅a=0×1+0× 2+(-1)× 2=- 2，
所以点P到直线l的距离为d= |AP|2-(AP|AP|⋅a)2= (2 2)2-(- 2)2= 6．
故答案为： 6．
利用向量的坐标运算及向量的单位化公式，结合点到直线的距离公式即可求解．
本题考空间向量的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
15.【答案】112
【解析】解：由于连胜两局者赢，甲先发球可分为：
该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，
则概率为23×34×23×14=112．
故答案为：112．
由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】(x-1)2+(y-2)2=1 4x-5y+6=0
【解析】解：(1)由题知AB中点为(12,32)，
kAB=2-10-1=-1，
所以AB的垂直平分线方程为y-32=x-12，
即x-y+1=0，
联立x-y+1=02x+y-4=0，
解得x=1y=2，即圆心为(1,2)，
所以圆C的半径为r= (1-0)2+(2-2)2=1，
故圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=1．
(2)设M关于l2的对称点为N(x,y)，
则直线MN与l2垂直，且MN的中点(x+32,y+52)在直线l2，上，
则x+32+y+52-1=0y-5x-3=1，解得N(-4,-2)，
由题意知反射光线过圆心，
故y-2-4=x-1-5，
即4x-5y+6=0．
故答案为：(1)(x-1)2+(y-2)2=1；(2)4x-5y+6=0．
(1)先求AB的垂直平分线方程，联立直线l1的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
(2)设M关于l2的对称点为N(x,y)，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程即可得出结果．
本题考查圆的方程与直线方程的求法，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)当直线l过原点时，该直线l在x轴和y轴上的截距为零，
∴a=3，方程即为4x+y=0；
若a≠3，则3-aa+1=3-a，即a+1=1，
∴a=0，方程即为x+y-3=0，
∴a的值为0或3．
(2)若l不经过第三象限，
直线l的方程化为y=-(a+1)x+3-a，
则-(a+1)≤03-a≥0，解得-1≤a≤3，
∴a的取值范围是[-1,3]．
【解析】(1)通过讨论-3+a是否为0，求出a的值即可；
(2)根据一次函数的性质判断a的范围即可．
本题主要考查直线方程问题，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，kBC=4-(-2)-5-1=-1，
故所求直线的斜率为1，直线方程为y-5=x即x-y+5=0，
(Ⅱ)kAB=5+20-1=-7，
由点斜式可得，y-5=-7x即7x+y-5=0，
又|AB|= (0-1)2+(5+2)2=5 2，
点C到AB的距离d=|7×(-5)+4-5| 72+12=365 2，
故△ABC的面积S=12×5 2×365 2=18．
【解析】本题主要考查了直线垂直的斜率关系及直线方程的求解，两点间距离公式，点到直线的距离公式，属于基础题．
(Ⅰ)由两直线垂直的斜率关系可求所求直线斜率，然后根据直线的点斜式方程可求，
(Ⅱ)根据两点间距离公式先求AB，然后求出C到直线AB的距离，根据三角形的面积公式可求．
19.【答案】解：(1)由题意可得，m∈{1,2,3,4}，n∈{-1,2,4,6,8}，
数对(m,n)的样本空间为Ω={(1,-1)，(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,-1)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,-1)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,-1)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}；
(2)若二次函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞)，
则二次函数f(x)的对称轴x=n2m=1，即n=2m，
由(1)可得，总的基本事件个数为20个，
符合n=2m的基本事件为：(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，共4个，
所以P(A)=420=15；
(3)因为m>0，二次函数的图象开口向上，
方程|f(x)|=2有4个零点，即方程f(x)=2和f(x)=-2各有2个零点，
等价于二次函数f(x)=mx2-nx-1的最小值>-2，
所以-4m-n24m<-2，即n2>4m，
样本空间中符合n2>4m的基本事件有：(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,6)，(4,8)，共11个，
所以P(B)=1120．
【解析】(1)直接列举即可；
(2)由二次函数的性质可得，n=2m，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可；
(3)由函数与方程的关系，求出n2>4m，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
本题考查了二次函数性质的综合应用，古典概型概率公式的应用，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为线段AB是圆O的直径，所以AE⊥BE，可得BE= AB2-AE2=3，
又因为BC⊥平面ABE，且AE，BE⊂平面ABE，所以BC⊥AE，BC⊥BE，
所以CE= BE2+BC2= 34，
因为BC⋂BE=B，且BC，BE⊂平面BCE，所以AE⊥平面BCE，
又因为CE⊂平面BCE，所以AE⊥CE，
设点B到平面ACE的距离为d，
则由VC-ABE=VB-ACE，可得13×12AE⋅BE⋅BC=13×12AE⋅CE⋅d，
所以d=BE⋅BCCE=3×5 34=15 3434，
所以点B到平面ACE的距离为15 3434；
(2)由(1)可知AE⊥BE，
以点E为坐标原点，EB，EA所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则E(0,0,0)，B(3,0,0)，A(0,4,0)，C(3,0,5)，F(32,0,52)，
可得AF=(32,-4,52)，AB=(3,-4,0)，EA=(0,4,0)，
设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AF=32x-4y+52z=0n⋅AB=3x-4y=0，
取x=4，可得y=3,z=125，所以n=(4,3,125)，
由(1)可知，平面BEF的一个法向量为EA=(0,4,0)，
设二面角A-BF-E的大小为θ，由图可知θ为锐角，
则csθ=|cs〈n,EA〉|=|n⋅EA||n|⋅|EA|=|4×0+3×4+125×0| 42+32+(125)2×4=15 769769，
即二面角A-BF-E的余弦值为15 769769．
【解析】(1)由BC⊥平面ABE，证得BC⊥AE，BC⊥BE，进而证得AE⊥平面BCE，得到AE⊥CE，设点B到平面ACE的距离为d，结合VC-ABE=VB-ACE，即可求得点B到平面ACE的距离；
(2)以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面ABF和平面BEF的一个法向量n=(4,3,125)和EA=(0,4,0)，结合向量的夹角公式，即可求解．
本题考查求点到平面的距离和二面角的大小，属于中档题．
21.【答案】解：(1)连接BD交AC于M，
因为BC/​/AD，所以BMMD=BCAD=12，
因为PF=12FD，所以PFFD=12，
所以BMMD=PFFD，所以PB//FM，
又因为FM⊂平面ACF，PB⊄平面ACF，所以PB/​/平面ACF；
(2)设线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为 306，
即CH与平面ACF所成角的正弦值为 1-( 306)2= 66，
设PH=λPB(0≤λ≤1)，
取AD中点O，连接OC，OP，
因为PA=PD，所以PO⊥AD，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，PO⊂侧面PAD，
所以PO⊥底面ABCD，
因为BC/​/AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，所以CO⊥AD，
以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(1,0,0),A(0,-1,0),F(0,13,23),P(0,0,1),B(1,-1,0)，
则AC=(1,1,0),AF=(0,43,23)，
设平面ACF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AC=x+y=0n⋅AF=43y+23z=0，解得：x=-yz=-2y，令y=1，则x=-1，z=-2，
所以平面ACF的一个法向量为n=(-1,1,-2)，
又PB=(1,-1,-1)，所以PH=λ(1,-1,-1)=(λ,-λ,-λ)，
又CP=(-1,0,1)，所以CH=CP+PH=(λ-1,-λ,-λ+1)，
设CH与平面ACF所成角θ，
则sinθ=|cs〈n,CH〉|=|n⋅CH||n||CH|=|1-λ-λ+2λ-2| 6× (λ-1)2+λ2+(1-λ)2= 66，
整理得：3λ2-4λ+1=0，解得：λ=1或λ=13，
当λ=1时，PH=PB= 12+12+12= 3，
当λ=13时，PH=13PB= 33,
故在线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为 306，
PH= 3或PH= 33．
【解析】(1)连接BD交AC于M，由BMMD=BCAD=12，可证BMMD=PFFC，可得PB//FM，即可证得结论；
(2)取AD中点O，则PO⊥AD，结合已知条件可证得PO⊥底面ABCD，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面ACF的一个法向量，设PH=λPB(0≤λ≤1)，用向量法表示CH与平面ACF所成角的正弦值得λ的方程，求解即可．
本题考查平面向量的线性运算和直线与平面所成的角，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由圆C：(x-2)2+y2=1，得圆心C(2,0)，半径r=1，
设过点P(-1,1)的切线方程为y-1=k(x+1)，即kx-y+k+1=0，
∴|2k+k+1| 1+k2=1，解得k=0或k=-34，
∴过点P的切线方程为y-1=0或3x+4y-1=0；
(2)∵圆C：(x-2)2+y2=1，∴圆心C(2,0)，半径r=1，
设P(t,-t)，
由题意知A，B在以PC为直径的圆上，又C(2,0)，
∴(x-t)(x-2)+(y+t)(y-0)=0，即x2+y2-(t+2)x+ty+2t=0，
又圆C：(x-2)2+y2=1，即x2+y2-4x+3=0，
故直线AB的方程为(2-t)x+ty-3+2t=0，即2x-3-t(x-y-2)=0，
由2x-3=0x-y-2=0，解得x=32，y=-12，即直线AB恒过定点(32,-12).
(3)由x-y+m=0(x-2)2+y2=1，得(x-2)2+(x+m)2=1，∴2x2+(2m-4)x+3+m2=0，
设E(x1,y1)，F(x2,y2)，
∴x1+x2=2-m，x1x2=3+m22，Δ=(2m-4)2-4×2×(3+m2)>0，
∴-2- 2OE⋅OF=x1x2+y1y2=3+m22+12m2+2m+32=m2+2m+3=(m+1)2+2，
∵-2- 2∴OE⋅OF的取值范围为[2,5+2 2).
【解析】(1)设过点P(-1,1)的切线方程为y-1=k(x+1)，可得|2k+k+1| 1+k2=1，求解即可；
(2)设P(t,-t)，求得以PC为直径的圆的方程可得x2+y2-(t+2)x+ty+2t=0，与已知圆相减得直线AB的方程，从而可求定点；
(3)设E(x1,y1)，F(x2,y2)，联立方程可得x1+x2=2-m，x1x2=3+m22，可得OE⋅OF=(m+1)2+2，可求OE⋅OF的取值范围．
本题考查求切线方程以及求直线过定点问题，考查向量数量积的范围的求法，考查运算求解能力，属中档题．