2023-2024学年内蒙古鄂尔多斯西部四校联考高一下学期期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年内蒙古鄂尔多斯西部四校联考高一下学期期中数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的倾斜角是A． B． C． D．2．已知角的终边经过点且，则等于（    ）A． B． C． D．3．若在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长是（    ）A． B．2 C． D．34．已知，则的值为A． B． C． D．5．过点且与点的距离最大的直线l的方程为（    ）A． B．C． D．6．函数的图像的一个对称中心是A． B． C． D．7．若直线和直线平行，则的值为（    ）A．1 B． C．1或 D．8．已知圆圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程是A． B．C． D．9．等腰直角三角形中，，若点的坐标分别为，，则点的坐标可能是（    ）A．或 B．或 C． D．10．函数的单调递减区间是（    ）A． B．C． D．11．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是A．内切 B．相交 C．外切 D．相离12．已知点，点C是圆上任意一点，则面积的最大值是(      )A．6 B．8 C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13． ．14．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 .15．若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为 ．16．函数在区间上的最小值是，则的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程.18．已知直线和直线在轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线过点．如果点到直线的距离为1，求的方程．19．求函数的周期、单调区间及最大值、最小值.20．已知在中．(1)求的值;(2)判断是锐角三角形还是钝角三角形;(3)求的值．21．已知圆．(1)求证：该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆相切，求的值．22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．(1)求圆O的方程．(2)直线与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．1．D由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.【详解】因为直线的斜率为所以其倾斜角为故选：D2．A【详解】试题分析：依题意有．考点：三角函数概念．3．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线长.【详解】由图可知：，，，由中点坐标公式可得的中点坐标为，根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.故选：C4．A【分析】对和利用诱导公式化简，找到这两者之间的数量关系得解.【详解】由得，所以，故选A．对于给值求值的问题，关键在于将已知和未知分别化简，并且将未知转化到已知的化简关系上去，属于基础题.5．C【详解】试题分析：由题意知，直线l应和线段AB垂直，直线l的斜率是线段AB斜率的负倒数，又线l过点A（3，4），点斜式写出直线l的方程，并化为一般式．解：∵线l过点A（3，4）且与点B（﹣3，2）的距离最远，∴直线l的斜率为：==﹣3，∴直线l的方程为y﹣4=﹣3（x﹣3），即 3x+y﹣13=0，故选C．6．C【分析】令，得，所以函数的图像的对称中心是，然后赋值即可．【详解】因为的图像的对称中心为.由，得，所以函数的图像的对称中心是.令，得.本题主要考查正切函数的对称性，属基础题．7．C【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可.【详解】直线和直线平行，，解得或，经检验都符合题意．故选：C．8．A【详解】∵圆C的圆心是直线x−y+1=0与x轴的交点，∴令x−y+1=0中y=0，得到x=−1，即圆心(−1,0)，∵圆C与直线x+y+3=0相切，∴圆心C到直线x+y+3=0的距离d=r，即，则圆C方程为(x+1)2+y2=2.本题选择A选项.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．9．A【分析】根据等腰直角三角形的定义设点列方程组求解即可.【详解】设，直线的斜率分别为由题意可得即解得或,所以点的坐标可能是或．故选：A.10．B【分析】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间，利用复合函数性质，可得所求区间为，，化简即可求解.【详解】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间,令，，解得，，所以原函数的单调递减区间为，.故选：．11．B【详解】化简圆到直线的距离 ，又 两圆相交. 选B12．D【分析】当C到直线AB距离最大时，面积取最大值，再根据直线AB与圆心位置关系得C到直线AB距离的最大值，即得结果.【详解】因为AB为定值，所以当C到直线AB距离最大时，面积取最大值，因为点是圆，上任意一点，所以C到直线AB距离最大为圆心(1,0)到直线AB:距离加半径1，即为，从而面积的最大值是.故选：D.13．【分析】根据诱导公式先将负角化成正角，再将角化到的范围，再化成求锐角的三角函数的值即可得解.【详解】．故：填．运用诱导公式化简时基本规则是：负化正，大化小，最终化到锐角，属于基础题.14．或【分析】设直线方程为，根据题设条件得到关于的方程组，解方程组后可得所求的直线方程.【详解】设直线的方程为，则，且，解得或者，∴直线l的方程为或，即或.故或.15．【详解】试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．16．【详解】,令,,其图像开口向下,对称轴为,故在区间上为增函数.令,解得.故的范围须在.而,根据函数图像的对称性可知.17．l1：，l2：或者l1：，l2：；【分析】由题意，分成两种情况讨论，l1与l2平行且斜率存在时，通过距离等于5列出方程求解即可；l1与l2平时且斜率不存在时，验证两直线间的距离等于5也成立，最后得出答案.【详解】因为l1∥l2，当l1，l2斜率存在时，设为,则 l1，l2方程分别为：，化成一般式为：，，又l1与l2的距离为5，所以，解得：，故l1方程：l2方程：；当l1，l2斜率不存在时，l1：，l2：，也满足题意；综上：l1：，l2：或者l1：，l2：；(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．18．或．【分析】根据题意，设出直线的方程，结合点到直线的距离公式列出方程，再将点的坐标代入直线的方程，联立方程，即可得到结果.【详解】由题意，可设直线的方程为，即，点到直线的距离为1，，①又直线的方程为，且直线过点，．②由①②，得，两边平方整理得，解得或．当时，代入②，得，此时直线的方程为；当时，代入②，得，此时直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．19．最小正周期为，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；【分析】利用诱导公式可把函数化简为，由正弦函数的性质可求给定函数的单调区间、最值，利用公式可求其周期.【详解】∵，∴.∴原函数即，这个函数的最小正周期.当时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为.当时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为.当时，；当时，.对于函数，我们可利用正弦函数的性质并根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．20．(1)(2)是钝角三角形(3)【分析】（1）根据和的关系即可平方求解，（2）根据三角函数的正负符号，即可判断为钝角，（3）根据和求解，即可求解正切值.【详解】（1）由于两边平方得（2）由（1）且，可知，为钝角，是钝角三角形（3），,故则21．(1)证明见解析(2)．【分析】（1）将分离出来，得，对任意的成立，得，求解即可得出定点坐标；（2）将圆的方程化为标准方程，由题意可将两圆关系分为外切和内切，运用几何法分别求出的值.【详解】（1）圆的方程可整理为，此方程表示过圆和直线交点的圆系，由，得，所以已知圆恒过定点．（2）圆的方程可化为，①当两圆外切时，，即，解得；②当两圆内切时，，即，解得；综上所述，．若经过参数分离后，能将曲线方程整理成（为参数），则这个曲线系就是过和交点的曲线系，解方程组，即可得定点坐标.22．（1）x2+y2=4.（2）直线l的斜率为±2.【详解】试题分析：（1）先根据圆心到切线距离等于半径求，再根据标准式写圆方程（2）由题意得OM与AB互相垂直且平分,即得原点O到直线l的距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率试题解析：（1）设圆O的半径长为r,因为直线x-y-4=0与圆O相切,所以 r==2. 所以圆O的方程为 x2+y2=4.（2）假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,所以原点O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=±2,经验证满足条件.所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形，此时直线l的斜率为±2.