上海市嘉定区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份上海市嘉定区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共16页。试卷主要包含了填空题.，选择题.等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年高一（下）期中数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的最小正周期为　 　．
2．α为第三象限角，且，则在第　 　象限．
3．已知扇形的周长为20cm，面积为16cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为　 　．
4．函数f（x）＝log2（tanx﹣）的定义域为　 　．
5．若sinx＝，，则x＝　 　．（结果用反三角函数表示）
6．已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）＝　 　．
7．已知sin（α﹣）＝，则sin（2α+）的值为　 　．
8．函数的单调递增区间为　 　．
9．函数f（x）＝cos2x+sinx+1在上的值域是　 　．
10．已知f（x）＝4sinx+3cosx，f（x）向右平移α（0＜α＜π）个单位后为奇函数，则tanα＝　 　．
11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：
①偶函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的取值范围与在区间[﹣b，﹣a]上的取值范围是相同的；
②周期函数f（x）在一个周期内的取值范围也就是f（x）在定义域上的值域，
由此可求函数的值域为　 　．
12．已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，则m的取值范围是　 　．
二、选择题（每小题5分）.
13．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ），则“φ＝”是“f（x）为偶函数”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（　　）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
15．设函数f（x）＝|sin（x+）|（x∈R），则f（x）（　　）
A．在区间[，]上是增函数
B．在区间[﹣π，﹣]上是减函数
C．在区间[﹣，]上是增函数
D．在区间[，]上是减函数
16．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（　　）
A．[，） B．[4，） C．[4，） D．[，）
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．在平面直角坐标系xOy中，角θ的始边为x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P．
（1）若点P的横坐标为，求的值．
（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角α，若，求tanθ的值．
18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝f（x+t）（t∈（0，π））为偶函数，求t的值．
（3）若h（x）＝f（x）•f（x﹣），x∈[0，]，求h（x）的取值范围．

19．如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设∠DEC＝θ．
（1）若θ＝，求△DEF的边长；
（2）当θ多大时，△DEF的边长最小？并求出最小值．

20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．
（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程在上的根从小到依次为x1，x2，⋯，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn﹣1+xn的值．
21．在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；
（2）若a+c＝mb（m＞1），
（i）证明：；
（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．


参考答案
一、填空题（共12小题）.
1．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的最小正周期为　π　．
解：由函数f（x）＝3sin（2x﹣），
则函数的最小正周期为π，
故答案为：π．
2．α为第三象限角，且，则在第　二　象限．
解：因α为第三象限角，即，
得，
则所在象限为第二象限或第四象限，又因，
故所在象限为第二象限． 综上所述，在第二象限．
故答案为：二．
3．已知扇形的周长为20cm，面积为16cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为　　．
解：由扇形的周长为20cm，面积为16cm2，
可设扇形圆心角为α，且α∈（0，2π），半径为r，
则，
解得或（不合题意，舍去），
所以α＝．
故答案为：．
4．函数f（x）＝log2（tanx﹣）的定义域为　　．
解：由已知得，，
即由正切函数的性质可知定义域为，
故答案为：．
5．若sinx＝，，则x＝　　．（结果用反三角函数表示）
解：sinx＝，，则x＝．
故答案为：．
6．已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）＝　　．
解：根据题意，奇函数f（x）的一个周期为2，
则f（7.5）＝f（﹣0.5+8）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5），
又由当x∈（0，1）时，，则f（0.5）＝cos＝，
故f（7.5）＝﹣；
故答案为：﹣．
7．已知sin（α﹣）＝，则sin（2α+）的值为　　．
解：∵sin（α﹣）＝，
∴sin（2α+）＝cos[﹣（2α+）]＝cos（2α）＝cos[2（α﹣）]＝1﹣2sin2（α﹣）＝1﹣2×（）2＝．
故答案为：．
8．函数的单调递增区间为　　．
解：函数，
即，解得，
所以单调递增区间为．
故答案为：．
9．函数f（x）＝cos2x+sinx+1在上的值域是　　．
解：令，则，
∴f（x）＝（cosx）2+sinx+2＝﹣（sinx）2+sinx+2，
∴，∴，
函数f（x）＝cos2x+sinx+1在上的值域是：．
故答案为：．
10．已知f（x）＝4sinx+3cosx，f（x）向右平移α（0＜α＜π）个单位后为奇函数，则tanα＝　　．
解：由题意，函数 f（x）＝4sinx+3cosx＝5sin（x+φ），其中
因为f（x）向右平移α个单位后，可得g（x）＝5sin[（x﹣α）+φ]＝5sin（x﹣α+φ），
又由g（x）＝5sin（x﹣α+φ）为奇函数，所以φ﹣α＝kπ，k∈Z，即α＝φ﹣kπ，k∈Z，
又因为0＜α＜π，所以α＝φ，所以．
故答案为：．
11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：
①偶函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的取值范围与在区间[﹣b，﹣a]上的取值范围是相同的；
②周期函数f（x）在一个周期内的取值范围也就是f（x）在定义域上的值域，
由此可求函数的值域为　[1，2]　．
解：依题意，定义域为R，关于原点对称，
又，
∴g（x）为偶函数；
又＝g（x），
∴g（x）以π为周期；
当x∈[0，π]时，
g（x）＝，
∴g（x）的值域为[1，2]，
故答案为：[1，2]．
12．已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，则m的取值范围是　[1008，）　．
解：由题意，函数f（x）为R上奇函数，所以f（0）＝0，且f（﹣x）＝﹣f（x），
又f（2﹣x）+f（x）＝0，可得f（2﹣x）＝﹣f（x），可得函数f（x）的图像关于点（1，0）对称，
联立可得f（2﹣x）＝f（﹣x），所以f（x）是以2为周期的周期函数，
又由函数y＝sinπx的周期为2，且关于点（k，0）（k∈Z）对称，
因为当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，由图像可知，
函数f（x）＝﹣log2x和y＝sinπx的图像在[﹣1，1）上存在四个零点，即一个周期内有4个零点，
要使得函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，
其中都是函数的零点，
即函数F（x）＝f（x）﹣sinπx在[0，m]上有2017个零点，
如果m是第2017个零点，则，
如果m是第2018个零点，则，

即m∈[1008，）．
故答案为：[1008，）．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.
13．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ），则“φ＝”是“f（x）为偶函数”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
解：①当φ＝时，f（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x，
∵f（﹣x）＝2cos（﹣2x）＝2cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，
②当f（x）为偶函数时，φ＝+kπ，k∈Z，
综上所述，φ＝是f（x）为偶函数的充分不必要条件．
故选：A．
14．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（　　）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
解：因为sin2＝＝，即，由余弦定理可得，
可得a2+b2＝c2，所以三角形是直角三角形．
故选：B．
15．设函数f（x）＝|sin（x+）|（x∈R），则f（x）（　　）
A．在区间[，]上是增函数
B．在区间[﹣π，﹣]上是减函数
C．在区间[﹣，]上是增函数
D．在区间[，]上是减函数
解：由函数y＝sin（x+）（x∈R），可知，
当x+＝时，取得最小值为﹣1，此时x＝，
当x+＝0时，图象与x的交点，此时x＝，
当x+＝时，取得最大值为1，此时x＝，
y＝sin（x+）（x∈R）的图象关于x轴对称翻折，可得f（x）＝|sin（x+）|，
∴函数f（x）的周期为π，
∴函数f（x）的单调减区间为[，+kπ]：单调增区间为[+kπ，]，k∈Z．
当k＝1时，可得单调增区间为[，]，
故选：A．
16．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（　　）
A．[，） B．[4，） C．[4，） D．[，）
解：令函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1＝0，解得sin（ωx+φ）＝，
y＝sin（ωx+φ）是由y＝sinx图象变换得到的，且最小正周期为T＝，
在[0，2π]内，sin＝sin＝，
所以函数y＝sinx相邻4个零点x1、x2、x3、x4满足：
x2﹣x1＝x4﹣x3＝﹣＝，
x3﹣x1＝x4﹣x2＝2π，
x3﹣x2＝（x3﹣x1）﹣（x2﹣x1）＝2π﹣＝，
所以相邻两零点最大距离d1＝2π，
相邻四个零点占区间长度最短为d2＝x4﹣x1＝（x4﹣x3）+（x3﹣x1）＝+2π＝，
x∈[，]时，ωx∈[ω，ω]，区间宽度为[﹣]ω＝ω，
所以2π≤ω＜（ω＝d1至少有2个零点，ω＝d2至多有4个零点），
解得4≤ω＜，所以ω的取值范围是[4，）．
故选：B．
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．在平面直角坐标系xOy中，角θ的始边为x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P．
（1）若点P的横坐标为，求的值．
（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角α，若，求tanθ的值．
解：（1）∵P在单位圆上，且点P在第二象限，P的横坐标为，可求得纵坐标为，
所以，．
（2）由题知，则，则．
18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝f（x+t）（t∈（0，π））为偶函数，求t的值．
（3）若h（x）＝f（x）•f（x﹣），x∈[0，]，求h（x）的取值范围．

解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A＝，＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，
所以ω＝＝π，
由“五点法”画图知，（﹣，0）是第一个点，
所以2×（﹣）+φ＝0，解得φ＝，
所以f（x）＝sin（2x+）．
（2）函数g（x）＝f（x+t）＝sin[2（x+t）+]＝sin（2x+2t+），
g（x）为偶函数，2t+＝+kπ，k∈Z，t＝+，k∈Z，
又t∈（0，π），所以t＝，或t＝．
（3）函数h（x）＝f（x）•f（x﹣）
＝sin（2x+）•sin[2（x﹣）+]
＝3（sin2xcos+cos2xsin）•sin2x
＝3（sin22x+sin2xcos2x），
＝3（•+•sin4x）
＝+（sin4x﹣cos4x）
＝+sin（4x﹣），
当x∈[0，]时，4x﹣∈[﹣，]，
即sin（4x﹣）∈[﹣，1]，
所以+sin（4x﹣）∈[0，]，
所以函数h（x）的取值范围是[0，]．
19．如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设∠DEC＝θ．
（1）若θ＝，求△DEF的边长；
（2）当θ多大时，△DEF的边长最小？并求出最小值．

解：（1）设△DEF的边长为x千米，由 得CE＝，AE＝a﹣，
△AEF中，∠FEA＝＝，，
∴△AEF为等边三角形，AE＝x＝a﹣，
故x＝，
即△DEF的边长为；
（2）设△DEF的边长为x千米，
所以CE＝xcosθ，AE＝a﹣xcosθ，
△AEF中，∠FEA＝，∠A＝，∠EFA＝θ，
由正弦定理得，，
故x＝＝，
当时x取得最小值，即△DEF的边长最小值．
20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．
（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程在上的根从小到依次为x1，x2，⋯，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn﹣1+xn的值．
解：（1）由题意，函数
＝＝2sinωx，
因为函数f（x）图像的相邻两对称轴间的距离为，所以T＝π，可得ω＝2．
f（x）＝2sin2x．
（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，可得的图像，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图像，
当时，，
当时，函数g（x）取得最小值，最小值为﹣2，
当时，函数g（x）取得最大值，最小值为，故函数g（x）的值域．
（3）由方程，即，即，
因为，可得，设，其中，即，
结合正弦函数y＝sinθ的图像，

可得方程在区间有5个解，即n＝5，
其中θ1+θ2＝3π，θ2+θ3＝5π，θ3+θ4＝7π，θ4+θ5＝9π，
即
解得
所以．
21．在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；
（2）若a+c＝mb（m＞1），
（i）证明：；
（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．
解：（1）由a+c＝2b，
所以由余弦定理可得cosB＝＝＝＝，
当且仅当a＝c时cosB最小，B∈（0，π），
所以Bmax＝；
（2）（i）：证明：因为a+c＝mb（m＞1），由正弦定理可得＝＝，
所以可得sinA+sinC＝msinB，
所以2sin•cos＝2msin•cos，
因为＝，
所以cos＝mcos，
展开整理可得（1+m）sinsin＝（m﹣1）coscos，
故tan•tan＝；
（ii）由（i）可得tan•tan＝及半角公式可得tan＝＝可得
（tantan）2＝••＝＝，
对其展开整理可得4m﹣2（m2+1）（cosA+cosC）＝﹣4mcosAcosC，
＝﹣4m，
即＝，
即＝﹣1，
与原三角式作比较可得φ（m）存在，且φ（m）＝﹣．