2023-2024学年海南省海口市秀英区高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省海口市秀英区高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共16页。试卷主要包含了已知向量，那么等于，在棱柱中，，直线的倾斜角为，已知，，且，则，给出以下命题，已知圆和圆，则等内容，欢迎下载使用。

一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．在棱柱中，（ ）
A．B．C．D．
3．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1B．C．3D．4
5．已知，，且，则（ ）
A．B．2C．4D．6
6．某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ）
A．B．C．或D．或
7．给出以下命题：
①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直；
②直线的方向向量为，平面的法向量为，则；
③平面的法向量分别为，则；
④平面经过三个点，向量是平面的法向量，则．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．在一个平面上，机器人甲到与点距离为5的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变，机器人乙在过点与的直线上行进，机器人甲与机器人乙的最近距离是（ ）
A．B．C．D．
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部公选对的想2分，有选错的很0分）
9．下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知圆和圆，则（ ）
A．B．圆半径是4C．两圆相交D．两圆外离
11．已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内
B．圆关于对称
C．直线与圆相切
D．若圆与圆恰有三条公切线，则
12．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点，都是钝角三角形
三､填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，则 ．
14．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C 的方程为
15．设直线l的方程为，若直线不过第三象限，则实数的取值范围是 ．
16．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱、、两两夹角都为，且，，，、分别为、的中点，则与所成角的余弦值为 .
四､解答题（本小题共6小题，共70分）
17．已知三点，，，D是BC中点．
（1）求直线AD的方程；
（2）求过C与AB垂直的直线方程．
18．如图，在正方体中，棱长为分别是的中点.
(1)证明.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．在平面直角坐标系中，已知、
（1）求以点为圆心，且经过点的圆的标准方程；
（2）若直线的方程为，判断直线与（1）中圆的位置关系，并说明理由.若直线与圆相交，求直线被圆所截得的弦长.
20．三棱台中，若面，，，，，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
21．圆经过点，，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程．
(2)过点作直线，直线与圆的另一个交点是，当时，求直线的方程．
22．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
1．D
【分析】利用向量的加法运算进行求解.
【详解】.
故选：D.
2．B
【分析】根据向量的加法运算法则直接计算.
【详解】，
故选：B.
3．D
【分析】根据直线方程求得直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率为，
即，且，所以，即直线的倾斜角为.
故选：D.
4．B
【分析】根据两条平行线间的距离公式求解.
【详解】将直线化为，
因为直线与直线平行，
设两条平行线间的距离为，
所以根据两平行线之间的距离公式.
故选：B
5．A
【分析】根据空间向量共线定理列式可求出结果.
【详解】因为，所以存在实数使得，
即，
所以,
所以，得，所以.
故选：A
6．D
【分析】讨论在x轴和y轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.
【详解】当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，
设直线的方程为，代入点，则，解得，
当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，
设直线的方程为，代入点，则，解得，
所以所求直线的方程为，即，
综上，该直线的斜率是或．
故选：D
7．B
【分析】①当两直线的方向向量数量积为零时，两直线垂直；②当直线的方向向量和平面的法向量数量积为零时，直线和平面平行；③当两平面的法向量平行时，两平面平行；④求出的坐标，再由数量积为零列关于的方程组求解.
【详解】①因为，所以直线与垂直,正确；
②因为，所以直线平面，或直线在平面内，错误；
③若，则，所以，此方程组无解，所以平面不平行于平面，错误；
④由得，因为是平面的法向量，
所以，解得，即，正确.
故选：B.
8．D
【分析】分别求出机器人甲、机器人乙的运行轨迹，再求出圆心到直线的距离，即可得答案.
【详解】解：因为机器人甲到与点距离为5的地方绕点顺时针而行，且在行进过程中保持与点的距离不变，
所以机器人甲的运行轨迹为；
又因为，，
所以机器人乙的运行轨迹为直线，其方程为：；
机器人甲与机器人乙的最近距离，其中为圆心到直线的距离，为圆的半径，
又因为，，
所以，
即机器人甲与机器人乙的最近距离为.
故选：D.
9．BC
【分析】根据斜率确定正确选项.
【详解】直线的斜率为，
直线、直线的斜率为，不符合题意.
直线、直线的斜率为，符合题意.
故选：BC
10．AC
【分析】先根据配方法确定两个圆的圆心和半径，再根据圆心距和半径的关系即可判断两圆的位置.
【详解】对于B，因为圆，
所以圆的标准方程为，圆心为，半径为，故B错误；
对于A，因为圆，
所以圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，故A正确；
对于CD，因为，所以两圆相交，故C正确，D错误.
故选：AC.
11．BCD
【分析】将圆M的一般方程转化为标准方程，可知圆心和半径，利用点到圆心的距离和半径比较，
可知点与圆的位置关系，判断A选项正误；利用圆的对称直线过圆心，判断B选项正误；
利用圆心到直线的距离和半径的关系判断C选项正误；利用两圆外切，判断D选项正误.
【详解】对于A，已知圆：，则其标准方程为，∴，圆心，点到圆心的距离，所以点在圆外，A错误；
对于B，将圆心代入直线，得成立，所以直线过圆心，则圆关于直线对称，B选项正确；
对于C，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，C选项正确；
对于D，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确.
故选：BCD
12．BC
【分析】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题知，在正方体中，是棱上的动点，
建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系．

所以，，，设，其中，
所以，，
当，即，所以，显然方程组无解，
所以不存在使得，即不存在点，使得，故A项错误；
当时，解得，故B项正确；
因为，其中，
所以点到的距离为
，故C项正确；
因为，，其中，
所以，
所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故D项错误．
故选：BC．
13．##
【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为.
14．x2＋y2－4x＝0.
【详解】设圆心坐标为,则圆方程为:(x−a)2+y2=4,根据点到直线的距离公式,得,解得a=2或(舍去),所以圆C的方程为:(x−2)2+y2=4,整理为一般方程为:.
15．
【分析】分两种情况讨论，斜率不存在时验证即可，斜率存在时利用斜率和截距的限制条件可得答案.
【详解】①当，即时，直线为.该直线不过第三象限，符合；
②当，即时，直线化为斜截式方程为，
因为直线不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在轴上的截距大于等于零．
即，解得．
综上：，即.
故答案为.
16．
【分析】计算出以及、的值，可求得的值，即可得解.
【详解】如下图所示：
由题意可得，，
所以，，
，
，
所以，.
因此，与所成角的余弦值为.
故答案为.
17．（1）（2）
【分析】（1）根据是中点，得到坐标，然后根据点坐标，利用两点式写出直线方程，整理得到答案；（2）根据与垂直，得到所求直线的斜率，再由直线过点，点斜式写出直线方程，整理得到答案.
【详解】（1）因为，，且是中点，
所以，
而，所以由两点式可得的直线方程为
，
整理得；
（2）直线的斜率，
所以与垂直的直线的斜率，
所以过与AB垂直的直线为，
整理得.
本题考查直线方程中的两点式、点斜式，两直线垂直的斜率关系，属于简单题.
18．(1)证明见解析；
(2)
【分析】建立空间直角坐标系，应用向量证明垂直关系和求解角度.
【详解】（1）
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
则，
，
则；
（2）设平面的一个法向量为，
，则，则，
令，，则，
设直线与平面所成角为.
则直线与平面所成角的正弦值为.
19．（1）；（2）直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为.
【分析】（1）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
（2）计算圆心到直线的距离，由可判断直线与圆相交，并利用勾股定理可计算出直线被圆所截得的弦长.
【详解】（1）圆的半径为，
因此，圆的标准方程为；
（2）圆心到直线的距离为，所以，直线与圆相交.
因此，直线被圆所截得的弦长为.
本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了直线与圆的位置关系的判断以及直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，即可得到四边形是平行四边形，则，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）
连接，由，分别是，的中点，所以，且，
由棱台性质，，于是，
由可知，四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面．
（2）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，解得，，
所以点到平面的距离，即点到平面的距离为．
21．(1)
(2)或
【分析】（1）根据圆的性质，结合两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）圆心在直线上，不妨设圆心为，
则，得，
故圆的方程为；
（2）①当直线斜率不存在时，方程为,
，显然满足，
②当斜率存在时，设：即，
由（1）可知：圆的半径为，因为，
所以点到距离．
综上，的方程为或．
22．(1)
(2)存在，
【分析】（1）以点为坐标原点，以为正交基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值；
（2）假设存在点，设，其中，求出向量的坐标，根据空间向量法可得出关于的方程，结合求出的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为平面，平面，所以．
又，所以.
以点为坐标原点，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
则，.，．
设平面的一个法向量为．
则，即，令，得．
所以平面的一个法向量为．
易知平面的一个法向量为，
所以,
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（2）解：假设存在点，设，其中，
则．
由（2）知，平面的一个法向量为.
则，
即，所以．故存在满足题意的点，此时点与点重合，
此时．