2024大理州民族中学高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024大理州民族中学高一上学期12月月考试题数学含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数的图像关于（ ）
A. 轴对称B. 直线对称C. 坐标原点对称D. 直线对称
3. 下列角中，与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
8. 若，则实数的取值范围是（ ）
A B. 或C. D. 或
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9. 下面说法正确的有（ ）
A. 化成弧度是；
B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为；
C. 角为第四象限角的充要条件是；
D. 若角的终边上一点的坐标为，则.
10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值是2B. 的最大值是1
C. 的最小值是4D. 的最大值是
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件
12. 已知函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则或
D. 若方程有两个不同实数根，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的单调递增区间是__________
14. 若角的终边过点，则的值是______.
15. 已知是定义在上的奇函数，且时，，则___________.
16. 若函数在上只有一个零点，则实数的取值范围是__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）.
18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求方程的解集.
19. 已知对数函数的图象经过点.
（1）求不等式解集；
（2）已知函数的反函数为，，求在上的最大值和最小值.
20. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
21. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
22. 已知.
（1）若的值域为，求实数的取值范围；
（2）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围.
大理州民族中学2023-2024学年上学期12月月考
高一数学
考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】由题意可知，即A错误，B正确；
若，即C、D错误.
故选：B
2. 函数的图像关于（ ）
A. 轴对称B. 直线对称C. 坐标原点对称D. 直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，即可得解.
【详解】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称.
故选：C
3. 下列角中，与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据终边相同的角的知识确定正确选项.
【详解】与角终边相同的角是，
令，得.
故选：C
4. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断.
【详解】函数是定义域上的增函数，又，，所以，
所以函数的零点所在区间为.
故选：B.
5. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据对数函数的真数取值范围和指数函数的单调性解出集合，再求结果即可.
【详解】因为集合的代表元素是，由对数函数的意义可知，
所以，
而集合，
所以，
故选：D
6. 已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果.
【详解】由图象可知：，.
故选：C.
7. 扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以该折扇的扇面的面积为.
故选：D
8. 若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
将不等式化成同底，即可得答案；
【详解】，
或
解得：或，
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9. 下面说法正确的有（ ）
A. 化成弧度是；
B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为；
C. 角为第四象限角的充要条件是；
D. 若角的终边上一点的坐标为，则.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的三角函数值符号可判定C，由三角函数的定义可判定D.
【详解】根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；
易知终边在直线上的角与的角的终边相同，故其取值集合可表示为，即B错误；
易知第四象限角余弦为正数，故C错误；
由三角函数的定义可知角的终边上一点的坐标为，则，即D正确.
故选：AD
10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值是2B. 的最大值是1
C. 的最小值是4D. 的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可.
【详解】因为，所以，
则
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值是2，故A正确；
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
即的最大值是1，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值是，故C错误；
因为，
当且仅当，即时等号成立，
即的最大值是，故D正确，
故选:ABD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】写出全称量词命题的否定判断A；利用充分条件、必要条件的定义判断BCD.
【详解】对于A，命题“，”是全称量词命题，其否定为：，，A错误；
对于B，显然成立，必有成立，即是的充分条件，B错误；
对于C，当时，成立，反之，当时，不一定成立，如，
因此“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D，当时，方程中，，方程有两个不等实根，
有，因此一正一负，反之，方程两根一正一负，
则，此时，因此“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，D正确.
故选：CD
12. 已知函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则或
D. 若方程有两个不同的实数根，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A分情况代入的值讨论即可；选项B直接把代入分段函数求值；选项C分情况讨论；选项D利用函数单调性求分段函数图像与直线的交点分析即可.
【详解】对于：当时，，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；
对于：，，故选项不正确；
对于：当时，，即，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；
对于：函数在上单调递增，值域为，则时，，
函数在上单调递减，值域为，则时，，因此，方程有两个不同的实数根，则，故选项正确.
故选：ABC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的单调递增区间是__________
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数与指数函数的单调性，结合复合函数的单调的判定方法，即可求解.
【详解】设，即，
可得函数的图象表示开口向下，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又由函数在定义域上为单调递减函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数单调递增区间为.
故答案为：.
14. 若角的终边过点，则的值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，由三角函数的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为角的终边过点，
则.
故答案为：
15. 已知是定义在上的奇函数，且时，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
即有．
故答案为：．
16. 若函数在上只有一个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将函数零点问题转化为方程根的问题，然后分离参数，构造函数，即可得到结果.
【详解】，设，，
令在上单调递减，
故.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】17. 3 18. 4
【解析】
【分析】（1）按照指数幂的运算性质及对数运算性质进行运算即可；
（2）按照对数运算性质及换底公式进行运算即可.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
.
.
18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求方程的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当，则，利用题中条件即可求得的表达式，最后写成分段函数的形式；
（2）令，则，利用建立方程解出后，再解关于的方程即可.
【小问1详解】
设，则因为是定义在上的偶函数，
则
所以
【小问2详解】
令，则
因为是定义在上的偶函数，所以
所以或（不合题意，舍去）
∴或
∴或
所以方程的解集为.
19. 已知对数函数的图象经过点.
（1）求不等式的解集；
（2）已知函数的反函数为，，求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求出，解对数不等式即可.
（2）运用换元法将问题转化为求，的最值即可.
【小问1详解】
设（且），则，
所以，
所以，
由可得，即，
即，解得.
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
依题知，，故，
令，则，
又因为，所以，所以，
即，，
所以当时，；
当时，.
所以在上的最大值为3，最小值为.
20. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）本题可根据求出的解析式；
（2）本题可在上任取、且，然后通过转化得出，即，即可证得结论；
（3）本题首先可根据奇函数性质将转化为，然后根据减函数性质转化为，最后通过计算即可得出结果.
【详解】（1）因为，所以，
因为函数是奇函数，所以，
即，解得，
（2）在上任取、，且，
则
，
因为，，，，
所以，，在区间上是减函数.
（3）因为是定义在上的奇函数和减函数，
所以即，，
则，解得，不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式、定义法判断函数单调性以及利用函数性质解不等式，偶函数满足，奇函数满足，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
21. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）
（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？
（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？
【答案】（1）144年
（2）26年
【解析】
【分析】（1）由题意代入条件式运算得解；
（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.
【小问1详解】
由题可知，所以，
所以，
解得，所以残留量为初始量的，大约需要144年.
【小问2详解】
根据题意当时，，，
，若残留量不超过初始量的，则，即
两边取常用对数，
解得，所以至少需要26年.
22. 已知.
（1）若值域为，求实数的取值范围；
（2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数值域的性质，将问题转化为，从而得解；
（2）将问题转化为的值域是的值域的子集，从而利用二次函数与指数函数的性质即可得解.
【小问1详解】
依题意，函数的值域为，
设，可得，解得或，
故的取值范围是.
【小问2详解】
若，则，
因为，其开口向上，对称轴为，
所以当时，的最小值为8，
当时，取得最大值为，
且在定义域内单调递增，
可得在上的最小值为，最大值为，
即函数的值域是.
因为对任意，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集.
当时，在上单调递增，
所以，则，解得；
当时，在上单调递减，
所以，则，解得；
当时，，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围.