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    2024榆林高三下学期4月大联考试题(三模)数学(文)含解析

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    这是一份2024榆林高三下学期4月大联考试题(三模)数学(文)含解析,共15页。试卷主要包含了选择题的作答,非选择题的作答,选考题的作答等内容,欢迎下载使用。

    本试卷共4页,23题(含选考题).全卷满分150分.考试用时120分钟.
    注意事项:
    1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
    2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    5.考试结束后',请将本试题卷和答题卡一并上交.
    第I卷
    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知集合,则( )
    A. B. C. D.
    2.已知,则( )
    A.2 B. C. D.1
    3.在中,在边上,且是边上任意一点,与交于点,若,则( )
    A. B. C.3 D.-3
    4.设为两条不同的直线,为两个不同的平面,下面为真命题的是( )
    A.若,则
    B.对于空间中的直线,若,则
    C.若直线上存在两点到平面的距离相等,则
    D.若,则
    5.在平面直角坐标系中,把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若,点为双纽线上任意一点,则下列结论正确的个数是( )
    ①关于轴不对称
    ②关于轴对称
    ③直线与只有一个交点
    ④上存在点,使得
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    6.现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏,从甲开始依次进行,当甲报出1,乙报出2后,之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字,则第2024个被报出的数应该为( )
    A.2 B.4 C.6 D.8
    7.已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为,则三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为( )
    A. B. C. D.
    8.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于对称,则实数的最小值为( )
    A. B. C. D.
    9.在一次数学模考中,从甲、乙两个班各自抽出10个人的成绩,甲班的十个人成绩分别为,乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同、方差也相同,则把这20个数据合并后( )
    A.中位数一定不变,方差可能变大
    B.中位数可能改变,方差可能变大
    C.中位数一定不变,方差可能变小
    D.中位数可能改变,方差可能变小
    10.已知,若当时,关于的不等式恒成立,则的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    11.设为双曲线的上、下焦点,点为的上顶点,以为直径的圆交的一条渐近线于两点,若,则的离心率为( )
    A. B. C. D.
    12.某兴趣小组的几位同学在研究不等式时给出一道题:已知函数.函数,当时,的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    第II卷
    本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.
    二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
    13.已知函数为奇函数,且最大值为1.则函数的最大值和最小值的和为__________.
    14.小明准备参加学校举行的人工智能AI比赛,比赛采取掷硬币方式:将一枚硬币连续掷三次,恰有两次正面朝上就参加比赛,则小明参加比赛的概率为__________.
    15.若直线与抛物线和圆从左到右依次交于点,则__________.
    16.在中,,则面积的最大值为__________.
    三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(本小题满分12分)
    已知等差数列满足,前项和为是关于的二次函数且最高次项系数为1.
    (1)求的通项公式;
    (2)已知,求的前项和.
    18.(本小题满分12分)
    如图是一个半圆柱,分别是上、下底面圆的直径,为的中点,且是半圆上任一点(不与重合).
    (1)证明:平面平面,并在图中画出平面与平面的交线(不用证明);
    (2)若点满足,空间中一点满足,求三棱锥的体积.
    19.(本小题满分12分)
    “直播的尽头是带货”,如今网络直播带货越来越火爆,但商品的质量才是一个主播能否持久带货的关键.某主播委托甲、乙两个工厂为其生产加工商品,为了了解商品质量情况,分别从甲、乙两个工厂各随机抽取了100件商品,根据商品质量可将其分为一、二、三等品,统计的结果如下图:
    (1)根据独立性检验,判断是否有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关?
    (2)该主播在抽取的所有二等品和三等品中采用分层抽样的方法抽取7件商品进行质检分析,再从这7件商品中随机抽取2件送到专业质检机构组进行最终质检分析,求抽取的这2件商品中至少有1件为二等品的概率.
    20.(本小题满分12分)
    已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)当时,证明:.
    21.(本小题满分12分)
    已知椭圆的左、右焦点分别为,且在抛物线的准线上,点是上的一个动点,面积的最大值为.
    (1)求的方程;
    (2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求的取值范围.
    请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
    22.(选修4-4,坐标系与参数方程)(本小题满分10分)
    在直角坐标系中,曲线C的参数方程是(为参数).以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
    (1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
    (2)已知点的坐标为,直线交曲线的同支于两点,求的取值范围.
    23.(选修4-5,不等式选讲)(本小题满分10分)
    已知函数.
    (1)当时,解不等式;
    (2)若,且函数的最小值为5,证明:.
    2024届高三年级4月份大联考
    文科参考答案及解析
    一、选择题
    1.B 【解析】由,知
    ,所以;由,所以.故选B.
    2.D 【解析】由,得,所以,所以.故选D.
    3.C 【解析】三点共线,设,则,又,所以,所以.故选C.
    4.D 【解析】对于:在长方体中,令平面是平面,
    平面为平面,直线为直线,直线
    为直线,显然,此时直线
    是异面直线,不平行,故A错误;对于B:当,时,只有相交时才有,故B错误;对于C:若直线上存在两点到平面的距离相等,则或与相交,故C错误.对于D:因为,过作平面和平面交于,则,而,故,又,故,故D正确.故选D.
    5.C 【解析】①设到定点的距离之积为4,可得.,整理得,即曲线的方程为,易得曲线关于轴,轴,原点对称,图象如图所示,
    所以①不正确,②正确;③联立方程组,可得,即,所以,所以直线与曲线只有一个交点,所以③正确.④原点满足曲线的方程,即原点在曲线上,则,即曲线
    上存在点与原点重合时,满足,所以④正确.故选C.
    6.A 【解析】报出的数字依次是,除了首项以外是个周期为6的周期数列.故选A.
    7.B 【解析】如图,为等边三角形,为中点,面.
    设,则,则,则三棱锥的侧棱与底面所成角为,则.故选B.
    8.C 【解析】由函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数,又由图象关于对称,所以,解得,因为,所以当时,取得最小值,最小值为.故选C.
    9.A 【解析】不妨设,则的中位数为、的中位数为或,则合并后的数据中位数是或者,所以中位数不变.设第一组数据的方差为,平均数为,第二组数据的方差为,平均数为,合并后总数为20,平均数为,方差为
    如果均值相同则方差不变,如果均值不同则方差变大.故选A.
    10.A 【解析】当时,,当时,

    则,
    即,所以.故选A.
    11.C 【解析】由题意知以为直径的圆的方程为,根据对称性,不妨设一条渐近线方程为,联立得,又,所以,则
    ,即.所以离心率.故选C.
    12.C 【解析】,当时,,令,则由,可得,,则,在恒成立,在上单调递减,.令,易证为增函数,或,当成立时,有,所以或.故选C.
    二、填空题
    13.2 【解析】奇函数如果存在最值,则最大值和最小值之和为0.所以最值之和为0.则+1的最值之和为2.故答案为2.
    14. 【解析】一枚硬币郑三次,包含的基本事件有:
    (正正正),(正正反),(正反正),(正反反),(反正正),(反正反),(反反正),(反反反),共8个,恰有两次都是正面朝上的基本事件有:(正正反),(正反正),(反正正),共3个,故所求概率为.故答案为.
    15.22 【解析】由与联立得
    ,设,,则.故答案为22.
    16.3 【解析】取中点,以为坐标原点建立如图平面直角坐标系,因为,故,设,整理得,故点的轨迹是以为圆心,2为半径的圆(除去,).即时,面积取最大值为.故答案为3.
    三、解答题
    17.解:(1)因为为等差数列,设首项为,公差为,

    .
    .
    .
    (2),
    .
    .
    18.解:(1)在上,
    由题意可知平面面,
    又面,
    平面平面.
    过作的平行线交于点,则即为平面与平面的交线.
    (2),
    ,解得,

    则,又点满足,即点是线段上靠近的三等分点,
    所以-,
    .
    19.解:(1)由题意得列联表如下:
    所以没有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关.
    (2)在抽取的商品中,二等品与三等品之比为,所以二等品抽了4件,三等品抽了3件,
    从7件商品中随机拿2件商品共有21种结果,
    其中2件商品中均为三等品共有3种结果
    所以抽取的这2件商品中均为三等品的概率为,
    则取的这2件商品中至少有1件为二等品的概率为.
    20.解:(1),
    当时,,此时,在上单调递减.
    当时,在上单调递增,在上单调递减.
    (2)证明:当时,证原不等式等价于证
    由(1)知时,,
    ,当且仅当时等号成立.
    欲证,只需证,即证,
    令,
    则.
    在上单调递增,在上单调递减,
    所以当时,.
    21.解:(1)焦点在抛物线的准线
    当点为短轴顶点时,面积最大,
    此时,

    椭圆方程为.
    (2)当轴时,显然.
    当与轴不垂直时,可设直线的方程为.
    由,消去整理得,
    设,线段的中点为,
    所以
    线段的垂直平分线方程为
    令,得.
    当时,;当时,.
    所以,或.
    综上,的取值范围是.
    22.解:(1),①
    ,②
    ①-②,得.
    所以曲线的普通方程为.
    由,可将
    化为.
    故直线的直角坐标方程为.
    (2)由(1)知,直线恒过点,故可设直线的
    参数方程为(其中为参数),
    设两点对应的参数分别是.
    将直线的参数方程代入,
    得.
    因为直线交曲线的同支于两点,曲线
    的渐近线方程为,
    所以,所以,
    由韦达定理,可得
    与异号.
    所以
    .
    由于,从而,
    所以所求式的取值范围为.
    23.解:(1)当时,
    当时,,
    (舍).
    当时,,
    ,又,
    .
    当时,,
    ,又,
    .
    综上,所求不等式解集为.
    (2)证明:因为,
    当且仅当时取等号,
    所以,
    因为,所以由柯西不等式,
    可知

    当且仅当时等号成立,
    所以.0.100
    0.050
    0.010
    0.005
    2.706
    3.841
    6.635
    7.879
    一等品
    非一等品
    合计

    70
    30
    100

    60
    40
    100
    合计
    130
    70
    200
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