2024开封五县联考高二上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024开封五县联考高二上学期12月月考试题数学含解析，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A B. C. D.
2. 记为数列前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为
A. ±4B. －4C. 4D. 无法确定
4. 过点与圆相切两条直线的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. D.
5. 设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则
A. B. C. D.
6. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A. 120B. 85C. D.
8. F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（ ）
A. B. 的最大值为C. D.
10. 已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列的前n项和为B. 数列的通项公式为
C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列
11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A. B.
C. 以MN为直径的圆与l相切D. 为等腰三角形
12. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为递增数列
D. 的前n项和
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则向量坐标为______.
14. 已知数列的前n项和，则数列通项公式为________.
15. 已知数列满足，，则的前10项和____________.
16. 已知直线l：经过椭圆C：的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，为椭圆的右焦点，的周长为16，则此椭圆的短轴长为______．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18. 设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an+1=Sn+3n(n∈N*).
（1）求证：{Sn﹣3n}是等比数列；
（2）若{an}为递增数列，求a1的取值范围.
19. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求通项公式；
（2）证明：．
20. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，E是上的点.
（1）求证：平面平面；
（2）若E是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
21. 在数列中，．
（1）证明：数列为常数列．
（2）若，求数列的前项和．
22. 已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
2023-2024学年五县联考高二年级数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.
【详解】抛物线标准方程为，
其焦点坐标为
故选：C.
2. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为
A. ±4B. －4C. 4D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：因为.
考点：本小题考查等差数列的前n项和公式及等差等比中项等内容.
点评：对于等比数列：若m+n=p+q,,则,对于等差数列若m+n=p+q,,则.
4. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

5. 设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】Sn＝＝＝＝3－2an.
6. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得到直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量求解公式得到答案.
【详解】由题意得，直线的方向向量为，平面的法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则
故选：A
7. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A. 120B. 85C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
8. F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】如图，设等边三角形边长为，设，根据双曲线的定义有，解得.在三角形中，由余弦定理得，化简得.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（ ）
A. B. 的最大值为C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等差数列的定义及前项和公式可求得公差与的关系，再对各项进行逐一判断即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由，所以，所以A正确；
因为公差正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B不正确；
由，所以，所以C正确；
因为，所以，即，所以D错误.
故选:AC.
10. 已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列的前n项和为B. 数列的通项公式为
C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列
【答案】AD
【解析】
【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.
【详解】
因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；
所以，即A正确；
当时
所以，即B，C不正确；
故选：AD
【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A. B.
C. 以MN为直径的圆与l相切D. 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

12. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为递增数列
D. 的前n项和
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即，故B正确；
因，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故C错误；
，
则，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】空间向量线性运算的坐标表示，直接求值.
【详解】已知，，则.
故答案为：
14. 已知数列的前n项和，则数列通项公式为________.
【答案】
【解析】
【分析】
当n＝1时直接由Sn求出a1，当n≥2时由an＝Sn﹣Sn﹣1解得an，然后验证a1适合an得结论．
【详解】由，得
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，，
验：当n＝1时，a1＝1，不符合上式．
∴数列的通项公式为．
故答案为：.
【点睛】易错点睛：在数列中，由求时，分当n＝1时和当n≥2时两种情况，易错当n＝1时的检验在n≥2时是否成立.
15. 已知数列满足，，则的前10项和____________.
【答案】75
【解析】
【分析】根据题意分别求，进而求.
【详解】由题意可知：，，，，
，，，，
，，
所以的前10项和.
故答案为：75.
16. 已知直线l：经过椭圆C：的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，为椭圆的右焦点，的周长为16，则此椭圆的短轴长为______．
【答案】
【解析】
【分析】确定，根据周长确定，得到答案.
【详解】直线l：经过椭圆的左焦点，则，，

的周长为，解得，故，椭圆的短轴长为.
故答案为：.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用 ，即可得的通项公式；
（2）由题可知，利用分组求和法即得.
【小问1详解】
因为，
当时，，
当时，，
因为也满足，
综上，；
【小问2详解】
由题可知，
所以.
18. 设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an+1=Sn+3n(n∈N*).
（1）求证：{Sn﹣3n}是等比数列；
（2）若{an}为递增数列，求a1的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）a1>﹣9且a1≠3.
【解析】
【分析】
（1）由an+1=Sn+3n得，整理得Sn+1﹣3n+1=2(Sn﹣3n)，即证；
（2）由（1）可求出，继而求出，由可解出.
【详解】证明：（1）∵an+1=Sn+3n(n∈N*)，
， ∴Sn+1=2Sn+3n，
∴Sn+1﹣3n+1=2(Sn﹣3n)，∵a1≠3，
∴数列{Sn﹣3n}是公比为2，首项为a1﹣3的等比数列；
（2）由（1）得，
∴，
n≥2时，，
∵{an}为递增数列，
∴n≥2时，，即，
∴n≥2时，，
∴，∵a2=a1+3>a1，
∴a1的取值范围是a1>﹣9且a1≠3.
【点睛】本题数列递推式､等比数列的性质，属于中档题.
19. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【小问1详解】
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
【小问2详解】

∴
20. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，E是上的点.
（1）求证：平面平面；
（2）若E是中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理证明，再由线面垂直得，从而可得平面，进而可证得面面垂直；
（2）依题意建立空间直角坐标系，设，由向量法求二面角得值，再用向量法求线面角．
【小问1详解】
由题意四边形是直角梯形，，，
所以，则，
又平面，平面，则，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
依题意，以为轴建立空间直角坐标系，如图，
设，
则，．，，，
则，，，
设平面的一个法向量是，
则，令，则，
易知平面的一个法向量为，
设二面角为 ，由图形可知，
则，解得，则，
记直线PA与平面EAC所成角为，，
所以．
21. 在数列中，．
（1）证明：数列为常数列．
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）化简得，即可证明；
（2）应用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
令，得，则．
因为①，所以②．
①-②得，即．
因为，所以数列为常数列．
【小问2详解】
由（1）可得，所以是公差为1的等差数列，
所以．
因为，所以③，
④．
③-④得
，
所以．
22. 已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）依题意可得，从而得到，的坐标，再根据椭圆的定义求出，最后求出，即可得到椭圆方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再利用点到直线的距离公式得到圆的半径，最后根据的面积得到方程，即可求出，从而求出圆的方程.
【小问1详解】
解：由题意知，所以，，
所以，由椭圆定义知：，
则，，
故椭圆的方程为．
【小问2详解】
解：①当直线轴时，令，可得，解得，
可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
成立，
设，，则，，
可得．
又圆的半径，
∴的面积为，
化简得，解得，
∴，
∴圆的方程为．