数学第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算说课课件ppt

这是一份数学第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算说课课件ppt，共44页。PPT课件主要包含了素养目标•定方向，必备知识•探新知，λμa，λa＋μa，λa＋λb，λμ1a±λμ2b，ABD，b＝λa，①②③，关键能力•攻重难等内容，欢迎下载使用。

6.2　平面向量的运算6.2.3　向量的数乘运算
1．通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．2．了解平面向量线性运算的性质及其几何意义．通过向量数乘运算知识的形成过程，体会数学抽象在概念及性质的产生发展过程中的作用，进一步提升数学运算素养及数学抽象素养.
1．向量的数乘的定义一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_______，这种运算叫做向量的_______，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝________.由(1)知，当λ＝0时，λa＝0，由(1)(2)知，(－1)a＝－a.
2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝__________.(3)λ(a＋b)＝__________.特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝________________.
[提醒]　1．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．2．λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．3．注意向量数乘的特殊情况：(1)若λ＝0，则λa＝0；(2)若a＝0，则λa＝0.
练一练：A．2a＋3b B．a－3bC．2a－3b D．2a－2b
2．(多选题)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是(　　　)A．m(a－b)＝ma－mbB．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，则a＝bD．若ma＝na(a≠0)，则m＝n[解析]　易知A和B正确；当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确．
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使____________.注：向量共线定理可以划分为两个定理：①判定定理：如果b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.②性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[拓展]　关于共线向量定理的说明：(1)定理中，向量a为非零向量，即定理不包含0与0共线的情况．(2)条件a≠0是必须的．否则当a＝0，b≠0时，虽然b与a共线，但不存在实数λ，使得b＝λa；当a＝0，b＝0时，λ可以是任意实数．(3)要证明向量a，b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa即可．(4)若b＝λa(λ∈R)，则a与b共线．
练一练：若向量e1，e2不共线，则下列各组中，向量a，b共线的有_________.　(填序号)①a＝2e1，b＝－2e1；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
[解析]　①中，a＝－b，所以a，b共线；②中，b＝－2a，所以a，b共线；③中，a＝4b，所以a，b共线；④中，不存在λ∈R，使a＝λb，所以a，b不共线．
[归纳提升]　实数λ与非零向量a相乘，若λ>0，则λa与a同向；若λ<0，则λa与a反向，且|λa|＝|λ||a|.
　　　　　　　　(多选题)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是(　　　)A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍C．－2a与2a是一对相反向量D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
　　　　　计算：(1)2×(－3a)；(2)(a＋b)－3(a－b)－8a；(3)3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，求x.[解析]　(1)原式＝[2×(－3)]a＝－6a.(2)原式＝－10a＋4b.(3)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
[归纳提升]　(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．
(2)已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝__________，y＝__________.(用a，b表示)
　　　　　设两个非零向量a与b不共线，(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
(2)由两向量共线，列出关于a、b的等式，再由a与b不共线知，若λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
[归纳提升]　1．证明或判断三点共线的方法
2．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．
(1)若A，B，C三点共线，求k的值；(2)若A，B，D三点共线，求k的值．
用已知向量表示相关向量
[归纳提升]　解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示．
1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于(　　)A．2a B．－2aC．25a D．－25a[解析]　3x－2x＋2a＝0，x＝－2a.
2．下列结论正确的是(　　)A．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λaB．若b＝λa，则a与b共线C．若λa＝0，则a＝0D．|λa|＝λ|a|[解析]　A选项缺少a≠0，故A错误；B选项中可以是λ＝0，故B错误；D选项应为|λ||a|，故D错误．
4．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)A．k＝0 B．k＝1