2023-2024学年吉林省长春市公主岭八中、蓝海中学、荣超实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市公主岭八中、蓝海中学、荣超实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.计算(xy3)2的结果是( )
A. xy6B. x2y3C. x2y6D. x2y5
3.平面直角坐标系中的点A(−1,2)与点B(1,2)关于( )
A. 原点对称B. x轴对称
C. y轴对称D. 第一、三象限角平分线对称
4.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A. 6米B. 9米C. 12米D. 15米
5.将(16)−1,(−2)0,(−3)2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是( )
A. (16)−1<(−2)0<(−3)2B. (−2)0<(16)−1<(−3)2
C. (−3)2<(−2)0<(16)−1D. (−2)0<(−3)2<(16)−1
6.某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是( )
A. 75x−5=50xB. 75x=50x−5C. 75x+5=50xD. 75x=50x+5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.因式分解：2x2−4xy=______．
8.已知实数a，b，满足a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值为______ ．
9.已知x=1是分式方程1x+1=3kx的根，则实数k= ______ ．
10.在活动课上，小红已有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是______ cm．
11.如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=______度．
12.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄.已知DA=10km，CB=15km.DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是______ km．
13.如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于______ ．
14.小聪的妈妈每个月给她m元零花钱，她计划每天用a元(用于吃早点，乘车)刚好用完，而实际她每天节约b元钱，则她实际可以比原计划多用______ 天才全部消费完．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
15.解方程：2xx+3+1=72x+6．
16.某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部分计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像．
(1)请用含a，b的代数式表示绿化面积s；
(2)当a=3，b=2时，求绿化面积s．
四、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：(a2+3)(a−2)−a(a2−2a−2)．
18.(本小题5分)
一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．
19.(本小题5分)
先化简，再求值：(1+1a+1)÷a2−42a+2，其中a=3．
20.(本小题7分)
已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF/​/BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形．
21.(本小题7分)
如图所示的“钻石”型网格是由边长都为1个单位长度的等边三角形组成的.请在作图区所给的图中，将一个空白小三角形涂上阴影，使它与原阴影部分组成的图形是轴对称图形.(画出所有可能的结果，所给的图未必全用)
22.(本小题7分)
如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE，求证：∠ACB=12∠AFB．
23.(本小题8分)
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．
(1)尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．
24.(本小题8分)
甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲、乙两人每天各加工多少个玩具．
(1)设甲每天加工x个玩具，用含x的代数式表示：乙每天加工______ 个玩具，甲加工90个玩具所用的时间为______ ，乙加工120个玩具所用的时间为______ ；
(2)根据(1)中数据，列方程解答问题．
25.(本小题10分)
如图，已知点D为OB上的一点，按下列要求进行作图．
(1)作∠AOB的平分线OC；
(2)在OC上取一点P，使得OP=a；
(3)爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使得PE=PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP与∠ODP的数量关系，并说明理由．
26.(本小题10分)
已知Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为边作Rt△ADE，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，连接CE．
(1)发现问题
如图①，当点D在边BC上时．
①请写出BD和CE之间的数量关系为______，位置关系为______；
②求证：CE+CD=BC
(2)尝试探究
如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中BC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．
(3)拓展延伸
如图③，当点D在CB的延长线上且其他条件不变时，若BC=6，CE=2，求线段CD的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不属于轴对称图形，故此选项错误；
B、不属于轴对称图形，故此选项错误；
C、属于轴对称图形，故此选项正确；
D、不属于轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：原式=(xy3)2
=x2y3×2=x2y6，
故选C．
根据幂的乘方的性质，积的乘方的性质，进行计算求解即可．
本题考查了幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：平面直角坐标系中的点A(−1,2)与点B(1,2)的横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以点A(−1,2)与点B(1,2)关于y轴对称．
故选：C．
关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
此题主要考查了关于y轴对称点的特征，点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】
解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴3+6=9米．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：∵(16)−1=6，(−2)0=1，(−3)2=9，
∴(−2)0<(16)−1<(−3)2，
故选：B．
先分别计算出各式的值再进行比较即可．
本题涉及零指数幂及负整数指数幂，解答此题时要熟知：
(1)任何非0实数的0次幂等于1；
(2)负整数指数等于等于正整数指数的倒数．
6.【答案】B
【解析】解：∵每辆大货车的货运量是x吨，
∴每辆小货车的货运量是( x−5)吨，
依题意得：75x=50x−5．
故选：B．
由每辆大货车的货运量是x吨，则每辆小货车的货运量是(x−5)吨，根据用大货车运送75吨货物所需车辆数与小货车运送50吨货物所需车辆数相同，即可得出关于x的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7.【答案】2x(x−2y)
【解析】解：2x2−4xy=2x(x−2y)．
故答案为：2x(x−2y)．
提取公因式2x，然后整理即可得解．
本题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题的关键．
8.【答案】42
【解析】解：∵a+b=6，ab=7，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=7×6
=42．
故答案为：42．
利用因式分解得到ab(a+b)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了因式分解．
9.【答案】16
【解析】【分析】
本题主要考查分式方程的解法．先将x的值代入已知方程即可得到一个关于k的方程，解此方程即可求出k的值．
【解答】
解：将x=1代入1x+1=3kx得，
11+1=3k1，
解得，k=16．
故答案为16．
10.【答案】8
【解析】解：当第三根是4cm时，其三边分别为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当第三根是8cm时，其三边分别是8cm，8cm，4cm，符合三角形三边关系；
所以第三根长8cm．
故填8．
题目给出两条小棒长为4cm和8cm打算拼一个等腰三角形，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
11.【答案】45
【解析】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，
∴∠1=180°−∠ABD−∠D=180°−110°−25°=45°．
根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得．
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，比较简单．
12.【答案】15
【解析】解：设AE=x，则BE=25−x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2=102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=152+(25−x)2，
由题意可知：DE=CE，
所以：102+x2=152+(25−x)2，
解得：x=15km．
所以，E应建在距A点15km处．
故答案为：15
根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
13.【答案】60°
【解析】解：∵用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，
∴OA=OB，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴OA=AC，
∴OA=OB=OC=AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°．
故答案为60°．
根据题意得出△ABC为等边三角形，从而得出∠AOC的度数．
本题考查了等边三角形的判定和性质，等边三角形的每一个角等于60度．
14.【答案】ma−b−ma
【解析】解：依题意得：ma−b−ma．
多用天数=实际天数−计划天数，而天数=总钱数÷每天花钱数．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
15.【答案】解：去分母得：4x+2x+6=7，
移项合并得：6x=1，
解得：x=16，
经检验，x=16是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：(1)根据题意得：S=(3a+b)(2a+b)−(a+b)2=6a2+5ab+b2−a2−2ab−b2=5a2+3ab；
(2)当a=3，b=2时，原式=45+18=63．
【解析】(1)由长方形的面积减去正方形的面积表示出S即可；
(2)把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：(a2+3)(a−2)−a(a2−2a−2)，
=a3−2a2+3a−6−a3+2a2+2a，
=5a−6．
【解析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，计算后再合并同类项即可．
本题考查了单项式乘多项式，多项式的乘法的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
18.【答案】解：设这个多边形的边数是，则
(n−2)×180=360×4，
n−2=8，
n=10．
答：这个多边形的边数是10．
【解析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°.n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
考查了多边形内角与外角，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
19.【答案】解：原式=(a+1a+1+1a+1)⋅2(a+1)(a−2)(a+2)
=a+2a+1⋅2(a+1)(a−2)(a+2)
=2a−2，
当a=3时，原式23−2=2．
【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20.【答案】解：∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF=∠EDF=12∠CDE，
∵∠CDE=120°，
∴∠CDF=60°，
∵DF//BA，
∴∠ABC=∠CDF=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】根据角平分线的定义得出∠CDF=∠EDF=12∠CDE，再利用平行线的性质得出∠ABC=∠CDF，再根据等边三角形的判定定理得出结论．
本题考查了等边三角形的判定，以及角平分线的定义和平行线的性质，是一道基础题目，难度不大，是中考的常见题型．
21.【答案】解：如图所示．

【解析】依据轴对称图形的特征，即可将一个空白小三角形涂上阴影．
本题主要考查了利用轴对称变换设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
22.【答案】证明：在△ABC与△DEB中，
AC=BDAB=EDBC=BE，
∴△ABC≌△DEB(SSS)，
∴∠ACB=∠EBD．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠AFB=∠ACB+∠EBD，
∴∠AFB=2∠ACB，即∠ACB=12∠AFB．
【解析】先根据SSS定理得出△ABC≌△DEB(SSS)，故∠ACB=∠EBD，再根据∠AFB是△BFC的外角，可知∠AFB=∠ACB+∠EBD，由此可得出∠AFB=2∠ACB，故可得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示：
BD即为所求；
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−36°)÷2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=36°+36°=72°，
∴BD=BC，
∴△DBC是等腰三角形．
【解析】(1)以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过这点和B作线段BD即可；
(2)由∠A=36°，求出∠C、∠ABC的度数，能求出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出∠BDC，根据等角对等边即可推出答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，作图与基本作图等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠C、∠BDC的度数．
24.【答案】(35−x) 90x天 12035−x天
【解析】解：(1)设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工(35−x)个玩具，
甲加工90个玩具所用的时间为：90x天，
乙加工120个玩具所用的时间为：12035−x天，
故答案为：(35−x)，90x天，12035−x天；
(2)由题意得：90x=12035−x，
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，
∴35−x=35−15=20(个)，
答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．
(1)设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工(35−x)个玩具，再由时间(天)=加工的个数 每天加工个数，列式即可；
(2)根据甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图，OC即为所求；
(2)如图，OP=a；
(3)∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，
PN⊥OB于N，则PM=PN．
在△E2PM和△DPN中，
PE2=PDPM=PN，
∴△E2PM≌△DPN(HL)，
∴∠OE2P=∠ODP；
以P为圆心，以PD为半径作弧，交OA于另一点E1，连接PE1，
则此点E1也符合条件PD=PE1，
∵PE2=PE1=PD，
∴∠PE2E1=∠PE1E2，
∵∠OE1P+∠E2E1P=180°，
∵∠OE2P=∠ODP，
∴∠OE1P+∠ODP=180°，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
【解析】(1)以点O为圆心，以任意长为半径画弧与∠AOB的两边分别相交，再以两交点为圆心，以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧，相交于一点，过这一点与O作射线OC即可；
(2)在OC上取一点P，使得OP=a；
(3)以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，利用HL证明△E2PM≌△DPN，得出∠OE2P=∠ODP，再根据平角的定义即可求解．
本题主要考查了角平分线的作法，作一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的垂线，都是基本作图，需要熟练掌握，另外还考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
26.【答案】解：(1)①BD=CE，BD⊥CE；
②∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE
∴BC=BD+CD=CE+CD；
(2)(1)中BC、CE、CD之间存在的数量关系不成立，新的数量关系是CE=BC+CD，
(3)∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE=2
又∵BC=6
∴CD=BC+BD=8．
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
(1)①根据全等三角形的判定定理证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明；
②先证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的对应边相等证明即可；
(2)(1)中BC、CE、CD之间存在的数量关系不成立，新的数量关系是CE=BC+CD，
证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答即可；
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，
∴CE=BC+CD；
(3)根据△BAD≌△CAE得到BD=CE=2，计算即可．
【解答】
解：(1)①BD=CE，BD⊥CE，
∵∠ABC=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=90°，即BD⊥CE，
故答案为BD=CE；BD⊥CE；
②见答案；
(2)见答案；
(3)见答案．