2023-2024学年吉林省辽源市龙山实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省辽源市龙山实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列等式中，正确的是( )
A. 3a−2a=1B. a2⋅a3=a5
C. (−2a3)2=−4a6D. (a−b)2=a2−b2
2.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.当a=2时，a2−2a+1a2÷(1a−1)的结果是( )
A. 32B. −32C. 12D. −12
4.图中由“〇”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线( )
A. l1B. l2C. l3D. l4
5.如图，直线l1//l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC.若∠ABC=67°，则∠1=( )
A. 23°B. 46°C. 67°D. 78°
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.化简2x+1−x−2x2−1的结果是______ ．
8.如果3x−2的值为 6，那么9x2−12x+5的值是______ ．
9.如果点P(4,−5)和点Q(a,b)关于y轴对称，则a+b= ______ ．
10.在△ABC中，已知两条边a=6，b=7，则第三条边c的取值范围是______ ．
11.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD和BE的交点，∠DAC=25°，则∠ACH的度数是______ ．
12.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=______°.
13.已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是______．
14.观察等式：①9−1=2×4；②25−1=4×6；③49−1=6×8…按照这种规律写出第n个等式： ．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：a−12a+4÷a2−1a2−4．
16.(本小题5分)
解方程：2x−2+3=x−12−x．
17.(本小题5分)
已知关于x的方程xx−3−2=mx−3解为正数，求m的取值范围．
18.(本小题5分)
已知△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．
19.(本小题7分)
如图，已知△EAB≌△DCE，AB、EC分别是两个三角形的最长边，∠A=∠C=35°，∠CDE=100°，∠DEB=10°，求∠AEC的度数．
20.(本小题7分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，正方形ABCD和△EFG的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出△EFG关于直线AC对称的△EMN(点F的对称点M，点G的对称点为N)；
(2)请直接写出正方形ABCD与△EMN重叠部分的面积．
21.(本小题7分)
如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
(1)求证：△ABM≌△BCN．
(2)求∠APN的度数．
22.(本小题7分)
下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正．
甲：a为何值时，分式a2+6a+9a2−9有意义？
解：∵原式=a+3a−3，
∴当a≠3时，分式有意义．
乙：代数式x2−4x+4x−2是分式还是整式？
解：∵原式=x−2，故x2−4x+4x−2是整式．
丙：化简分式x2−2x+11−x2．
解：x2−2x+11−x2=(x−1)2(1+x)(1−x)=x−1x+1．
23.(本小题8分)
某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．
(1)求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
(2)学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2400元，那么最多可购买多少个甲礼品?
24.(本小题8分)
阅读：对于两个不等的非零实数a，b，若分式(x−a)(x−b)x的值为零，则x=a或x=b.又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−(a+b)，所以关于x的方程x+abx=a+b有两个解，分别为x1=a，x2=b．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程x+6x=5的两个解分别为______ ；
(2)关于x的方程x+a−12ax=3a−12a的两个解分别为x1，x2(x1(3)关于x的方程2x+n2−92x−3=2n+3的两个解分别为x1，x2(x125.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
(1)若∠ABC=70°，则∠MNA的度数是______．
(2)连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
26.(本小题10分)
平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图①，若AB/​/CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D得∠BPD=∠B−∠D，将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
(2)在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)；
(3)根据(2)的结论求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、3a−2a=a，原式计算错误，故本选项错误；
B、a2⋅a3=a5，原式计算正确，故本选项正确；
C、(−2a3)2=4a6，原式计算错误，故本选项错误；
D、(a−b)2=a2−2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误．
故选：B．
结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等运算，然后选择正确选项．
本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算法则是解答本题关键．
2.【答案】C
【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)·180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：根据多边形的外角和是360°，n边形的内角和是(n−2)·180°．
设这个多边形是n边形，
根据题意得(n−2)×180°=2×360°，
解得n=6，
即这个多边形为六边形．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：原式=(a−1)2a2÷1−aa
=(a−1)2a2⋅a1−a
=1−aa，
当a=2时，原式=1−22=−12．
故选：D．
通分、因式分解后将除法转化为乘法约分即可．
本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：该图形的对称轴是直线l3．
故选：C．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；分别将图形按l1，l2，l3，l4折叠，能使图形完全重合的就是该图形的对称轴．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用．
首先由题意可得：AB=AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l 1//l ​2，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，然后根据平角的定义，即可求得∠1的度数．
【解答】
解：根据题意得：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=67°，
∵直线l1//l2，
∴∠2=∠ABC=67°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=180°−∠2−∠ACB
=180°−67°−67°=46°．
故选B．
6.【答案】D
【解析】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
又∵OE=OE，
在Rt△AOE和Rt△COE中
OA=OCOE=OE
∴Rt△AOE≌Rt△COE(HL)，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故选：D．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OC，然后判断出△AOE和△COE全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到△ABC关于直线AD轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握各性质以及全等三角形的判定是解题的关键．
7.【答案】xx2−1
【解析】解：原式=2(x−1)(x+1)(x−1)−x−2(x+1)(x−1)
=2x−2−x+2(x+1)(x−1)
=xx2−1．
故答案为：xx2−1．
原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】7
【解析】解：∵3x−2= 6，
∴(3x−2)2=6，
∴9x2−12x+4=6，
∴9x2−12x=2，
∴9x2−12x+5=2+5=7，
故答案为：7．
把3x−2平方，根据完全平方公式即可得到9x2−12x的值，再代入计算即可．
本题考查了完全平方公式的应用，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
9.【答案】−9
【解析】解：点P(4,−5)和点Q(a,b)关于y轴对称，
则a=−4，b=−5
那么a+b=−9．
故答案为−9．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于y轴的对称点的坐标是(−x,y)，即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数，这样就可以求出A的对称点的坐标．求出a，b以及a+b的值．
本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容，比较简单．
10.【答案】1【解析】解：根据三角形的三边关系，得1根据三角形的三边关系“任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边”，进行求解．
考查了三角形的三边关系．
11.【答案】20°
【解析】解：延长CH交AB于点F，如图：
∵AD和BE是高，
∴CF⊥AB，
∵∠DAC=25°，∠ADC=90°，
∴∠ACB=65°，
由三角形的内角和可得∠BAC=70°，
∴∠ACH=90°−70°=20°，
故答案为：20°．
延长CH，根据三角形的三条高交于一点可得CH⊥AB，先求出∠ACB，即可求出∠BAC，进而求出∠ACH．
本题考查三角形的内角和，三角形的高，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
12.【答案】15
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，∠AED=90°，
∴∠A=∠ABD，
∵∠ADE=40°，
∴∠A=90°−40°=50°，
∴∠ABD=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)=65°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=65°−50°=15°，
故答案为：15．
根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．
13.【答案】(3,2)
【解析】解：如图所示：A(−3,2)，
则点A关于y轴对称的对应点A′的坐标是：(3,2)．
故答案为：(3,2)．
首先利用图形得出A点坐标，再利用关于y轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
14.【答案】(2n+1)2−1=2n(2n+2)(n为大于或等于1的自然数)
【解析】解：①9−1=32−1=(2×1+1)2−1=2×(2+2)=2×4；
②25−1=52−1=(2×2+1)2−1=(2×2)×(2+2×2)=4×6；
③49−1=72−1=(2×3+1)2−1=(2×3)×(2+2×3)=6×8，
…
因此第n个等式为：(2n+1)2−1=2n(2n+2)(n为大于或等于1的自然数)．
等式的左边是连续奇数的平方与1的差，右边是连续两个偶数的乘积，由此写出规律即可．
15.【答案】解：原式=a−12(a+2)÷(a+1)(a−1)(a+2)(a−2)
=a−12(a+2)⋅(a+2)(a−2)(a+1)(a−1)
=a−22a+2．
【解析】先把分式的分子、分母分解因式，然后把除法变为乘法，约分即可．
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：2x−2+3=x−12−x，
方程两边都乘x−2，得2+3(x−2)=−x+1，
解得：x=54，
检验：当x=54时，x−2≠0，
所以分式方程的解是x=54．
【解析】方程两边都乘x−2得出2+3(x−2)=−x+1，再求出方程的解，最后进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
17.【答案】解：去分母，得x−2(x−3)=m，
解得：x=6−m，
∵x>0，
∴6−m>0，
∴m<6，且x≠3，
∴m≠3．
∴m<6且m≠3．
【解析】本题考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，解题的关键是正确求解分式方程.先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
解答本题时，易漏掉m≠3，这是因为忽略了x−3≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
18.【答案】解：△ABC为等边三角形．理由如下：
等式两边同时乘以2得：
2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，
移项得：
2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，
结合完全平方公式变形，得
(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
【解析】对已知等式两边同时乘以2，结合完全平方公式对其变形可得(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0；根据非负数的性质可得到a、b、c的关系，进而可得到△ABC的形状．
此题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19.【答案】解：∵△EAB≌△DCE，
∴∠BEA=∠CDE=100°，
∵∠A=∠C=35°，∠CDE=100°，
∴∠DEC=180°−100°−35°=45°，
∵∠DEB=10°，
∴∠BEC=45°−10°=35°，
∴∠CEA=100°−35°=65°．
【解析】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等分析．
根据全等三角形的性质得出∠BEA=∠CDE=100°，同时利用三角形的内角和求出∠DEC=45°，再根据角的计算得出即可．
20.【答案】解：(1)△EMN如图所示；

(2)重叠部分的面积=2×1=2．
【解析】(1)根据网格结构找出点F、G的对应点M、N，然后与点E顺次连接即可；
(2)根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
AB=BC∠ABM=∠CBM=CN，
∴△ABM≌△BCN(SAS)；
(2)∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN
=∠ABC=(5−2)×180°5=108°．
即∠APN的度数为108°．
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
(1)利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；
(2)利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案．
22.【答案】解：a为何值时，分式a2+6a+9a2−9有意义？
根据题意，得a2−9=0，
解得a≠3且a≠−3，
即当a≠3且a≠−3时，分式a2+6a+9a2−9有意义；所以甲同学的解答错误；
代数式x2−4x+4x−2是分式，所以乙同学的解答错误；
化简分式x2−2x+11−x2，
原式=(x−1)2−(x+1)(x−1)
=−x−1x+1，所以丙同学的解答错误．
【解析】根据分式有意义的条件可对甲同学的解答进行判断；根据分式的定义可对同学的解答进行判断；根据约分可对丙同学的解答进行判断．
本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：
600x+40=360x，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的根，
∴x+40=100
答：甲礼品单价100元，乙礼品单价60元；
(2)设总费用不超过2400元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品(30−m)个，
根据题意得：100m+60(30−m)⩽2400，
解得：m⩽15，
答：最多可购买15个甲礼品．
【解析】(1)设购买一个乙礼品需要x元，根据“花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等”列分式方程求解即可；
(2)设总费用不超过2400元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品(30−m)个，根据题意列不等式求解即可．
此题主要考查了分式方程和不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式．
24.【答案】x1=2，x2=3 −1 1 13
【解析】解：(1)∵2×3=6，2+3=5，
∴方程x+6x=5的两个解分别为x1=2，x2=3，
故答案为：x1=2，x2=3；
(2)由题意，得a−12a=x1⋅x23a−12a=x1+x2，
∵x1与x2互为相反数，
∴x1+x2=0，
∴3a−12a=0，
∴a=13，
∴a−12a=x1⋅x2=−1，
∴x1+x2=0x1⋅x2=−1，解得x1=1x2=−1或x1=−1x2=1，
∵x1∴x1=−1x2=1，
故答案为：−1，1，13；
(3)2x+n2−92x−3=2n+3可整理为2x−3+(n−3)(n+3)2x−3=2n，
令2x−3=y，则y+(n−3)(n+3)y=2n，
∴y1=n−3，y2=n+3，
当2x−3=n−3时x=n2，当2x−3=n+3时，x=n2+3，
∵x1∴x1=n2，x2=n2+3，
∴x2−32x1=n2+3−32×n2=12．
(1)根据材料提供的方法解答即可；
(2)将方程整理为x+abx=a+b的形式，将ab和a+b分别用x1和x2表示出来，根据x1与x2互为相反数求出a的值，从而得到关于x1与x2的二元一次方程组并求解即可；
(3)令2x−3=y，利用平方差公式将方程整理为关于y的方程y+aby=a+b的形式，直接写出y的值，从而求出x1和x2，进而求出x2−32x1的值．
本题考查分式方程的解，理解阅读材料的内容是本题的关键．
25.【答案】解：(1)50°；
(2)①∵AN=BN，
∴BN+CN=AN+CN=AC，
∵AB=AC=8cm，
∴BN+CN=8cm，
∵△NBC的周长是14cm．
∴BC=14−8=6cm．
②∵A、B关于直线MN对称，
∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，
即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，
∴△PBC的周长最小值为14cm．
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及轴对称的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=70°，求得∠A=40°，根据线段的垂直平分线的性质得出AN=BN，进而得出∠ABN=∠A=40°，根据三角形内角和定理就可得出∠ANB=100°，根据等腰三角形三线合一就可求得∠MNA=50°；
(2)①根据BN+CN=AN+NC=AC和△NBC的周长就可求得．
②根据轴对称的性质，即可判定P就是N点，所以△PBC的周长最小值就是△NBC的周长．
【解答】
解：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=40°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∴∠ABN=∠A=40°，
∴∠ANB=100°，
∴∠MNA=50°；
故答案为50°．
(2)见答案．
26.【答案】解：(1)不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D．
延长BP交CD于点E，
∵AB/​/CD，
∴∠B=∠BED，
又∵∠BPD=∠BED+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；

(2)结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．
连接QP并延长，
∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，
∴∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D；
(3)由(2)的结论得：∠AFG=∠B+∠E.∠AGF=∠C+∠D．
又∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
【解析】(1)延长BP交CD于点E，根据AB/​/CD得出∠B=∠BED，再由三角形外角的性质即可得出结论；
(2)连接QP并延长，由三角形外角的性质得出∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，由此可得出结论；
(3)由(2)的结论得：∠AFG=∠B+∠E.∠AGF=∠C+∠D.再根据∠A+∠AFG+∠AGF=180°即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键．