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2023-2024学年广东省深圳市南山区华侨城中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山区华侨城中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图是一个正五棱柱，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知反比例函数y=n−2x的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是( )
A. −2B. 1C. 2D. 3
3.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5B. k>5C. k≤5，且k≠1D. k<5，且k≠1
4.在四边形ABCD中，AD//BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A. AD=BC且AC=BDB. AD=BC且∠A=∠B
C. AB=CD且∠A=∠CD. AB//CD且AC=BD
5.在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是( )
A. 2B. 12C. 18D. 24
6.如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为( )
A. 8cmB. 20cmC. 3.2cmD. 10cm
7.如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长35m)，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m.设鸡场垂直于墙的一边为x m，则列方程正确的是( )
A. x(69+1−2x)=600B. x(69−1−2x)=600
C. x(69−2x)=600D. x(35+1−2x)=600
8.下列命题中，错误的是( )
A. 顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形
B. 反比例函数的图象是轴对称图形
C. 线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且ACD. 对于任意的实数b，方程x2−bx−3=0有两个不相等的实数根
9.如图，平行四边形DEFG内接于△ABC，已知△ADE，△EFC，△DBG的面积为1，3，1，那么▱DEFG的面积为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M.则下列结论中：
①FG=2AO；②OD//HE；③BHEC=AMMD；④2OE2=AH⋅DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知a、b、c满足a2=b3，a、b都不为0，则a+bb−a= ______ ．
12.若实数a，b是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，则2a+2b−ab+1= ______ ．
13.如图，直线l1//l2//l3，另两条直线分别交11、12、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则AC=______．
14.如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF，AD是△ABC的高，BC=8，AD=6，那么EH的长为______．
15.如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠ABC+2∠BCD=180°，分别连接AC、BD，且∠BCD=2∠ADB，若AD=3，BC=5，则AC的长度为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
按照指定方法解下列方程：
(1)2x2+4x+1=5(配方法)；
(2)3x2−4x−1=0(公式法)．
17.(本小题7分)
为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”.为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C组所对应的扇形圆心角为______度；
(3)若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是______；
(4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y1=kx(k≠0,x>0)与一次函数y2=ax+b(a≠0)的图象相交于点A(1,8)和B(4,m)．
(1)分别求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)请直接写出当x>0时，kx>ax+b的解集．
19.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
(1)求证：∠DAE=∠DCE；
(2)求证：△ECF～△EGC．
20.(本小题8分)
每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节.已知某果园2018年的脐橙销量为5万千克，2020年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等．
(1)求销量增长率．
(2)某微商从果园以90元/箱从果园进货，再以110元/箱卖出，每周可以卖出100箱.该微商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少4箱，设每周销售脐橙获利W元，写出W(元)与售价x(元/箱)之间的函数关系式，并求出当脐橙的每箱售价为多少元时，这周的利润最大．
21.(本小题9分)
阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2−2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x−2)=0，解方程x=0和x2+x−2=0，可得方程x3+x2−2x=0的解．
(1)问题：方程x3+x2−2x=0的解是x1=0，x2=______，x3=______；
(2)拓展：用“转化”思想求方程 2x+3=x的解；
(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长．
22.(本小题9分)
如图，在Rt△ABG中，AB=10，cs∠BAG=35，将Rt△ABG沿着AG折叠，点B落在点C点处，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合)连接AD，将AD边绕点D顺时针旋转得到线DE，使∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交线DE于点F，连接CF．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)当DE//AB时，求AE的长；
(3)点D在BC边上运动的过程中，若DF=CF(如图2)求点F到CD的距离．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
【解答】
解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=n−2x的图象位于第一、三象限，
∴n−2>0，
解得：n>2．
故n的取值可以是：3．
故选：D．
直接利用当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，进而得出n的取值范围，即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出n的取值范围是解题关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k−1≠0且Δ=42−4(k−1)×1>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得k−1≠0且Δ=42−4(k−1)×1>0，
解得：k<5，且k≠1．
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：A.∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B.∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C.∵AD//BC，
∴∠A+∠B=∠C+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由AD//BC，AD=BC可得四边形ABCD是平行四边形，再由AC=BD可得平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
由AD//BC，AD=BC推出四边形ABCD是平行四边形，进而推出∠A=∠B=90°，可证得平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
由AD//BC推出∠A+∠B=∠C+∠D=180°，进而推出∠B=∠D，得到四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
由AD//BC，AB//CD推出四边形ABCD是平行四边形，再由AC=BD，四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形和有一个直角的平行四边形是矩形是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设红球的个数是a个，
根据题意得66+a=0.25，
解得a=18，
经检验，a=18是分式方程的解．
故选：C．
根据摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．
本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了位似图形，属于基础题．
根据相似比为1：2，即可得出投影三角形的对应边长．
【解答】
解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，三角尺的一边长为5cm，
∴投影三角形的对应边长为：5÷12=10cm．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：∵竹篱笆的总长为69m，鸡场垂直于墙的一边为x m，
∴鸡场平行于墙的一边为(69+1−2x)m．
根据题意得：x(69+1−2x)=600．
故选：A．
根据各边之间的关系，可得出鸡场平行于墙的一边为(69+1−2x)m，根据长方形鸡场的面积为600m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形，本选项说法正确，不符合题意；
B、反比例函数的图象是轴对称图形，本选项说法正确，不符合题意；
C、线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且ACD、对于任意的实数b，方程x2−bx−3=0的判别式Δ=b2+12>0，所以方程有两个不相等的实数根，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
根据菱形的判定定理、双曲线是轴对称图形、黄金分割的概念、一元二次方程根的判别式逐一判断即可．
本题考查的是命题的判断，关键要熟悉菱形的判定定理、双曲线是轴对称图形、黄金分割的概念、一元二次方程根的判别式．
9.【答案】B
【解析】解：作三角形的高AM⊥BC，交DE与N，交BC于M，如图：
设AN=1，MN=x．
∵△ADE的面积为1．
∴FG=DE=2，▱DEFG的面积为2x；
又∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
根据面积之比等于高的比的平方，
∴S△ADE：S△ABC=1：(5+2x)=12：(1+x)2，
解得x=2，
故▱DEFG的面积为4．
故选：B．
作三角形的高AM⊥BC，交DE与N，交BC于M，求出平行线分割的高线的分割比例即可．
本题结合三角形的知识综合考查了平行四边形的性质，解题关键是利用平行四边形的性质结合相似三角形来解决有关的计算．
10.【答案】B
【解析】解：①如图，过G作GK⊥AD于K，
∴∠GKF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，
∴∠ADE=∠GKF，
∵AE⊥FH，
∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，
∵∠OAF+∠AED=90°，
∴∠AFO=∠AED，
∴△ADE≌△GKF，
∴FG=AE，
∵FH是AE的中垂线，
∴AE=2AO，
∴FG=2AO，
故①正确；
②∵FH是AE的中垂线，
∴AH=EH，
∴∠HAE=∠HEA，
∵AB//CD，
∴∠HAE=∠AED，
Rt△ADE中，∵O是AE的中点，
∴OD=12AE=OE，
∴∠ODE=∠AED，
∴∠HEA=∠AED=∠ODE，
当∠DOE=∠HEA时，OD//HE，
但AE>AD，即AE>CD，
∴OE>DE，即∠DOE≠∠HEA，
∴OD与HE不平行，
故②不正确；
③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，
∴AE= 5x，AO= 5x2，
易得△ADE∽△HOA，
∴ADDE=HOAO，
∴2xx=HO 5x2，
∴HO= 5x，
Rt△AHO中，由勾股定理得：AH= ( 5x)2+( 5x2)2=5x2，
∴BH=AH−AB=5x2−2x=x2，
∴BHCE=12xx=12，
延长CM、BA交于R，
∵RA//CE，
∴∠ARO=∠ECO，
∵AO=EO，∠ROA=∠COE，
∴△ARO≌△ECO，
∴AR=CE，
∵AR//CD，
∴AMMD=ARDC，
∴AMMD=x2x=12，
∴BHCE=AMMD=12，
故③正确；
④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，
∴△HAE∽△ODE，
∴AHOD=AEDE，
∵AE=2OE，OD=OE，
∴OE⋅2OE=AH⋅DE，
∴2OE2=AH⋅DE，
故④正确；
⑤由③知：HC= (2x)2+(12x)2= 174x，
∵AE=2AO=OH= 5x，
tan∠EAD=DEAD=OFAO=12，
∵AO= 52x，
∴OF= 54x，
∵FG=AE= 5x，
∴OG= 5x− 54x=3 54x，
∴OG+BH=3 54x+12x，
∴OG+BH≠HC，
故⑤不正确；
本题正确的有；①③④，3个，
故选：B．
①作辅助线，构建三角形全等，证明△ADE≌△GKF，则FG=AE，可得FG=2AO；
②证明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，则∠DOE≠∠HEA，OD与HE不平行；
③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，证明△ADE∽△HOA，得HO= 5x，AH=5x2，所以BHCE=12xx=12，根据AR//CD，得AMMD=x2x=12，则BHCE=AMMD=12；
④证明△HAE∽△ODE，可得AHOD=AEDE，等量代换可得OE2=AH⋅DE；
⑤分别计算HC、OG、BH的长，可得结论．
本题是相似三角形的判定与性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质的综合应用，正确作辅助线是关键，解答时证明三角形相似是难点．
11.【答案】5
【解析】解：设a2=b3=k，则a=2k，b=3k，
所以a+bb−a=2k+3k3k−2k=5．
故答案为：5．
设a2=b3=k，则a=2k，b=3k，然后把它们代入所求的代数式中进行分式的计算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：∵实数a，b是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，
∴a+b=3，ab=−1，
∴2a+2b−ab+1=2(a+b)−ab+1=2×3−(−1)+1=8．
故答案为：8．
利用根与系数的关系，可得出a+b=3，ab=−1，将其代入2a+2b−ab+1=2(a+b)−ab+1中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca”是解题的关键．
13.【答案】92
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴ABAC=DEDF，
∵AB=3，DE=4，EF=2，
∴3AC=44+2，
解得AC=92．
故答案为：92．
根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14.【答案】245
【解析】解：设AD交EH于点R，
∵矩形EFGH的边FG在BC上，
∴EH//BC，∠EFC=90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ARE=∠ADB=90°，
∴AR⊥EH，
∴ARAD=EHBC，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH=2EF，
∴RD=EF=12EH，
∵BC=8，AD=6，AR=6−12EH，
∴6−12EH6=EH8，
解得EH=245，
∴EH的长为245，
故答案为：245．
设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH//BC，∠EFC=90°，则△AEH∽△ABC，得ARAD=EHBC，其中BC=8，AD=6，AR=6−12EH，可以列出方程6−12EH6=EH8，解方程求出EH的值即可．
此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
15.【答案】12 55
【解析】解：如图，延长CD，交BA的延长线于点E，分别过B，A作DE的垂线，垂足分别为F，H，
∵∠ABC+2∠BCD=180°，∠ABC+∠BCD+∠E=180°，
∴∠BCD=∠E，
∴BC=BE=5，
设∠ADB=α，则∠BCD=∠E=2α，
在Rt△BAD中，
∠ABD=90°−α，
∴在△BDE中，
∠BDE=180°−∠ABD−∠E
=180°−(90°−α)−2α
=90°−α，
∴∠ABD=∠BDE，
∴EB=ED=5，
∴在Rt△EDA中，
AE= ED2−AD2= 52−32=4，
∵sin∠E=AHAE=BFBE=ADDE=35，
∴AH=125，BF=3，
在Rt△BEF中，
EF= BE2−BF2= 52−32=4，
∴CF=EF=4，EC=8，
在Rt△EHA中，
EH= AE2−AH2= 42−(125)2=165，
∴CH=EC−EH=245，
在Rt△ACH中，
AC= AH2+CH2= (125)2+(245)2=12 55，
故答案为：12 55．
延长CD，交BA的延长线于点E，分别过B，A作DE的垂线，垂足分别为F，H，推出BC=BE=5，设∠ADB=α，则∠BCD=∠E=2α，推出△EDB为等腰三角形，则DE=BE=5，△ADE为“345”直角三角形，通过∠E的正弦函数可分别把AH，BF的长求出来，再利用勾股定理把EH，EF的长度求出来，推出AH的长，在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出AC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题关键是由已知条件中的2倍角作辅助线构造等腰三角形等．
16.【答案】解：(1)2x2+4x+1=5，
移项、合并同类项，得2x2+4x=4，
x2+2x=2，
配方，得x2+2x+1=2+1，
(x+1)2=3，
开方，得x+1=± 3，
解得：x1=−1+ 3，x2=−1− 3；
(2)3x2−4x−1=0，
这里a=3，b=−4，c=−1，
∵Δ=b2−4ac=(−4)2−4×3×(−1)=28>0，
∴方程有两个不相等的实数根，x=−b± b2−4ac2a=4± 282×3，
解得：x1=2+ 73,x2=2− 73．
【解析】(1)移项，方程两边除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
(2)先求出b2−4ac的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
17.【答案】解：(1)40；
补全图形如下：
(2)72；
(3)560人；
(4)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为612=12．
【解析】【分析】
本题主要考查了树状图求概率，条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，关键是从统计图中获取信息的能力.
(1)由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
(2)用360°乘以C组人数所占比例即可；
(3)总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
再由概率公式求解即可．
【解答】
解：(1)本次调查的学生总人数为4÷10%=40(名)，
C组人数为40−(4+16+12)=8(名)，
统计图见答案．
(2)C组所对应的扇形圆心角为360°×840=72°，
(3)估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×1640=560(人)，
(4)见答案．
18.【答案】解：(1)∵点A(1,8)和B(4,m)在反比例函数y1=kx(k≠0,x>0)的图象上，
∴k=1×8=4m，
∴k=8，m=2．
∴反比例函数表达式为y1=8x(x>0)，点B的坐标为B(4,2)．
∵点A(1,8)和B(4,2)在一次函数y2=ax+b的图象上，
∴a+b=84a+b=2，
解得a=−2b=10，
∴一次函数表达式为y2=−2x+10；
(2)由图象可知，当x>0时，kx>ax+b的解集是04；
【解析】(1)把A代入反比例函数的解析式即可求得k的值，然后求得B的值，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)根据图象即可求得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系等，数形结合是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠ADE=∠CDE，
在△ADE与△CDE中，
DA=DC∠ADE=∠CDEDE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠DAE=∠DCE；
(2)由(1)得AD//BC，△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠G，EC=EA=4，
又∵∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠G，
又∵∠FEC=∠CEG，
∴△FEC∽△CEG．
【解析】(1)根据菱形的性质可求证△ADE≌△CDE(SAS)，利用全等三角形的性质即可求证∠DAE=∠DCE；
(2)根据全等三角形的性质及相似三角形的判定证明△FEC∽△CEG．
本题考查相似三角形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，需要学生灵活运用所学知识．
20.【答案】解：(1)由题意，设销量增长率为x，
∴5(1+x)2=7.2．
∴x=0.2或x=−2.2(不合题意，舍去)．
∴0.2=20%．
答：销量增长率为20%．
(2)由题意，每周销售脐橙获利W元，
∴W=(x−90)[100−4(x−110)]．
∴W=−4x2+900x−48600．
∴W=−4x2+900x−48600=−4(x2−225x+506254)+2025=−4(x−2252)2+2025．
∴当每箱售价为112.5元时，这周利润最大为2025元．
【解析】(1)依据题意，设销量增长率为x，进而建立方程计算可以得解；
(2)依据题意，建立关于每周销售脐橙获利W元与售价x之间的函数关系式，再进行计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
21.【答案】(1)−2，1;
(2) 2x+3=x，
方程的两边平方，得2x+3=x2
即x2−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
∴x−3=0或x+1=0
∴x1=3，x2=−1，
当x=−1时， 2x+3= 1=1≠−1，
所以−1不是原方程的解．
所以方程 2x+3=x的解是x=3；
(3)因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m
设AP=xm，则PD=(8−x)m
因为BP+CP=10，
BP= AP2+AB2，CP= CD2+PD2
∴ 9+x2+ (8−x)2+9=10
∴ (8−x)2+9=10− 9+x2
两边平方，得(8−x)2+9=100−20 9+x2+9+x2
整理，得5 x2+9=4x+9
两边平方并整理，得x2−8x+16=0
即(x−4)2=0
所以x=4．
经检验，x=4是方程的解．
答：AP的长为4m．
【解析】解：(1)x3+x2−2x=0，
x(x2+x−2)=0，
x(x+2)(x−1)=0
所以x=0或x+2=0或x−1=0
∴x1=0，x2=−2，x3=1；
故答案为：−2，1；
(2) 2x+3=x，
方程的两边平方，得2x+3=x2
即x2−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
∴x−3=0或x+1=0
∴x1=3，x2=−1，
当x=−1时， 2x+3= 1=1≠−1，
所以−1不是原方程的解．
所以方程 2x+3=x的解是x=3；
(3)因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m
设AP=xm，则PD=(8−x)m
因为BP+CP=10，
BP= AP2+AB2，CP= CD2+PD2
∴ 9+x2+ (8−x)2+9=10
∴ (8−x)2+9=10− 9+x2
两边平方，得(8−x)2+9=100−20 9+x2+9+x2
整理，得5 x2+9=4x+9
两边平方并整理，得x2−8x+16=0
即(x−4)2=0
所以x=4．
经检验，x=4是方程的解．
答：AP的长为4m．
【分析】
(1)因式分解多项式，然后得结论；
(2)两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
(3)设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决(3)时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠CDF+∠ADE+∠ADB=180°，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDF，
∵将Rt△ABG沿着AG折叠，点B落在点C点处，
∴∠B=∠DCE，
∴△ABD∽△DCE；
(2)解：在Rt△ABG中，AB=10，cs∠BAG=AGAB=35，
∴AG=6，
∴BG= AB2−AG2=8，
∵DE//AB，
∴∠B=∠CDF，
又∠BAD=∠CDF，
∴∠B=∠BAD，
∵∠B=∠DCE，
∴AB=AC，
∵AG⊥BC，
∴BC=2BG=16，
∵∠B=∠DCE=∠BAD，
∴△ABD∽△CBA，
∴BDAB=ABBC，
∴BD10=1016，
∴BD=254，
∵DE//AB，
∴AEAC=BDBC，
∴AE10=25416，
∴AE=12532；
(3)解：如图2，过点F作FM⊥CD于点M，过点A作AH⊥FM于点H，
则四边形AGMH是矩形，
∴∠GAH=90°，AH=GM，AG=MH=6，
∵AF⊥AD，
∴∠DAF=90°，
∴∠FAH+∠HAD=∠HAD+∠GAD=90°，
∴∠FAH=∠GAD，
又∠AHF=∠AGF=90°，
∴△FAH∽△DAG，
∴AHAG=AFAD，
∵∠B=∠ADF，
∴tanB=tan∠ADF，
∵tan∠ADF=AFAD，tanB=AGBG=68=34，
∴AFAD=34，
∴AHAG=34，
∴AH=92，
∴GM=GD+DM=92①，
∵DF=CF，FM⊥CD，
∴DM=CM，
∴DG+2DM=8②，
∴①×2−②得，DG=1，
又△FAH∽△DAG，
∴FHDG=AFAD=34，
∴FH=34，
∴FM=FH+MH=274，
即点F到CD的距离为274．
【解析】(1)根据三角形内角和定理及平角的定义推出∠BAD=∠CDF，根据折叠的性质得出∠B=∠DCE，即可判定△ABD∽△DCE；
(2)解直角三角形求出AG=6，BG=8，根据平行线的性质及折叠的性质推出∠B=∠DCE=∠BAD，进而推出△ABD∽△CBA，根据等腰三角形的性质求出BC=16，根据相似三角形的性质求出BD=254，最后根据平行线分线段成比例定理求解即可；
(3)过点F作FM⊥CD于点M，过点A作AH⊥FM于点H，则四边形AGMH是矩形，根据矩形的性质得到∠GAH=90°，AH=GM，AG=MH=6，根据角的和差推出∠FAH=∠GAD，结合∠AHF=∠AGF=90°，推出△FAH∽△DAG，根据相似三角形的性质得到AHAG=AFAD，根据锐角三角函数定义求出AH=92，根据线段的和差求出DG=1，再根据相似三角形的性质求出FH=34，根据线段的和差即可得解．
此题是相似综合题，考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等知识，熟记相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建相似三角形是解题的关键．
1.如图是一个正五棱柱，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知反比例函数y=n−2x的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是( )
A. −2B. 1C. 2D. 3
3.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5B. k>5C. k≤5，且k≠1D. k<5，且k≠1
4.在四边形ABCD中，AD//BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A. AD=BC且AC=BDB. AD=BC且∠A=∠B
C. AB=CD且∠A=∠CD. AB//CD且AC=BD
5.在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是( )
A. 2B. 12C. 18D. 24
6.如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为( )
A. 8cmB. 20cmC. 3.2cmD. 10cm
7.如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长35m)，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m.设鸡场垂直于墙的一边为x m，则列方程正确的是( )
A. x(69+1−2x)=600B. x(69−1−2x)=600
C. x(69−2x)=600D. x(35+1−2x)=600
8.下列命题中，错误的是( )
A. 顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形
B. 反比例函数的图象是轴对称图形
C. 线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC
9.如图，平行四边形DEFG内接于△ABC，已知△ADE，△EFC，△DBG的面积为1，3，1，那么▱DEFG的面积为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M.则下列结论中：
①FG=2AO；②OD//HE；③BHEC=AMMD；④2OE2=AH⋅DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知a、b、c满足a2=b3，a、b都不为0，则a+bb−a= ______ ．
12.若实数a，b是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，则2a+2b−ab+1= ______ ．
13.如图，直线l1//l2//l3，另两条直线分别交11、12、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则AC=______．
14.如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF，AD是△ABC的高，BC=8，AD=6，那么EH的长为______．
15.如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠ABC+2∠BCD=180°，分别连接AC、BD，且∠BCD=2∠ADB，若AD=3，BC=5，则AC的长度为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
按照指定方法解下列方程：
(1)2x2+4x+1=5(配方法)；
(2)3x2−4x−1=0(公式法)．
17.(本小题7分)
为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”.为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C组所对应的扇形圆心角为______度；
(3)若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是______；
(4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y1=kx(k≠0,x>0)与一次函数y2=ax+b(a≠0)的图象相交于点A(1,8)和B(4,m)．
(1)分别求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)请直接写出当x>0时，kx>ax+b的解集．
19.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
(1)求证：∠DAE=∠DCE；
(2)求证：△ECF～△EGC．
20.(本小题8分)
每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节.已知某果园2018年的脐橙销量为5万千克，2020年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等．
(1)求销量增长率．
(2)某微商从果园以90元/箱从果园进货，再以110元/箱卖出，每周可以卖出100箱.该微商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少4箱，设每周销售脐橙获利W元，写出W(元)与售价x(元/箱)之间的函数关系式，并求出当脐橙的每箱售价为多少元时，这周的利润最大．
21.(本小题9分)
阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2−2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x−2)=0，解方程x=0和x2+x−2=0，可得方程x3+x2−2x=0的解．
(1)问题：方程x3+x2−2x=0的解是x1=0，x2=______，x3=______；
(2)拓展：用“转化”思想求方程 2x+3=x的解；
(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长．
22.(本小题9分)
如图，在Rt△ABG中，AB=10，cs∠BAG=35，将Rt△ABG沿着AG折叠，点B落在点C点处，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合)连接AD，将AD边绕点D顺时针旋转得到线DE，使∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交线DE于点F，连接CF．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)当DE//AB时，求AE的长；
(3)点D在BC边上运动的过程中，若DF=CF(如图2)求点F到CD的距离．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
【解答】
解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=n−2x的图象位于第一、三象限，
∴n−2>0，
解得：n>2．
故n的取值可以是：3．
故选：D．
直接利用当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，进而得出n的取值范围，即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出n的取值范围是解题关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k−1≠0且Δ=42−4(k−1)×1>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得k−1≠0且Δ=42−4(k−1)×1>0，
解得：k<5，且k≠1．
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：A.∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B.∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C.∵AD//BC，
∴∠A+∠B=∠C+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由AD//BC，AD=BC可得四边形ABCD是平行四边形，再由AC=BD可得平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
由AD//BC，AD=BC推出四边形ABCD是平行四边形，进而推出∠A=∠B=90°，可证得平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
由AD//BC推出∠A+∠B=∠C+∠D=180°，进而推出∠B=∠D，得到四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
由AD//BC，AB//CD推出四边形ABCD是平行四边形，再由AC=BD，四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形和有一个直角的平行四边形是矩形是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设红球的个数是a个，
根据题意得66+a=0.25，
解得a=18，
经检验，a=18是分式方程的解．
故选：C．
根据摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．
本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了位似图形，属于基础题．
根据相似比为1：2，即可得出投影三角形的对应边长．
【解答】
解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，三角尺的一边长为5cm，
∴投影三角形的对应边长为：5÷12=10cm．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：∵竹篱笆的总长为69m，鸡场垂直于墙的一边为x m，
∴鸡场平行于墙的一边为(69+1−2x)m．
根据题意得：x(69+1−2x)=600．
故选：A．
根据各边之间的关系，可得出鸡场平行于墙的一边为(69+1−2x)m，根据长方形鸡场的面积为600m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形，本选项说法正确，不符合题意；
B、反比例函数的图象是轴对称图形，本选项说法正确，不符合题意；
C、线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC
故选：C．
根据菱形的判定定理、双曲线是轴对称图形、黄金分割的概念、一元二次方程根的判别式逐一判断即可．
本题考查的是命题的判断，关键要熟悉菱形的判定定理、双曲线是轴对称图形、黄金分割的概念、一元二次方程根的判别式．
9.【答案】B
【解析】解：作三角形的高AM⊥BC，交DE与N，交BC于M，如图：
设AN=1，MN=x．
∵△ADE的面积为1．
∴FG=DE=2，▱DEFG的面积为2x；
又∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
根据面积之比等于高的比的平方，
∴S△ADE：S△ABC=1：(5+2x)=12：(1+x)2，
解得x=2，
故▱DEFG的面积为4．
故选：B．
作三角形的高AM⊥BC，交DE与N，交BC于M，求出平行线分割的高线的分割比例即可．
本题结合三角形的知识综合考查了平行四边形的性质，解题关键是利用平行四边形的性质结合相似三角形来解决有关的计算．
10.【答案】B
【解析】解：①如图，过G作GK⊥AD于K，
∴∠GKF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，
∴∠ADE=∠GKF，
∵AE⊥FH，
∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，
∵∠OAF+∠AED=90°，
∴∠AFO=∠AED，
∴△ADE≌△GKF，
∴FG=AE，
∵FH是AE的中垂线，
∴AE=2AO，
∴FG=2AO，
故①正确；
②∵FH是AE的中垂线，
∴AH=EH，
∴∠HAE=∠HEA，
∵AB//CD，
∴∠HAE=∠AED，
Rt△ADE中，∵O是AE的中点，
∴OD=12AE=OE，
∴∠ODE=∠AED，
∴∠HEA=∠AED=∠ODE，
当∠DOE=∠HEA时，OD//HE，
但AE>AD，即AE>CD，
∴OE>DE，即∠DOE≠∠HEA，
∴OD与HE不平行，
故②不正确；
③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，
∴AE= 5x，AO= 5x2，
易得△ADE∽△HOA，
∴ADDE=HOAO，
∴2xx=HO 5x2，
∴HO= 5x，
Rt△AHO中，由勾股定理得：AH= ( 5x)2+( 5x2)2=5x2，
∴BH=AH−AB=5x2−2x=x2，
∴BHCE=12xx=12，
延长CM、BA交于R，
∵RA//CE，
∴∠ARO=∠ECO，
∵AO=EO，∠ROA=∠COE，
∴△ARO≌△ECO，
∴AR=CE，
∵AR//CD，
∴AMMD=ARDC，
∴AMMD=x2x=12，
∴BHCE=AMMD=12，
故③正确；
④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，
∴△HAE∽△ODE，
∴AHOD=AEDE，
∵AE=2OE，OD=OE，
∴OE⋅2OE=AH⋅DE，
∴2OE2=AH⋅DE，
故④正确；
⑤由③知：HC= (2x)2+(12x)2= 174x，
∵AE=2AO=OH= 5x，
tan∠EAD=DEAD=OFAO=12，
∵AO= 52x，
∴OF= 54x，
∵FG=AE= 5x，
∴OG= 5x− 54x=3 54x，
∴OG+BH=3 54x+12x，
∴OG+BH≠HC，
故⑤不正确；
本题正确的有；①③④，3个，
故选：B．
①作辅助线，构建三角形全等，证明△ADE≌△GKF，则FG=AE，可得FG=2AO；
②证明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，则∠DOE≠∠HEA，OD与HE不平行；
③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，证明△ADE∽△HOA，得HO= 5x，AH=5x2，所以BHCE=12xx=12，根据AR//CD，得AMMD=x2x=12，则BHCE=AMMD=12；
④证明△HAE∽△ODE，可得AHOD=AEDE，等量代换可得OE2=AH⋅DE；
⑤分别计算HC、OG、BH的长，可得结论．
本题是相似三角形的判定与性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质的综合应用，正确作辅助线是关键，解答时证明三角形相似是难点．
11.【答案】5
【解析】解：设a2=b3=k，则a=2k，b=3k，
所以a+bb−a=2k+3k3k−2k=5．
故答案为：5．
设a2=b3=k，则a=2k，b=3k，然后把它们代入所求的代数式中进行分式的计算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：∵实数a，b是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，
∴a+b=3，ab=−1，
∴2a+2b−ab+1=2(a+b)−ab+1=2×3−(−1)+1=8．
故答案为：8．
利用根与系数的关系，可得出a+b=3，ab=−1，将其代入2a+2b−ab+1=2(a+b)−ab+1中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca”是解题的关键．
13.【答案】92
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴ABAC=DEDF，
∵AB=3，DE=4，EF=2，
∴3AC=44+2，
解得AC=92．
故答案为：92．
根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14.【答案】245
【解析】解：设AD交EH于点R，
∵矩形EFGH的边FG在BC上，
∴EH//BC，∠EFC=90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ARE=∠ADB=90°，
∴AR⊥EH，
∴ARAD=EHBC，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH=2EF，
∴RD=EF=12EH，
∵BC=8，AD=6，AR=6−12EH，
∴6−12EH6=EH8，
解得EH=245，
∴EH的长为245，
故答案为：245．
设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH//BC，∠EFC=90°，则△AEH∽△ABC，得ARAD=EHBC，其中BC=8，AD=6，AR=6−12EH，可以列出方程6−12EH6=EH8，解方程求出EH的值即可．
此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
15.【答案】12 55
【解析】解：如图，延长CD，交BA的延长线于点E，分别过B，A作DE的垂线，垂足分别为F，H，
∵∠ABC+2∠BCD=180°，∠ABC+∠BCD+∠E=180°，
∴∠BCD=∠E，
∴BC=BE=5，
设∠ADB=α，则∠BCD=∠E=2α，
在Rt△BAD中，
∠ABD=90°−α，
∴在△BDE中，
∠BDE=180°−∠ABD−∠E
=180°−(90°−α)−2α
=90°−α，
∴∠ABD=∠BDE，
∴EB=ED=5，
∴在Rt△EDA中，
AE= ED2−AD2= 52−32=4，
∵sin∠E=AHAE=BFBE=ADDE=35，
∴AH=125，BF=3，
在Rt△BEF中，
EF= BE2−BF2= 52−32=4，
∴CF=EF=4，EC=8，
在Rt△EHA中，
EH= AE2−AH2= 42−(125)2=165，
∴CH=EC−EH=245，
在Rt△ACH中，
AC= AH2+CH2= (125)2+(245)2=12 55，
故答案为：12 55．
延长CD，交BA的延长线于点E，分别过B，A作DE的垂线，垂足分别为F，H，推出BC=BE=5，设∠ADB=α，则∠BCD=∠E=2α，推出△EDB为等腰三角形，则DE=BE=5，△ADE为“345”直角三角形，通过∠E的正弦函数可分别把AH，BF的长求出来，再利用勾股定理把EH，EF的长度求出来，推出AH的长，在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出AC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题关键是由已知条件中的2倍角作辅助线构造等腰三角形等．
16.【答案】解：(1)2x2+4x+1=5，
移项、合并同类项，得2x2+4x=4，
x2+2x=2，
配方，得x2+2x+1=2+1，
(x+1)2=3，
开方，得x+1=± 3，
解得：x1=−1+ 3，x2=−1− 3；
(2)3x2−4x−1=0，
这里a=3，b=−4，c=−1，
∵Δ=b2−4ac=(−4)2−4×3×(−1)=28>0，
∴方程有两个不相等的实数根，x=−b± b2−4ac2a=4± 282×3，
解得：x1=2+ 73,x2=2− 73．
【解析】(1)移项，方程两边除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
(2)先求出b2−4ac的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
17.【答案】解：(1)40；
补全图形如下：
(2)72；
(3)560人；
(4)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为612=12．
【解析】【分析】
本题主要考查了树状图求概率，条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，关键是从统计图中获取信息的能力.
(1)由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
(2)用360°乘以C组人数所占比例即可；
(3)总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
再由概率公式求解即可．
【解答】
解：(1)本次调查的学生总人数为4÷10%=40(名)，
C组人数为40−(4+16+12)=8(名)，
统计图见答案．
(2)C组所对应的扇形圆心角为360°×840=72°，
(3)估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×1640=560(人)，
(4)见答案．
18.【答案】解：(1)∵点A(1,8)和B(4,m)在反比例函数y1=kx(k≠0,x>0)的图象上，
∴k=1×8=4m，
∴k=8，m=2．
∴反比例函数表达式为y1=8x(x>0)，点B的坐标为B(4,2)．
∵点A(1,8)和B(4,2)在一次函数y2=ax+b的图象上，
∴a+b=84a+b=2，
解得a=−2b=10，
∴一次函数表达式为y2=−2x+10；
(2)由图象可知，当x>0时，kx>ax+b的解集是0
【解析】(1)把A代入反比例函数的解析式即可求得k的值，然后求得B的值，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)根据图象即可求得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系等，数形结合是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠ADE=∠CDE，
在△ADE与△CDE中，
DA=DC∠ADE=∠CDEDE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠DAE=∠DCE；
(2)由(1)得AD//BC，△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠G，EC=EA=4，
又∵∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠G，
又∵∠FEC=∠CEG，
∴△FEC∽△CEG．
【解析】(1)根据菱形的性质可求证△ADE≌△CDE(SAS)，利用全等三角形的性质即可求证∠DAE=∠DCE；
(2)根据全等三角形的性质及相似三角形的判定证明△FEC∽△CEG．
本题考查相似三角形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，需要学生灵活运用所学知识．
20.【答案】解：(1)由题意，设销量增长率为x，
∴5(1+x)2=7.2．
∴x=0.2或x=−2.2(不合题意，舍去)．
∴0.2=20%．
答：销量增长率为20%．
(2)由题意，每周销售脐橙获利W元，
∴W=(x−90)[100−4(x−110)]．
∴W=−4x2+900x−48600．
∴W=−4x2+900x−48600=−4(x2−225x+506254)+2025=−4(x−2252)2+2025．
∴当每箱售价为112.5元时，这周利润最大为2025元．
【解析】(1)依据题意，设销量增长率为x，进而建立方程计算可以得解；
(2)依据题意，建立关于每周销售脐橙获利W元与售价x之间的函数关系式，再进行计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
21.【答案】(1)−2，1;
(2) 2x+3=x，
方程的两边平方，得2x+3=x2
即x2−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
∴x−3=0或x+1=0
∴x1=3，x2=−1，
当x=−1时， 2x+3= 1=1≠−1，
所以−1不是原方程的解．
所以方程 2x+3=x的解是x=3；
(3)因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m
设AP=xm，则PD=(8−x)m
因为BP+CP=10，
BP= AP2+AB2，CP= CD2+PD2
∴ 9+x2+ (8−x)2+9=10
∴ (8−x)2+9=10− 9+x2
两边平方，得(8−x)2+9=100−20 9+x2+9+x2
整理，得5 x2+9=4x+9
两边平方并整理，得x2−8x+16=0
即(x−4)2=0
所以x=4．
经检验，x=4是方程的解．
答：AP的长为4m．
【解析】解：(1)x3+x2−2x=0，
x(x2+x−2)=0，
x(x+2)(x−1)=0
所以x=0或x+2=0或x−1=0
∴x1=0，x2=−2，x3=1；
故答案为：−2，1；
(2) 2x+3=x，
方程的两边平方，得2x+3=x2
即x2−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
∴x−3=0或x+1=0
∴x1=3，x2=−1，
当x=−1时， 2x+3= 1=1≠−1，
所以−1不是原方程的解．
所以方程 2x+3=x的解是x=3；
(3)因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m
设AP=xm，则PD=(8−x)m
因为BP+CP=10，
BP= AP2+AB2，CP= CD2+PD2
∴ 9+x2+ (8−x)2+9=10
∴ (8−x)2+9=10− 9+x2
两边平方，得(8−x)2+9=100−20 9+x2+9+x2
整理，得5 x2+9=4x+9
两边平方并整理，得x2−8x+16=0
即(x−4)2=0
所以x=4．
经检验，x=4是方程的解．
答：AP的长为4m．
【分析】
(1)因式分解多项式，然后得结论；
(2)两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
(3)设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决(3)时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠CDF+∠ADE+∠ADB=180°，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDF，
∵将Rt△ABG沿着AG折叠，点B落在点C点处，
∴∠B=∠DCE，
∴△ABD∽△DCE；
(2)解：在Rt△ABG中，AB=10，cs∠BAG=AGAB=35，
∴AG=6，
∴BG= AB2−AG2=8，
∵DE//AB，
∴∠B=∠CDF，
又∠BAD=∠CDF，
∴∠B=∠BAD，
∵∠B=∠DCE，
∴AB=AC，
∵AG⊥BC，
∴BC=2BG=16，
∵∠B=∠DCE=∠BAD，
∴△ABD∽△CBA，
∴BDAB=ABBC，
∴BD10=1016，
∴BD=254，
∵DE//AB，
∴AEAC=BDBC，
∴AE10=25416，
∴AE=12532；
(3)解：如图2，过点F作FM⊥CD于点M，过点A作AH⊥FM于点H，
则四边形AGMH是矩形，
∴∠GAH=90°，AH=GM，AG=MH=6，
∵AF⊥AD，
∴∠DAF=90°，
∴∠FAH+∠HAD=∠HAD+∠GAD=90°，
∴∠FAH=∠GAD，
又∠AHF=∠AGF=90°，
∴△FAH∽△DAG，
∴AHAG=AFAD，
∵∠B=∠ADF，
∴tanB=tan∠ADF，
∵tan∠ADF=AFAD，tanB=AGBG=68=34，
∴AFAD=34，
∴AHAG=34，
∴AH=92，
∴GM=GD+DM=92①，
∵DF=CF，FM⊥CD，
∴DM=CM，
∴DG+2DM=8②，
∴①×2−②得，DG=1，
又△FAH∽△DAG，
∴FHDG=AFAD=34，
∴FH=34，
∴FM=FH+MH=274，
即点F到CD的距离为274．
【解析】(1)根据三角形内角和定理及平角的定义推出∠BAD=∠CDF，根据折叠的性质得出∠B=∠DCE，即可判定△ABD∽△DCE；
(2)解直角三角形求出AG=6，BG=8，根据平行线的性质及折叠的性质推出∠B=∠DCE=∠BAD，进而推出△ABD∽△CBA，根据等腰三角形的性质求出BC=16，根据相似三角形的性质求出BD=254，最后根据平行线分线段成比例定理求解即可；
(3)过点F作FM⊥CD于点M，过点A作AH⊥FM于点H，则四边形AGMH是矩形，根据矩形的性质得到∠GAH=90°，AH=GM，AG=MH=6，根据角的和差推出∠FAH=∠GAD，结合∠AHF=∠AGF=90°，推出△FAH∽△DAG，根据相似三角形的性质得到AHAG=AFAD，根据锐角三角函数定义求出AH=92，根据线段的和差求出DG=1，再根据相似三角形的性质求出FH=34，根据线段的和差即可得解．
此题是相似综合题，考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等知识，熟记相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建相似三角形是解题的关键．
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