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    广东省深圳市南山区南外集团华侨城中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷
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    广东省深圳市南山区南外集团华侨城中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

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    这是一份广东省深圳市南山区南外集团华侨城中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷,共17页。试卷主要包含了若,则的值为等内容,欢迎下载使用。

    南外集团华侨城中学2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷

    一.选择题(每题3分,共30分)
    1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    2.如图,质地均匀的转盘被平均分成了6份,分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色,转动一次转盘(指针恰好指在分界线时重转),指针恰好落在红色区域的概率为(  )

    A. B. C. D.
    3.一元二次方程x2﹣4x+3=0的根的情况是(  )
    A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
    C.只有一个实数根 D.没有实数根
    4.矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是(  )
    A.对角线互相平分 B.对角线相等
    C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直平分
    5.用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0,则配方正确的是(  )
    A.(x﹣2)2=1 B.(x+2)2=1 C.(x﹣2)2=7 D.(x+2)2=7
    6.若,则的值为(  )
    A. B. C. D.
    7.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,DH⊥BC于点H.若AC=8,BD=6,则DH的长度为(  )

    A. B. C. D.4
    8.如图,在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为1800平方米,设道路的宽为x米,则可列方程为(  )

    A.(54﹣x)(38﹣x)=1800 B.(54﹣x)(38﹣x)+x2=1800
    C.54×38﹣54x﹣38x=1800 D.54x+38x=1800
    9.如图,在矩形COED中,点D的坐标是(1,3),则CE的长是(  )

    A.3 B. C. D.4
    10.如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论:①四边形AEGF是菱形;②△AED≌△GED;③∠DFG=112.5°;④BC+FG=1.5,其中正确的结论是(  )

    A.①②③④ B.①②③ C.①② D.②
    二.填空题(每题3分,共15分)
    11.分解因式:2ab2﹣8a=   .
    12.一个暗箱里放有a个白球和3个红球,它们除颜色外完全相同.若每次将球搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在20%附近,那么可以推算出a的值大约是    .
    13.设m是方程x2﹣x+2023=0的一个根,则m2﹣m+1的值为    .
    14.在一次足球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛28场,设共有x个队参赛,根据题意,可列方程为    .
    15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,N是A'B'的中点,连接MN,若BC=2,∠ABC=60°,则线段MN的最大值为   .

    三.解答题(共55分)
    16.(8分)解方程:
    (1)2x2+3x﹣5=0; (2)x2﹣4x﹣12=0.
    17.(6分)先化简,再求值(﹣)÷.其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个.
    18.(6分)为响应国家全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育活动,某校对全校学生进行了中期检测评价,检测结果分为A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级,并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理,制作了如图所示不完整的统计表和统计图.

    (1)参加这次调查的学生总人数为    人;类别C所对应扇形的圆心角度数为    °;
    (2)请补全条形统计图;
    (3)类别D的4名学生中有3名男生和1名女生,班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行约谈,请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生恰好都是男生的概率.
    19.(8分)如图,在▱ABCD中,AB=5,BC=4,点F是BC上一点,若将△DCF沿DF折叠,点C恰好与AB上的点E重合,过点E作EG∥BC交DF于点G,连接CG.
    (1)求证:四边形EFCG是菱形;
    (2)当∠A=∠B时,求点B到直线EF的距离.

    20.(8分)随着疫情形势稳定向好,“复工复产”成为主旋律.某生产无人机公司统计发现,公司今年2月份生产A型无人机2000架,4月份生产A型无人机达到12500架.
    (1)求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率;
    (2)该公司还生产B型无人机,已知生产1架A型无人机的成本是200元,生产1架B型无人机的成本是300元,现要生产A、B两种型号的无人机共100架,其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍,公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少?

    21.(9分)阅读材料:x4﹣6x2+5=0是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的通常解法是:设x2=y,那么x4=y2,于是方程变为y2﹣6y+5=0①,解这个方程,得y1=1,y2=5,当y1=1时,x2=1,x=±1,当y=5时,x2=5,x=±,所以原方程有四个根x1=1,x2=﹣1,x3=,x4=
    (1)用换元法解方程:(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0.
    (2)Rt△ABC的三边是a,b,c,其中斜边c=4,两直角边a,b满足(a+b)2﹣7(a+b)+10=0,求Rt△ABC的周长和面积.

    22.(10分)定义:对于一个四边形,我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”.如果原四边形的中点四边形是个正方形,我们把这个原四边形叫做“中方四边形”.
    概念理解:下列四边形中一定是“中方四边形”的是    .
    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
    性质探究:如图1,四边形ABCD是“中方四边形”,观察图形,写出关于四边形ABCD的两条结论:
       ;
       .
    问题解决:如图2,以锐角△ABC的两边AB,AC为边长,分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,连结BE,EG,GC.求证:四边形BCGE是“中方四边形”;
    拓展应用:如图3,已知四边形ABCD是“中方四边形”,M,N分别是AB,CD的中点,
    (1)试探索AC与MN的数量关系,并说明理由.
    (2)若AC=2,求AB+CD的最小值.



    参考答案与试题解析
    一.选择题(共10小题)
    1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )
    A. B.​
    C. D.​
    【解答】解:A.该图是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意;
    B.该图既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故不符合题意;
    C.该图是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意;
    D.该图既是中心对称图形,也是轴对称图形,故符合题意.
    故选:D.
    2.如图,质地均匀的转盘被平均分成了6份,分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色,转动一次转盘(指针恰好指在分界线时重转),指针恰好落在红色区域的概率为(  )

    A. B. C. D.
    【解答】解:∵质地均匀的转盘被平均分成了6份,即转盘被分成6个相同的扇形,分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色,其中红色的有2个扇形,
    ∴转动一次转盘(指针恰好指在分界线时重转),指针恰好落在红色区域的概率为=.
    故选:C.
    3.一元二次方程x2﹣4x+3=0的根的情况是(  )
    A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
    C.只有一个实数根 D.没有实数根
    【解答】解:∵Δ=(﹣4)2﹣4×1×3=4>0,
    ∴方程有两个不相等的实数根.
    故选:B.
    4.矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是(  )
    A.对角线互相平分 B.对角线相等
    C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直平分
    【解答】解:因为矩形的对角线互相平分且相等,
    菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角,
    正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质,
    所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分.
    故选:A.
    5.用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0,则配方正确的是(  )
    A.(x﹣2)2=1 B.(x+2)2=1 C.(x﹣2)2=7 D.(x+2)2=7
    【解答】解:∵x2﹣4x﹣3=0,
    ∴x2﹣4x=3,
    ∴x2﹣4x+4=3+4,
    ∴(x﹣2)2=7.
    故选:C.
    6.若,则的值为(  )
    A. B. C. D.
    【解答】解:∵,
    ∴设a=2k,b=9k(k≠0),
    ∴,
    故选:A.
    7.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,DH⊥BC于点H.若AC=8,BD=6,则DH的长度为(  )


    A. B. C. D.4
    【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
    ∴AC⊥BD,AO=OC=AC=4,OB=OD=BD=3,
    在Rt△BOC中,由勾股定理得:BC===5,
    ∵DH⊥BC,
    ∴S菱形ABCD=BC•DH=AC•BD,
    即5DH=×8×6,
    解得:DH=,
    故选:C.
    8.如图,在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为1800平方米,设道路的宽为x米,则可列方程为(  )

    A.(54﹣x)(38﹣x)=1800 B.(54﹣x)(38﹣x)+x2=1800
    C.54×38﹣54x﹣38x=1800 D.54x+38x=1800
    【解答】解:设道路的宽为x米,则种植草坪的部分可合成长(54﹣x)米,宽为(38﹣x)米的矩形,
    依题意得:(54﹣x)(38﹣x)=1800.
    故选:A.
    9.如图,在矩形COED中,点D的坐标是(1,3),则CE的长是(  )

    A.3 B. C. D.4
    【解答】解:∵四边形COED是矩形,
    ∴CE=OD,
    ∵点D的坐标是(1,3),
    ∴OD==,
    ∴CE=,
    故选:C.
    10.如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论:
    ①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5°
    ④BC+FG=1.5,其中正确的结论是(  )

    A.①②③④ B.①②③ C.①② D.②
    【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AD=DC=BC=AB,∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°,∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°,
    ∵△DHG是由△DBC旋转得到,
    ∴DG=DC=AD,∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°,
    在RT△ADE和RT△GDE中,

    ∴RT△AED≌RT△GED(HL),故②正确;
    ∴∠ADE=∠EDG=22.5°,AE=EG,
    ∴∠AED=∠AFE=67.5°,
    ∴AE=AF=EG,
    又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°,
    ∴GH∥AC,
    ∴四边形AEGF是菱形,故①正确;
    ∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°,故③正确;
    ∵AE=FG=EG=BG,BE=HE,
    ∴BE>AE,
    ∴AE<,
    ∴CB+FG<1.5,故④错误.
    故选:B.

    二.填空题(共5小题)
    11.分解因式:2ab2﹣8a= 2a(b+2)(b﹣2) .
    【解答】解:2ab2﹣8a,
    =2a(b2﹣4),
    =2a(b+2)(b﹣2).
    故答案为:2a(b+2)(b﹣2).
    12.一个暗箱里放有a个白球和3个红球,它们除颜色外完全相同.若每次将球搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在20%附近,那么可以推算出a的值大约是  12 .
    【解答】解:根据题意知×100%=20%,
    解得a=12,
    经检验:a=12是原分式方程的解,
    所以推算出a的值大约是12,
    故答案为:12.
    13.设m是方程x2﹣x+2023=0的一个根,则m2﹣m+1的值为  ﹣2022 .
    【解答】解:由题意知,m2﹣m+2023=0,
    ∴m2﹣m=﹣2023,
    ∴m2﹣m+1=﹣2022,
    故答案为:﹣2022.
    14.在一次足球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛28场,设共有x个队参赛,根据题意,可列方程为  x(x﹣1)=28 .
    【解答】解:依题意得:x(x﹣1)=28,
    故答案为:x(x﹣1)=28.
    15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,N是A'B'的中点,连接MN,若BC=2,∠ABC=60°,则线段MN的最大值为 3 .

    【解答】解:连接CN.

    在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,BC=2,∠B=60°,
    ∴∠A=30°,
    ∴AB=A′B′=2BC=4,
    ∵NB′=NA′,
    ∴CN=A′B′=2,
    ∵CM=BM=1,
    ∴MN≤CN+CM=3,
    ∴MN的最大值为3,
    故答案为3.
    三.解答题(共8小题)
    16.解方程:
    (1)2x2+3x﹣4=2;
    (2)x2﹣4x+8=0.
    【解答】解:(1)方程整理得:2x2+3x﹣6=0,
    这里a=2,b=3,c=﹣6,
    ∵Δ=b2﹣4ac=9+48=57>0,
    ∴x==,
    解得:x1=,x2=;
    (2)方程整理得:x2﹣4x=﹣8,
    配方得:x2﹣4x+4=﹣4,即(x﹣2)2=﹣4<0,
    ∴此方程无解.
    17.先化简,再求值(﹣)÷.其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个.
    【解答】解:(﹣)÷
    =[﹣]×,
    =2x+8,
    由分式有意义可得x≠﹣2、0或2,
    当x=﹣1时,原式=2×(﹣1)+8=6.
    18.为响应国家全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育活动,某校对全校学生进行了中期检测评价,检测结果分为A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级,并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理,制作了如图所示不完整的统计表和统计图.

    (1)参加这次调查的学生总人数为  40 人;类别C所对应扇形的圆心角度数为  54 °;
    (2)请补全条形统计图;
    (3)类别D的4名学生中有3名男生和1名女生,班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行约谈,请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生恰好都是男生的概率.
    【解答】解:(1)参加这次调查的学生总人数为20÷50%=40(人).
    类别C的人数为40﹣20﹣10﹣4=6(人),
    类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×=54°.
    故答案为:40;54.
    (2)补全条形统计图如图所示.

    (3)画树状图如下:

    共有12种等可能的结果,其中所选取的2名学生恰好都是男生的结果有6种,
    ∴所选取的2名学生恰好都是男生的概率为=.
    19.如图,在▱ABCD中,AB=5,BC=4,点F是BC上一点,若将△DCF沿DF折叠,点C恰好与AB上的点E重合,过点E作EG∥BC交DF于点G,连接CG.
    (1)求证:四边形EFCG是菱形;
    (2)当∠A=∠B时,求点B到直线EF的距离.

    【解答】(1)证明:∵将△DCF沿DF折叠,点C恰好与AB上的点E重合,
    ∴∠CFD=∠EFD,CF=EF,CG=EG,
    ∵EG∥BC,
    ∴∠EGF=∠CFD,
    ∴∠EGF=∠EFD,
    ∴EG=EF,
    ∴EG=EF=CF=CG,
    ∴四边形EFCG是菱形;
    (2)解:∵∠A=∠B,
    ∴四边形ABCD是矩形,
    ∴∠A=∠B=90°,
    ∵AB=5,BC=4,
    ∴AE=3,
    ∴BE=2,
    在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,
    ∴22+BF2=(4﹣BF)2,
    解得BF=,
    ∴EF=,
    设点B到直线EF的距离为h,
    ∴=,
    解得h=,
    ∴点B到直线EF的距离为.
    20.随着疫情形势稳定向好,“复工复产”成为主旋律.某生产无人机公司统计发现,公司今年2月份生产A型无人机2000架,4月份生产A型无人机达到12500架.
    (1)求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率;
    (2)该公司还生产B型无人机,已知生产1架A型无人机的成本是200元,生产1架B型无人机的成本是300元,现要生产A、B两种型号的无人机共100架,其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍,公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少?
    【解答】解:(1)设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x,根据题意可得:
    2000(1+x)2=12500,
    解得:x1=1.5=150%,x2=﹣3.5(不合题意舍去),
    答:该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%;

    (2)设生产A型号无人机a架,则生产B型号无人机(100﹣a)架,需要成本为w元,依据题意可得:
    a≤3(100﹣a),
    解得:a≤75,
    w=200a+300(100﹣a)=﹣100a+30000,
    ∵﹣100<0,
    ∴当a的值增大时,w的值减小,
    ∵a为整数,
    ∴当a=75时,w取最小值,此时100﹣75=25,
    w=﹣100×75+30000=22500,
    ∴公司生产A型号无人机75架,生产B型号无人机25架成本最小.
    21.(9分)阅读材料:x4﹣6x2+5=0是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的通常解法是:设x2=y,那么x4=y2,于是方程变为y2﹣6y+5=0①,解这个方程,得y1=1,y2=5,当y1=1时,x2=1,x=±1,当y=5时,x2=5,x=±,所以原方程有四个根x1=1,x2=﹣1,x3=,x4=
    (1)用换元法解方程:(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0.
    (2)Rt△ABC的三边是a,b,c,其中斜边c=4,两直角边a,b满足(a+b)2﹣7(a+b)+10=0,求Rt△ABC的周长和面积.
    【解答】解:(1)解:设x2﹣x=a,原方程可化为a2﹣4a﹣12=0,
    解得a=﹣2或6,
    当a=﹣2时,x2﹣x+2=0
    Δ=(﹣1)2﹣8=﹣7<0,此方程无实数根,
    当a=6时,即x2﹣x﹣6=0,
    (x﹣3)(x+2)=0,
    ∴x1=3,x2=﹣2
    ∴原方程有两个根x1=3,x2=﹣2.
    (2)设x=a+b,则原方程为x2﹣7x+10=0,
    解得:x=2或x=5,
    即a+b=2,a+b=5,由斜边c=4,舍去a+b=2,
    Rt△ABC的周长为4+5=9;
    由勾股定理得a2+b2=42,
    则(a+b)2﹣2ab=16
    解得:ab=,
    因此Rt△ABC的面积=ab=.
    22.定义:对于一个四边形,我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”.如果原四边形的中点四边形是个正方形,我们把这个原四边形叫做“中方四边形”.
    概念理解:下列四边形中一定是“中方四边形”的是  D .
    A.平行四边形
    B.矩形
    C.菱形
    D.正方形
    性质探究:如图1,四边形ABCD是“中方四边形”,观察图形,写出关于四边形ABCD的两条结论:
     ①AC=BD ;
     ②AC⊥BD .
    问题解决:如图2,以锐角△ABC的两边AB,AC为边长,分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,连结BE,EG,GC.求证:四边形BCGE是“中方四边形”;
    拓展应用:如图3,已知四边形ABCD是“中方四边形”,M,N分别是AB,CD的中点,
    (1)试探索AC与MN的数量关系,并说明理由.
    (2)若AC=2,求AB+CD的最小值.


    【解答】解:概念理解:在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”,理由如下:
    因为正方形的对角线相等且互相垂直,
    故选:D;
    性质探究:①AC=BD,②AC⊥BD;
    理由如下:如图1,
    ∵四边形ABCD是“中方四边形”,
    ∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,
    ∴∠FEH=90°,EF=EH,EH∥BD,EH=BD,EF∥AC,EF=AC,
    ∴AC⊥BD,AC=BD,
    故答案为:AC⊥BD,AC=BD;
    问题解决:如图2,取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL,连接CE交AB于P,连接BG交CE于K,
    ∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L,
    ∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线,
    ∴MN∥BG,MN=BG,RL∥BG,RL=BG,RN∥CE,RN=CE,ML∥CE,ML=CE,
    ∴MN∥RL,MN=RL,RN∥ML∥CE,RN=ML,
    ∴四边形MNRL是平行四边形,
    ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形,
    ∴AE=AB,AG=AC,∠EAB=∠GAC=90°,
    又∵∠BAC=∠BAC,
    ∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC,
    即∠EAC=∠BAG,
    在△EAC和△BAG中,

    ∴△EAC≌△BAG(SAS),
    ∴CE=BG,∠AEC=∠ABG,
    又∵RL=BG,RN=CE,
    ∴RL=RN,
    ∴▱MNRL是菱形,
    ∵∠EAB=90°,
    ∴∠AEP+∠APE=90°.
    又∵∠AEC=∠ABG,∠APE=∠BPK,
    ∴∠ABG+∠BPK=90°,
    ∴∠BKP=90°,
    又∵MN∥BG,ML∥CE,
    ∴∠LMN=90°,
    ∴菱形MNRL是正方形,即原四边形BCGE是“中方四边形”;
    拓展应用:(1)MN=AC,理由如下:
    如图3,分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME,
    ∵四边形ABCD是“中方四边形”,M,N分别是AB,CD的中点,
    ∴四边形ENFM是正方形,
    ∴FM=FN,∠MFN=90°,
    ∴MN===FM,
    ∵M,F分别是AB,BC的中点,
    ∴FM=AC,
    ∴MN=AC;
    (2)如图4,分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME,
    连接BD交AC于O,连接OM、ON,
    当点O在MN上(即M、O、N共线)时,OM+ON最小,最小值为MN的长,
    ∴2(OM+ON)最小=2MN,
    由性质探究②知:AC⊥BD,
    又∵M,N分别是AB,CD的中点,
    ∴AB=2OM,CD=2ON,
    ∴2(OM+ON)=AB+CD,
    ∴(AB+CD)最小=2MN,
    由拓展应用(1)知:MN=AC;
    又∵AC=2,
    ∴MN=,
    ∴(AB+CD)最小=2.

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