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天津师范大学南开附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案详解)
展开一、选择题:(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设全集 SKIPIF 1 < 0 ,集合 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 ,由此再求出 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选: SKIPIF 1 < 0 .
2. 命题 SKIPIF 1 < 0 的否定是( ).
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定定义即可得答案.
【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得,
该命题的否定为: SKIPIF 1 < 0 ,
故选:A.
3. 下列函数与 SKIPIF 1 < 0 有相同图象的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】只要与函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域和对应关系分别相同即可
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
对于A, SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以两函数的图象不相同,所以A错误,
对于B, SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,定义域不相同,所以两函数的图象不相同,所以B错误,
对于C, SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以此函数的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象相同,所以C正确,
对于D, SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,定义域不相同,所以两函数的图象不相同,所以D错误,
故选:C
4. 已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 ,
而当 SKIPIF 1 < 0 时,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件,
故选:B
5. 函数 SKIPIF 1 < 0 零点所在的区间是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性,利用零点存在定理可得出函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间.
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均为增函数,故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数,
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上连续,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
由零点存在定理可知函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间是 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
6. SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式化简直接得出答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
则原式 SKIPIF 1 < 0 ,
故选:C.
7. 已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则( ).
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析:因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 选C.
考点:比较大小
8. 设扇形的周长为6,面积为2,则扇形中心角的弧度数是
A. 1B. 4C. SKIPIF 1 < 0 D. 1或4
【答案】D
【解析】
【详解】解:因为设扇形的周长为6=l+2r,面积为2=1/2lr,l=r SKIPIF 1 < 0 ,则可知扇形中心角的弧度数是1或4,选D
9. 将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位,得到的图象对应的解析式是
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【详解】将函数y=sin(x- SKIPIF 1 < 0 )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin( SKIPIF 1 < 0 x- SKIPIF 1 < 0 ),再向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到的解析式为y=sin( SKIPIF 1 < 0 (x+ SKIPIF 1 < 0 )- SKIPIF 1 < 0 )= y=sin( SKIPIF 1 < 0 x- SKIPIF 1 < 0 ),故选C
10. 若偶函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递减,则不等式 SKIPIF 1 < 0 解集是
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题知偶函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增,因此可以将题设不等式转化 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】若偶函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递减,
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
故选:D.
【点睛】本题属于利用函数的单调性与奇偶性解不等式问题,需要学生对函数的性质熟练掌握且灵活应用.尤其在遇见偶函数解不等式问题时,常用 SKIPIF 1 < 0 进行转化.
二、填空题:(本大题共5个小题,每小题3分,共15分.)
11. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】9
【解析】
【分析】由分段函数解析式求 SKIPIF 1 < 0 ,再由所得函数值代入解析式求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由解析式知: SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为:9.
12. 不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以解集为 SKIPIF 1 < 0 .
13. SKIPIF 1 < 0 的值是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【解析】
【分析】直接利用两角差的余弦公式化简求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
14. 已知 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是___________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据基本不等式结合 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
故答案为:8.
15. 函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】函数要有意义只需满足 SKIPIF 1 < 0 ,根据余弦函数性质求解即可.
【详解】要使函数有意义,则需 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
一个周期 SKIPIF 1 < 0 内,由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 ,
即函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题主要考查了函数的定义域,余弦函数的周期,单调性,图象,属于难题.
三、解答题:(本大题共5个小题,共55分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. 计算:(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)利用诱导公式化简计算即可,
(2)利用对数和指数幂的运算性质求解
【详解】解:(1)原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
(2)原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
17. 已知 SKIPIF 1 < 0 ,求下列各式的值.
(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)分子分母同除 SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 即可求得结果;
(2)配凑成 SKIPIF 1 < 0 ,分子分母同除 SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 即可求得结果.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上偶函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式,并画出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象;
(2)根据图象写出函数的单调区间及值域.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ,图象见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)根据偶函数的性质即可求出,再根据解析式即可画出图象;
(2)根据图象即可求解.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
则当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
画出函数图象如下:
【小问2详解】
根据函数图象可得, SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系式即可求解;
(2)先根据二倍角公式求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,再根据两角和的余弦公式即可求解.
【小问1详解】
依题意 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由(1)知, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期;
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间;
(3)求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数表达式,再利用三角函数的图象和性质进行求解各个小题即可.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
令 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
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